Autor Tema: Solución del sistema

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Junio, 2014, 05:49 pm
Leído 1087 veces

Kubik

  • Aprendiz
  • Mensajes: 402
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Me dan el sistema:

\( \begin{Bmatrix} dx/dt=-ax+by\\dy/dt=bx-ay\end{matrix} \) donde \( a,b>0 \)

La solución me da:
\(
x(t)=Ae^{(b-a)t}+Be^{-(b+a)t} \)
\( y(t)=Ce^{(b-a)t}+De^{-(b+a)t} \)

Quiero saber cómo calcular \( A,B,C,D \)

Saludos.

18 Junio, 2014, 10:36 pm
Respuesta #1

Samir M.

  • Physicsguy.
  • Moderador Global
  • Mensajes: 997
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I'm back^3.
Hola,

¿sabes lo que es un vector propio y cómo se hallan?
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

19 Junio, 2014, 08:45 am
Respuesta #2

Kubik

  • Aprendiz
  • Mensajes: 402
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Se supone que tendría que hacer algo con \( x(0) \) e \( y(0) \) ¿no?

19 Junio, 2014, 09:22 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,753
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
Se supone que tendría que hacer algo con \( x(0) \) e \( y(0) \) ¿no?

No es necesario, no te dan condición inicial.

19 Junio, 2014, 09:55 am
Respuesta #4

Fallen Angel

  • Aprendiz
  • Mensajes: 338
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ese comentario viene a que la solución general de un sistema de coeficientes constantes \( x'(t)=Ax(t) \) con \( A \) una matriz cuadrada es \( x(t)=e^{At} \) y para calcular la exponencial de una matriz necesitas pasar a la forma canónica de Jordan.

Un saludo!
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré

19 Junio, 2014, 10:08 am
Respuesta #5

Kubik

  • Aprendiz
  • Mensajes: 402
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Se supone que tendría que hacer algo con \( x(0) \) e \( y(0) \) ¿no?

No es necesario, no te dan condición inicial.

¿Y si me dijeran que \( x(0)=x_0 \) e \( y(0)=y_0 \)?

Saludos

19 Junio, 2014, 10:31 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,792
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿Y si me dijeran que \( x(0)=x_0 \) e \( y(0)=y_0 \)?

Fíjate que lo que has puesto como solución, no lo es para cualesquiera valores de \( A,B,C,D \). Y esto no tiene nada que ver con las condiciones iniciales. La solución general debería de depender sólo de dos parámetros y es en ese caso cuando tendría sentido calcularlos introduciendo las condiciones iniciales del sistema.

No me queda muy claro que cosas sabes sobre resolución de sistemas de eucaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Cuando dices que:

La solución me da:
\(
x(t)=Ae^{(b-a)t}+Be^{-(b+a)t} \)
\( y(t)=Ce^{(b-a)t}+De^{-(b+a)t} \)

Quiero saber cómo calcular \( A,B,C,D \)

¿Por qué dices que te da esa solución? ¿Cómo la has hallado?.

Hay un procedimiento standard para hallar esa solución de manera precisa (sin que queden "en el aire" los cuatro coeficientes que has utilizado).

En esencia si tienes el sistema \( x'=Ax \). Una base de la solución general son las columnas de la matriz \( e^{At} \). Para hallar esa exponencial suele hallarse la forma de Jordan de \( A \). En tu caso la matriz diagonaliza:

\( A=P^{-1}DP \)

donde \( D \) es la forma diagonal formada por los autovalores de \( A \) (\( (b-a) \) y \( -(b+a) \)) en tu caso. La matriz \( P \) está formada por los autovectores puestos como columnas.

Tendrás:

\( e^{At}=e^{P^{-1}DPt}=P^{-1}e^{Dt}P=P^{-1}\begin{pmatrix}{e^{(b-a)t}}&{0}\\{0}&{e^{-(b+a)t}}\end{pmatrix}P \)

 Si haces las cuentas, las columnas de la matriz obtenida serán una base de la solución del sistema. Cualquier otra es combinación lineal de ellas.

Saludos.

19 Junio, 2014, 10:44 am
Respuesta #7

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,753
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
Nota. Mi mensaje anterior era únicamente para hacer constar el matiz sobre las condiciones iniciales. No miré si el sistema estaba bien o mal resuelto.

19 Junio, 2014, 11:05 am
Respuesta #8

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 10,753
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla

20 Junio, 2014, 02:30 pm
Respuesta #9

Samir M.

  • Physicsguy.
  • Moderador Global
  • Mensajes: 997
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • I'm back^3.
Otra manera de resolver este problema es observando que si tienes el sistema  \( x' = Ax(t) \  \) y presupones que la solución es del tipo \( e^{rt}\vec{u} \  \), entonces tienes que \( re^{rt}\vec{u} = Ae^{rt}\vec{u}\Longleftrightarrow{ |A-Ir|\vec{u}=0 } \) (ten en cuenta que \( \vec{u}=\vec{0} \) define el caso trivial y no nos interesa, por lo que \( \vec{u}\neq{\vec{0}} \))
En caso de tener un valor propio de multiplicidad \( n \) puedes recurrir al teorema de Cayley-Hamilton y, como han dicho por ahí arriba, usar la función exponencial matricial.

Un saludo.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

22 Junio, 2014, 12:10 pm
Respuesta #10

Kubik

  • Aprendiz
  • Mensajes: 402
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ok, gracias a todos. :aplauso: