Autor Tema: Un problema de Espiral Logarítmica

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22 Julio, 2014, 08:30 pm
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MasLibertad

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Estoy buscando en Internet una fórmula que me permita calcular la distancia entre dos pasos sucesivos de una espiral logarítmica dependiendo del grado de la espiral.

Perdonadme mi ignorancia en matemáticas, pero es que realmente lo necesito para resolver un problema.

Por ser más claro, tengo una curva logarítmica de orden A(ángulo) que mide L(longitud) y su distancia hasta el centro es R(radio).
Buscando en Internet he podido averiguar que L = R / cos(A).

Pero lo que yo necesito saber es cómo aumenta R en dos vueltas sucesivas.

Por ejemplo, suponiendo que R valga un metro y A sea de 20º, cuánto medirá R al dar la espiral una vuelta completa.
Si podéis decirme cuál es esa fórmula o cómo la puedo averiguar, os lo agradecería.
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

23 Julio, 2014, 12:03 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En cuanto a tu pregunta, en coordenadas polares viene dada por:

\(  r(\theta)=a\color{red}e^{b\theta}\color{black} \)

 (siendo \( \theta \) el ángulo y \( r \) el radio).

 Lo que suele conocerse por el grado \( A \) de la espiral es el ángulo que forma la tangente con el radio en cada punto y se cumple que:

\(  cos(A)=\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}} \)

o equivalentemente:

\( \color{red} b=1/tan(A)\color{black} \)

 Ahora el aumento del \( r \) entre dos vueltas es:

\( \color{red} r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1)\color{black} \)

Saludos.

CORREGIDO POR SEGUNDA VEZ

24 Julio, 2014, 08:14 am
Respuesta #2

MasLibertad

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Gracias por la ayuda, pero no se si la estoy interpretando correctamente porque no me sale un resultado lógico.

El problema parece estar en este trozo:

\( \dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1 \)

Probando el valor 12º  me sale un arctan de 4'7 que al elevarlo a \( 2\pi \) me da 16.806'5.
De aquí saco la inversa, 0'0000595 y no sigo porque el resultado ya sería negativo.

¿Qué es lo que estoy haciendo mal?
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

24 Julio, 2014, 09:42 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias por la ayuda, pero no se si la estoy interpretando correctamente porque no me sale un resultado lógico.

El problema parece estar en este trozo:

\( \dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1 \)

Probando el valor 12º  me sale un arctan de 4'7 que al elevarlo a \( 2\pi \) me da 16.806'5.
De aquí saco la inversa, 0'0000595 y no sigo porque el resultado ya sería negativo.

El arctan que has hallado está mal; supongo que lo has hecho con  una calculadora y no has tenido en cuenta que usualmente éstas trabajan en radianes no en grados. Entonces:

\( 12^o=\dfrac{12*Pi/180} \) radianes\( =\dfrac{\pi/15} \) radianes

Por tanto te quedaría:

\( \dfrac{1}{arctan(\pi/15)^{2*Pi}}-1=20186.1 \)

Saludos.

24 Julio, 2014, 05:10 pm
Respuesta #4

MasLibertad

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Tenías razón. Tanto la calculadora de Windows como el Excel trabajan en Radianes, por eso no me daban los resultados correctos.
No obstante, al corregir este error y aplicar tu fórmula me sale un número demasiado grande, de más de 20.000.
Como no me creo que pueda salir una cantidad tan grande meto los datos en una tabla de Excel.

  Grados      Arctan      Pot 2PI     Inversa     Menos 1 
  x     a=atan(radianes(x))     b=potencia(a;2*PI)     c=1 / b     d=c - 1 
120,2064550,00005020187,13787320186,137873
150,2560530,0001925218,8585745217,858574
300,4823480,01024597,61246896,612468
450,6657740,07761212,88461011,884610
600,8084490,2628843,8039642,803964
750,9184310,5858871,7068140,706814
901,0038851,0246610,975933-0,024067

No me cuadra que el Arcotangente de 45º sea 0'66 cuando la tangente es 1, como debe ser. ¿La inversa no debería ser también 1?
No sé si estoy metiendo la pata también con eso.

No obstante veo que la progresión final es muy elevada al principio y luego desciende con mucha rapidez.

Curiosamente, el valor correspondiente a los 45º se aproxima bastante a una estimación muy pedestre que hice hace tiempo, pero todos los demás valores están invertidos.
Se supone que una espiral, mientras mayor sea su grado, más crecerá antes de dar una vuelta, y con esta progresión parece que es al revés.

¿Es que me falta hacer algún cálculo más o es que he entendido mal lo de la función arcotangente?

P.D.
Después de escribir todo esto, miro en Internet y veo que he entendido mal el concepto de arcotangente.

No contestes todavía, voy a ver si lo estudio bien y entiendo el fallo antes de molestarte de nuevo.
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

25 Julio, 2014, 01:03 am
Respuesta #5

MasLibertad

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Un fallo mío.
En alguna parte leí que la función arcotangente es la inversa de tangente, e incluso vi la fórmula
\( arctan = tan^{-1} \) de donde deduje que \( arctan = \dfrac{1}{tan} \)

Ya he visto que estaba entendiendo mal el concepto de inversa, y que esto es más difícil de lo que pensaba.

Ahora la confusión la tengo sobre la fórmula que me diste.
\( r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{arctan(A)^{2\pi}}-1\right) \)

El caso es que nunca he manejado coordenadas polares así que la parte \( ab^{\theta}(b^{2\pi}-1) \) me la salté por completo y pensé que la parte final era la importante y la que me podría dar el resultado que buscaba.

Lamento decirlo, pero hasta ahora aún no lo he conseguido.

Según lo que he entendido, a la función tangente se le da un ángulo y devuelve un número.
La función arcotangente es la inversa, osea que se la da un número y devuelve un ángulo.
Sin embargo en tu fórmula usas la expresión \( arctan(A) \).

Como yo empecé a usar la letra A para referirme al ángulo, pensaba que la usarías con el mismo significado, pero a la función arcotangente no se le puede dar un ángulo. Entonces ¿qué significa la A en esa fórmula?
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

26 Julio, 2014, 09:04 am
Respuesta #6

MasLibertad

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Hola a todos.

Primero de todo, gracias, el_manco, por tu ayuda, aunque temo que la formula que me diste no puede ser correcta. O yo la estoy interpretando de forma errónea.

¿La has tomado de una fuente fiable? ¿O la has desarrollado tú mismo y existe alguna posibilidad de que esté equivocada?

Por desgracia no tengo conocimientos matemáticos suficientes para resolver este problema, aunque sí para intentar usar aproximaciones, y por ese procedimiento calculé hace años que para una espiral logarítmica de 45º la distancia entre dos vueltas sucesivas sería unas diez o doce veces su radio original.
Lógicamente, a más grados la distancia sería mayor y a menos grados menor.
Los casos extremos, 0º representaría una circunferencia y la distancia sería 0.
Y 90º representaría una recta y la distancia sería infinito.

Como has podido ver en la tabla de excel que incluí aplicando la fórmula que me has dado, la progresión está al contrario, dando un resultado que tiende a infinito en los 0º y a 0 en los 90º.

Primero supuse que tal vez a la fórmula le falte algún detalle, o que yo estaba entendiendo mal el concepto de grado y al hacerlo haya confundido el grado de la espiral con su complementario.
Examinando tu primer mensaje veo que dijiste:
Citar
Lo que suele conocerse por el grado A de la espiral es el ángulo que forma la tangente con el radio en cada punto
.
Y eso es lo contrario de lo que dice Wikipedia y varias páginas que he examinado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica, Sección Características, dice:
Citar
El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen

Si fuera sólo la Wikipedia no me fiaría mucho pero la misma definición se hace (y se asume) en varias otras páginas que he consultado.

A pesar de todo, si asumo que ha sido un error al interpretar el concepto de Grado de la Espiral, tu fórmula podría ser exacta, pero usando el complementario del ángulo deseado.

Ya he dicho que 45º me da un resultado muy parecido al que yo esperaba. En cambio, para 15º me da un resultado demasiado elevado, pero si uso el complementario, 75º, me sale un resultado, 0'70, que este sí que se parece a lo que yo soy capaz de deducir por métodos más pedestres.

Sigo sin entender por qué funciona, ya que la última duda que te planteé:
Citar
Según lo que he entendido, a la función tangente se le da un ángulo y devuelve un número.
La función arcotangente es la inversa, osea que se la da un número y devuelve un ángulo.
Sin embargo en tu fórmula usas la expresión arctan(A).

Como yo empecé a usar la letra A para referirme al ángulo, pensaba que la usarías con el mismo significado, pero a la función arcotangente no se le puede dar un ángulo. Entonces ¿qué significa la A en esa fórmula?
sigo sin entenderla.
Pero tampoco entiendo cómo funcionan los televisores LED y he aprendido a usarlos.

Asumo que la respuesta a mi pregunta:
Citar
la distancia entre dos pasos sucesivos de una espiral logarítmica dependiendo del grado de la espiral
es:
\( r(\theta+2\pi)-r(\theta)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{arctan(Radianes(90-A))^{2\pi}}-1\right) \)

Te agradecería, el_manco, ya que has sido tú el que me ha acompañado en esta odisea, me confirmaras si esta última fórmula es correcta o debo seguir :banghead:.

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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

26 Julio, 2014, 10:47 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Primero de todo, gracias, el_manco, por tu ayuda, aunque temo que la formula que me diste no puede ser correcta. O yo la estoy interpretando de forma errónea.

¿La has tomado de una fuente fiable? ¿O la has desarrollado tú mismo y existe alguna posibilidad de que esté equivocada?

No tengo ahora tiempo de explayarme; el caso es que cometí un error tonto. ¡Perdona! En lugar de arcotangente es tangente. Sería:

\( \color{red}\xcancel{ r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{\color{red}tan(A)\color{black}^{2\pi}}-1\right)}\color{black} \)

Hasta el lunes no puedo revisarlo con calma.

Saludos.

CORREGIDO: MAL

27 Julio, 2014, 08:00 am
Respuesta #8

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No tengo ahora tiempo de explayarme; el caso es que cometí un error tonto. ¡Perdona! En lugar de arcotangente es tangente. Sería:

\(  r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ab^{\theta}(b^{2\pi}-1)=r(\theta)\left(\dfrac{1}{\color{red}tan(A)\color{black}^{2\pi}}-1\right) \)

Hasta el lunes no puedo revisarlo con calma.
Cuando lo revises, te aconsejo que pruebes a aplicarlo en una Hoja de Cálculo, como he hecho yo.

Grados    Tan    Pot 2PI   Inversa   Menos 1 
x   a=tan(radianes(x))   b=potencia(a;2*PI)   c=1 / b   d=c - 1 
120,21250,00005916811,3316810,33
150,26790,0002553923,303922,30
300,57730,03170131,5430,54
451,00001,0000001,000,00
601,732031,54420,031-###
753,73203923,300,000255-###
90Infinito-###-###-###

Me parece que esta fórmula no puede ser correcta.
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27 Julio, 2014, 09:22 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 ¡Estoy gafado con este post! Las prisas son malas.

 Con la notación que uso después la ecuación en polares es:

\(  r(\theta)=ae^{b\theta} \)

 Y entonces el aumento del \( r \) entre dos vueltas es:

\(  r(\theta+2\pi)-r(\theta)=ae^{b\theta}(e^{2\pi b}-1)=r(\theta)(e^{2\pi/tan(A)}-1) \)

Saludos.

P.D. Aunque te sonará ridículo después de tantos errores; en realidad la cuestión es muy sencilla. Lo que ocurre que mezclé cierto despiste y dos notaciones diferentes. Espero no haberme equivocado ahora...