Autor Tema: Tangente a la hipotenusa.

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25 Junio, 2014, 09:39 am
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Michel

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Dado un triángulo rectángulo ABC, hallar el radio de la circunferencia tangente a la hipotenusa y a las prolongaciones de los catetos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

25 Junio, 2014, 04:50 pm
Respuesta #1

teeteto

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Supongamos que el triángulo dado ABC es rectángulo en A.

Sea O el centro de la circunferencia considerada y r su radio.

Sean P, Q y R los puntos de tangencia de la circunferencia con la prolongación de AB, con la hipotenusa BC y con la prolongación de AC, respectivamente.

Obsérvese que áng(QOR)=áng(B)=u y que áng(QOP)=áng(C)=90-u.

Por otro lado, tenemos que los triángulos QOC y ROC son iguales, por lo que áng(QOC)=u/2

Del mismo modo, los triángulos QOB y POB son iguales, por lo que áng(BOQ)=45-u/2.

En consecuencia:

tg(u/2)=QC/OQ=QC/r

y

tg(45-u/2)=BQ/OQ=BQ/r

Así,

BC=BQ+QC=r[tg(u/2)+tg(45-u/2)]

luego

r=BC/[tg(u/2)+tg(45-u/2)]

que, con algo de trigonometría, se puede poner más bonito.
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

25 Junio, 2014, 05:26 pm
Respuesta #2

Michel

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La circunferencia tangente a las prolongaciones de los catetos y a la hipotenusa es una de las exinscritas al triángulo, por lo que su centro es el punto de intersección de la bisectriz interior del ángulo recto A y las bisectrices exteriores de B y C, resultando que APOQ es un cuadrado.

Creo que teniendo esto en cuenta puede resultar más fácil.


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

30 Junio, 2014, 10:04 am
Respuesta #3

Michel

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Sea O el centro del círculo tangente a la hipotenusa en F y a las prolongaciones de los catetos en D y E; r el radio de ese círculo.

Es inmediato ver que ADOE es un cuadrado.

Se verifica: BD=BF=r-c, por ser iguales los segmentos de tangente por un punto.
Análogamente: CE=CF=r-b.
Entonces BF+CF=BC   ===>   r-c+r-b=a   ===>   2r=a+b+c

Por tanto, r=(a+b+c)/2

Nota: comparar con el radio del círculo inscrito, que vale (b+c-a)/2

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker