Autor Tema: ¿Se pueden hacer integrales o sumas sobre los racionales?

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10 Agosto, 2014, 01:30 am
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javier m

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Hola a todos.

Se pueden integrar funciones cuyo dominio sea \( \mathbb{Q} \) o \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \), \( a<b  \) (\( a,b  \) reales)? (o cuyo dominio se \( [a,b] \) pero que la función sea nula en todo punto fuera de \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \) )

Me dijeron que con la integral de Lebesgue se podía pero no estoy seguro.

Lo otro es saber si se pueden hacer sumas del tipo \( \displaystyle\sum_{q \in \mathbb{Q} \cap{} [a,b] }{f(q)} \).

Para sumar  (en caso de que se pueda) desde luego hay que darle un orden más adecuado  a \( \mathbb{Q} \cap{} [a,b] \), de modo que haya un "siguiente" para cada número. Si la suma converge para un orden, ¿converge para todos? ¿da el mismo resultado siempre?, o simplemente no se puede realizar ninguna suma de esas?

Saludos.

10 Agosto, 2014, 09:15 am
Respuesta #1

Alejandro Caballero

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Integrando en el sentido Lebesgue, si el dominio es numerable, entonces la integral vale cero. Piensa que, en cierto modo, son puntos aislados, no hay densidad, y los puntos no tienen área.

Lo de las series es delicado, recuerda precisamente que con los naturales no podías reordenar... Pues con los racionales igual. Y si le das un orden particular, no estás más que creando una sucesión de la que luego calculas su serie...

Cuando trabajas con dominios numerables y quieres sumar (por ejemplo en teoría de la probabilidad), podría tener sentido lo que planteas...

No sé qué sentido pueda tener este concepto o si alguien habrá elaborado una teoría al respecto, pero espero haberte aclarado alguna cosa, al menos.

10 Agosto, 2014, 12:14 pm
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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En general, puedes definir sumas de la forma \( \sum\limits_{i\in A}f(i) \), donde \( f:A\longrightarrow \left[0,+\infty\right[ \), para cualquier conjunto \( A \), definidas como el supremo del conjunto de las sumas \( \sum\limits_{i\in B}f(i) \), para todo \( B\subset A \) finito, de modo que cuando \( A=\mathbb N \) tienes el concepto usual de suma de una serie. Hay que entender que el valor de la suma puede ser \( +\infty \), lo que ocurre cuando el conjunto de sumas finitas no está acotado superiormente.

Pero tienes que exigir que los sumandos sean positivos para evitar los problemas que cuando \( A=\mathbb N \) dependen de la ordenación de los sumandos (problemas que no se dan cuando la serie tiene términos positivos). Ahora, este concepto general de suma no es muy revolucionario. Puede probarse que una suma es infinita salvo que todos sus sumandos salvo a lo sumo una cantidad numerable de ellos sea 0, y entonces el valor de la suma es el de cualquier serie usual formada ordenando dichos términos no nulos.

10 Agosto, 2014, 11:41 pm
Respuesta #3

javier m

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Integrando en el sentido Lebesgue, si el dominio es numerable, entonces la integral vale cero. Piensa que, en cierto modo, son puntos aislados, no hay densidad, y los puntos no tienen área.

Esto es cierto independientemente de la función?



Pero tienes que exigir que los sumandos sean positivos para evitar los problemas que cuando \( A=\mathbb N \) dependen de la ordenación de los sumandos (problemas que no se dan cuando la serie tiene términos positivos). Ahora, este concepto general de suma no es muy revolucionario. Puede probarse que una suma es infinita salvo que todos sus sumandos salvo a lo sumo una cantidad numerable de ellos sea 0, y entonces el valor de la suma es el de cualquier serie usual formada ordenando dichos términos no nulos.

Todo lo quiero sumar son números postivos

Vi por ahí un teorema que dice que una serie es absolutamente convergente sii converge incondicionalmente

y como todos son positivos, si consigo cualquiera que  converja en un orden, convergerá en todos (y a lo mismo) ¿cierto?

10 Agosto, 2014, 11:44 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Vi por ahí un teorema que dice que una serie es absolutamente convergente sii converge incondicionalmente

y como todos son positivos, si consigo cualquiera que  converja en un orden, convergerá en todos (y a lo mismo) ¿cierto?

Cierto.

10 Agosto, 2014, 11:57 pm
Respuesta #5

Alejandro Caballero

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Integrando en el sentido Lebesgue, si el dominio es numerable, entonces la integral vale cero. Piensa que, en cierto modo, son puntos aislados, no hay densidad, y los puntos no tienen área.

Esto es cierto independientemente de la función?

Sí, siempre que el dominio sea un conjunto nulo. Nulo es un concepto que incluye a los subconjuntos numerables de los reales.

11 Agosto, 2014, 12:06 am
Respuesta #6

javier m

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11 Agosto, 2014, 12:17 am
Respuesta #7

Alejandro Caballero

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¡De nada! Por lo visto podríamos "sumar" incluso subconjuntos de \( \mathbb{R} \), pero Carlos nos ha explicado que si tenemos una cantidad no numerable de valores, se nos va siempre a infinito y no es muy útil. Por otro lado, integrando, si es numerable se nos hace cero.

De algún modo podríamos entender la integral y la serie como la "herramienta adecuada" para no numerables y numerables, respectivamente, ¿no?

11 Agosto, 2014, 01:01 am
Respuesta #8

javier m

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¡De nada! Por lo visto podríamos "sumar" incluso subconjuntos de \( \mathbb{R} \), pero Carlos nos ha explicado que si tenemos una cantidad no numerable de valores, se nos va siempre a infinito y no es muy útil. Por otro lado, integrando, si es numerable se nos hace cero.


Ja, yo estaba pensando en eso.

Por cierto, sabes si los irracionales constituyen un conjunto nulo? o sea, ahí ya no se puede sumar (que no de infinito siempre) pero sí integrar (y que no de cero siempre) ?