Autor Tema: Sobre espacio de funciones continuas, relativamente compacto, norma supremo.

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17 Junio, 2014, 12:24 am
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lindtaylor

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Considere el espacio de funciones continuas y acotadas sobre el intervalo \( [0,\infty) \), es decir, \( E=BC[0,\infty) \) con la métrica del supremo.
Sea \( K=\left\{\psi\in E: |\psi(x)|+|\psi'(x)|<x^ne^{-x},\ para\ algun\ n\in\mathbb{N}, x\in [0,\infty)\right\} \).

a) Si \( K_{[0,c]} \) es el conjunto de funciones en \( K \) restringidas a \( [0,c]\subset [0,\infty) \), pruebe que \( K_{[0,c]} \) es relativamente compacto en \( E \).
b) Demuestre que \( K \) es relativamente compacto en \( E \). ¿Y si cambiamos a la norma integral \( ||\psi(x)||_1=\int_{0}^\infty |\psi(x)|dx \) sigue siendo relativamente compacto?

Algún hint para empezar?
Desde ya gracias.
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