Autor Tema: Funciones de varias variables iguales.

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14 Junio, 2014, 06:19 pm
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hear

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Estimados tengan Uds. un saludo cordial de mi parte.
Quisiera compartir con ustedes algo sobre matemáticas que observe y que quisiera que participen con sus apreciaciones que siempre son bienvenidas como valiosas.

Comienzo escribiendo la siguiente relación de igualdad: f(x,y,z) = g(x,y,z), es claro que esto siempre es verdad de manera lógica y evidente si y solo la regla de correspondencia de f es igual a la de g, por otro lado hay un ejemplo sencillo en el cual f es diferente a g y se cumple la igualdad pero con cierta restricción y con una diferencia mínima, ejempo:
Sea \( f(x,y,z)= x+y+z \textsf{ y}\ g(x,y,z)=\begin{Bmatrix} \left |{-x-y-z}\right | & \mbox{ si }&x+y+z>0\\-\left |{-x-y-z}\right | & \mbox{si}& x+y+x<0\end{matrix} \), podemos probar esto que siempre es cierto para cualesquiera valores x, y y z del conjunto de los reales.
Ahora bien yo descubrí una función llamémosla f la cual es igual a otra llamémosla g en su valor pero que las reglas de correspondencia de ambas no se parecen en lo más mínimo. De hecho Uds. pueden revisar mis otros mensajes esto se refiere a la solución de ecuaciones cúbicas donde g es la solución de la ecuación cubica \( u^3+xu^2+yu+z=0 \) dada por Gerolamo Cardano en su ars magna y es una función de suma de dos radicales cúbicos y una constante más o menos así:
\( g=\sqrt[ 3]{p}+\sqrt[3 ]{q}+a \); obviamente p, q y a en función de x,y y z; mientras que mi función f tiene la forma:
\( f=\displaystyle\frac{m}{n}+b \), del mismo modo m, n y b en términos de x,y y z. Como ven es de suponerse que p, q, a, m, n y b no están relacionados de tal suerte que bajo las operaciones indicadas resulte evidente que f=g por lo tanto es un tipo de funciones especiales además que de acuerdo a mi investigación esto se cumple si hay una restricción R(x,y,z) de por medio como el ejemplo puesto en párrafos anteriores.
Ahora les pongo una pregunta, conoce alguien de Uds. algún otro par de función en algún campo del conocimiento donde suceda lo que les muestro?

nota:No detallo mi función f porque aun no la publico (disculpen).
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

14 Junio, 2014, 07:04 pm
Respuesta #1

Eduen

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Realmente no entiendo lo que buscas pero
\(
f(x,y,z)&=&g(x,y,z) \\
x + y + z &=&  |-x - y - z|  \\
x + y + z &=&  |-(x+y+z)| \\
 \)

sea x+y+z = u
\(
u &=&  |-u|   
 \)

La función valor absoluto


\(
g(u)=|-u|  \left\{\begin{matrix}
-u &\mbox{si sólo si}& u<0 \\
u  & \mbox{si sólo si}& u>0 \\
\end{matrix}
 \)

Si u<0

\(
\begin{matrix}
u &=&  |-u| \\ u &\neq& -u  
\end{matrix}
 \)

Si u>0
\(
\begin{matrix}
u &=&  |-u| \\
u &=& u  
\end{matrix}
 \)

Conclusión
\(
\begin{matrix}
f(x,y,z)&=&g(x,y,z) &\mbox{si sólo si}& x+y+z>0
\end{matrix}

\red\mbox{\*Editado}

 \)

No vi que hayas editado la ecuación que traías originalmente, en efecto, f(x) será siempre igual a g(x) si la declaras así
 \( f= x+y+z \textsf{ y}\ g(x)=\begin{Bmatrix} \left |{-x-y-z}\right | & \mbox{ si }&x+y+z>0\\-\left |{-x-y-z}\right | & \mbox{si}& x+y+z<0\end{matrix} \)

respecto a la otro sigo sin entender, perdón por contestar sin aportar nada, espero pase alguien que te pueda ayudar.
Un día vi un árbol que parecía un dragón, luego volvió a ser un árbol, así que me mintió.

14 Junio, 2014, 09:41 pm
Respuesta #2

hear

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Bueno esperemos que alguien comparta que tiene otra pareja de funciones f y g iguales en su valor pero distintas en su forma. Lo que yo trato de explicar es que yo obtuve esta pareja de funciones analizando la ecuacion cubica, mas sin embargo es posible que se encuentren en algun otro campo de accion sea ciencias naturales (incluida las matematicas) como sociales. Ahora bien detallar la forma de las funciones obtenidas queda a criterio del autor ya que si esta publicada ya podria compartirnosla mas sin embargo logicamente no esta obligado mas lo que se pide aqui es que se comparta si se tiene dicha pareja o parejas y de que campo del conocimiento se obtuvo.
Saludos!
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14 Junio, 2014, 10:25 pm
Respuesta #3

elcristo

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Hola.

Pero es que limitar el dominio de las funciones para ver que sean iguales es como coger una hoja de un manzano en Sevilla y una de un manzano en Canadá y decir que Canadá y Sevilla son iguales.

Tú puedes coger 2 funciones cualesquiera, que si tienen algún punto en común, si restringes el dominio será iguales.

Por ejemplo:

\( f(x) = x^3


g(x)=\begin{Bmatrix} x^3 & \mbox{ si }& 0\leq{}x\leq{}3\\x & \mbox{} & otro caso\end{matrix} \)


Si restringimos el dominio al \( [0,3] \) pues las funciones son iguales, y a la vez son distintas.

Todo esto lo digo como un joven estudiante de matemáticas, quizás no entendí muy bien lo que pretendes, pero lo que he logrado a entender ha sido esto.

Saludos.

14 Junio, 2014, 11:23 pm
Respuesta #4

Eduen

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Limitar el dominio de las funciones para ver que sean iguales es como coger una hoja de un manzano en Sevilla y una de un manzano en Canadá y decir que Canadá y Sevilla son iguales.


Lo mismo que dijoelcristo, otro ejemplo es este:
\( f(x) \) no es igual a \( g(x) \) en 1, ya que se vuelve indefinida, pero somos unos loquillos así que definimos un valor para 1 en la función y listo, ahora \( f(x) \) es igual a \( g(x) \) en todos los reales.

\(
f(x) = x-2 \\\\
g(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{x^2-3x+2}{x-1} & \mbox{ si }& x \neq 1 \\\\
-1 & \mbox{ si } x=1 \end{matrix} \)


No veo el sentido de restringir dominio, si una función devuelve los mismos resultados que otra, es porque \( f(x)=g(x) \), y en todo caso sería una única función.
Un día vi un árbol que parecía un dragón, luego volvió a ser un árbol, así que me mintió.

14 Junio, 2014, 11:25 pm
Respuesta #5

hear

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Estimado agradezco tu respuesta pero en el ejemplo que tu pones (de una variable por cierto...) f y g son exactamente iguales en su forma y valores en el intervalo de [0,3], yo propongo que sean diferentes en su forma!
Saludos!
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

14 Junio, 2014, 11:30 pm
Respuesta #6

hear

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De acuerdo eduen pero si te fijas bien yo puse una condicion en mi primer mensaje de que al efectuar las operaciones definidas en f como en g no queden iguales! en su forma! Asi si tu factorizas g entonces te quedará igual que f! lo cual se desea evitar (en su forma)...
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14 Junio, 2014, 11:34 pm
Respuesta #7

elcristo

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Vale, que te parecen estas.

\( f(x)=\begin{Bmatrix} x^2 & \mbox{ si }& x\in \mathbb{Q}\\0 & \mbox{si}& x\not\in{\mathbb{Q}}\end{matrix}


g(x)=cosx  \)

Y restringimos el dominio a \( \{x \in \mathbb{R} | x = (2z+1)\displaystyle\frac{\pi}{2} \forall{} z \in \mathbb{Z}\} \)

Son bien distintas, y en ese dominio restringido, ambas funciones son iguales (Si no me he equivocado, mi intención es restringir para que siempre valgan 0 ambas)

14 Junio, 2014, 11:41 pm
Respuesta #8

hear

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me parece que te has equivocado... ponme por favor un ejemplo donde se cumplan todas las condiciones que pones en el mensaje y las funciones sean iguales, gracias!
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14 Junio, 2014, 11:43 pm
Respuesta #9

elcristo

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\( x = \pi /2, \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = 3\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = 5\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = 7\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = -\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = -3\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)

x = -5\pi / 2 \ \ f(x) = 0 \ \ g(x) = 0 \ \ f(x) = g(x)
 \)

Y así sucesivamente.
En todo el dominio, \( f(x) = g(x) \)

14 Junio, 2014, 11:49 pm
Respuesta #10

hear

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Sí bastante ingenioso el ejemplo y lo conseguiste! Ahora pregunto que pasa si no las restringimos tanto q su valor coincidan en cero solamente? Podemos buscar estas parejas de funciones?
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15 Junio, 2014, 12:11 am
Respuesta #11

elcristo

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Pues sí, podemos hacer lo mismo ahora poniendo:

\(


g(x) =\begin{Bmatrix} cos(x) & \mbox{ si }& x\in I\\sen(x) + 5 & \mbox{si}& x \in P\end{matrix}

f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in I\\5 & \mbox{si}& x \in P\end{matrix}
 \)

Donde \( I = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x = min\{z \in \mathbb{Z} \ | \ z\leq{}x\}\}\cap{}\{Impares\}

P = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x = min\{z \in \mathbb{Z} \ | \ z\leq{}x\}\}\cap{}\{Pares\} \)
(Es decir, la parte entera de los números, por ejemplo, 3'5-->3, e intersecado con los pares e impares.)

Y ahora restringimos el dominio a \( A = \{z\pi \ | \ z\in \mathbb{Z}\} \)

Si no me he equivocado al expresarlo, la idea es la siguiente.

Tenemos una función \( g(x) \) que toma como valor \( cos(x) \) si \( x \) está en el subconjunto de los reales cuya parte entera es impar, y \( sen(x)+5 \) si \( x \) está en el subconjunto de los reales cuya parte entera es par. Además, tenemos \( f(x) \) que toma toma los valores 0 y 5 en los mismos subconjuntos que antes respectivamente.

Entonces, si \( z \) es par, tenemos que estamos en todos los múltiplos pares de \( \pi \), que tienen como parte entera un número par, luego estamos con el seno, pero como son múltiplos pares de \( \pi \) el seno vale 0, que sumándole 5 queda 5, lo mismo que \( f(x) \), y en el otro caso lo mismo.

Y si vamos haciendo más cositas podemos hacer lo que queramos, forzarlas a ser continuas, derivables, etc. y esto se puede extender a muchos casos y sobretodo a varias variables.

Saludos.

15 Junio, 2014, 01:25 am
Respuesta #12

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El ejemplo es muy similar al anterior; muy restrictivo y además para tener diversidad de valores en las funciones necesitamos x cada valor
diferente una restricción, te imaginas un par de funciones con solo una restricción e infinitos valores diferentes coincidentes en ambas funciones?
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15 Junio, 2014, 01:33 am
Respuesta #13

elcristo

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Creo que también puede servir cualquier función y su desarrollo en serie de fourier completa. La serie de fourier coincide con la función en infinitos puntos, y con restringir la función sólo en los puntos en los que sean iguales ya está solucionado.

También te sirve cualquier interpolación mediante polinomios restringido al conjunto de los nodos. Si son igualmente espaciados hasta el infinito pues tienes infinitos puntos, 2 funciones, un polinomio y otra cualquiera, que toman los mismos valores y es fácil restringir el dominio a los puntos en los que son iguales.

15 Junio, 2014, 01:40 am
Respuesta #14

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Pues estaria mejor si pones un ejemplo concreto ya sea con la transformada o la interpolación; recuerda una sola restricción pero escrita matemáticamente no asumida...
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15 Junio, 2014, 01:55 am
Respuesta #15

elcristo

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Me pides mucho, pero haré lo que pueda.

Sea \( f(x) = e^x \) (una función cualquiera y sencillita)

Ahora, sea \( Pn(x) \) el polinomio de interpolación que interpola a \( f(x) \) en todos los enteros.

Entonces si restringimos el dominio a \( \mathbb{Z} \) obtenemos lo que buscamos.

El polinomio de interpolación se podría calcular fácilmente, pues son nodos igualmente espaciados. Sin embargo, no ando yo muy sobrado como para hacer esto, sólo estoy en 2º.

16 Junio, 2014, 01:08 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

 hear: mi sensación es que le sigues dando vueltas a lo que comenzaste a exponer aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69665.msg277096#msg277096

 Como te comenté allí no es nada excepcional que dos expresiones aparentemente muy diferentes pueden definir la misma función; previsiblemente puede pasarse de una otra mediante transformaciones algebraicas más o menos complejas o directas.

 Por ejemplo (para \( x\neq 0 \)):

\(  f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}} \)

 y

\(  g(x)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2t^2}dt \)

 definen la misma función (aunque no son más que fuegos de artificio).

 Dices además:

Citar
Ahora les pongo una pregunta, conoce alguien de Uds. algún otro par de función en algún campo del conocimiento donde suceda lo que les muestro?
 

 Pero no nos muestras exactamente el par de funciones al que te refieres. Entonces no sé muy bien a donde quieres llegar....

Saludos.

16 Junio, 2014, 03:48 pm
Respuesta #17

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Bien el manco tienes mucha razon y pido disculpas por no abrirme ante todos exponiendo mis formulas, pero sabes quiero investigar más por eso estoy buscando otro estudio que me permita incurcionar nuevamente al mundo de la investigación y cuando lo haga verán publicados mis trabajos.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

17 Junio, 2014, 06:54 pm
Respuesta #18

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El manco cuando publique mi fórmula podrás darte el gusto de aplicarle la transformación que tu quieras para pasar de una función a la otra, hasta entonces queda abierta la posibilidad de que existan tales funciones diferentes entre sí y que ninguna transformación pueda aplicarse para pasar de la una a la otra y que a pesar de ello sean iguales en infinitos todos sus valores y cuyo dominio sean los reales salvo una sola restricción entre los valores de su dominio.
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