Autor Tema: Geometría en el plano

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19 Junio, 2014, 04:32 pm
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sergio_isleta

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Ayuda en este ejercicio por favor.

Editado por Fernando Revilla:

Bienvenido al foro. Por favor, dedica unos minutos al tutorial de LaTeX del foro para escribir los mensajes de acuerdo a las normas. Por esta vez, te lo redacto yo.

Ejercicio

Dada la recta \( r:\begin{cases}x=-1+3\lambda\\y=-5\lambda\\z=2+2\lambda\end{cases}\quad (\lambda\in \mathbb{R}) \) y dado el punto \( P(2,-2,3) \) exterior a \( r \),

\( a) \) Hallar en forma general la ecuación del plano \( \pi \) que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.
(1.5 puntos)

\( b) \) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta \( s \) que pasa por \( P \) y es perpendicular al plano \( \pi \), explicando el procedimiento utilizado.
(1.5 puntos)

19 Junio, 2014, 05:13 pm
Respuesta #1

feriva

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Ayuda en este ejercicio por favor.

\( x=-1+3\lambda \)

\( y=-5\lambda \)

\( z=2+2\lambda \)

De ahí, tienes el vector de la recta \( (3,-5,2) \)

Y el punto (2,-2,3) exterior a la recta también lo tienes.

Busca un punto \( (a,b,c) \) de la recta tal que

\( v=(2,-2,3)-(a,b,c) \) sea perpendicular al vector \( (3,-5,2) \); es muy fácil, tienes ahí las paramétricas para representar \( (a,b,c) \) en función de lambda y puedes usar el producto escalar igualado a cero.

Una vez que tienes eso ya tienes dos vectores LI del plano y un punto, con lo que puedes representar la ecuación del plano en la forma que quieras.

Esto también te sirve para el otro apartado del ejercicio.

Saludos.

19 Junio, 2014, 05:14 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Encuentra un punto por donde pase la recta y con este punto encuentra un vector que apunte desde este, al punto que te han dado.

Si haces el producto cruz de del vector de la recta y el vector calculado encontrarás un vector normal al plano que buscas.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

19 Junio, 2014, 06:18 pm
Respuesta #3

sergio_isleta

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Muchas gracias chicos!

19 Junio, 2014, 06:26 pm
Respuesta #4

feriva

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Muchas gracias chicos!

De nada. Por si acaso no está claro del todo, detallo un poco más:


Spoiler

Las ecuaciones paramétricas que te dan son las de la recta, si despejas, tienes

\( x-(-1)=3\lambda \)

\( y-0=-5\lambda \)

\( z-2=2\lambda \)

A la izquierda tienes coordenadas de punto menos coordenadas de punto; o sea, coordenadas de vector. Que están igualadas a unos lambdas con sus coeficientes. Por eso, si haces \( \lambda=1 \) tienes un vector de la recta; el que te decía \( (3,-5,2) \).

Para tener la ecuación de un plano necesitas dos vectores y un punto, y con esto, hasta aquí, ya tienes un punto y un vector, te falta otro. Lo mejor es hallar un vector perpendicular a la recta y que pase por el punto que te dan. porque así ya tienes el vector de la recta que te piden en el otro apartado. Perdón aquí, es un vector normal pero no el de la recta que te piden después

En este caso basta tener un poco de vista para hallarlo por la cuenta de la vieja y usando el producto escalar:

Tienes dos coordenadas que suman 5 y la otra es -5; así que, por producto escalar

\( (3,-5,2)\cdot(1,1,1)=3-5+2=0 \)

El vector (1,1,1) es ortogonal al de la recta que te dan y está en el plano que te piden.

La ecuación vectorial del plano es, entonces:

\( x,y,z=(2,-2,3)+a(3,-5,2)+b(1,1,1) \)

¿Sabas pasarla a la forma general? Si no sabes, dilo y lo explicamos.

En el siguiente apartado te piden la recta que pasa por el punto que te dan, P, y es perpendicular al plano hallado.

Hasta ahora tienes dos vectores perpendiculares, necesitas otro que sea perpendicular a ambos; ése será el vector de la recta que te piden; lo puedes hallar usando el producto vectorial.

Y una vez que hecho eso pues ya tienes el vector que necesitas y el punto P, y con ello tienes la ecuación vectorial al igual que la teníamos con el plano; sólo hay que pasarla a las otras formas que te piden; si no sabes hacerlo, pregunta tranquilamente.

Saludos.

[cerrar]

Olvídate si quieres de lo que te he dicho antes, que lo mismo te resulta muy complicado, hazlo como dice Fernando:

Despejas lambda de las paramétricas

\( \dfrac{x+1}{3}=\lambda \)

\( \dfrac{y}{-5}=\lambda \)

\( \dfrac{z-2}{2}=\lambda \)

Como todo es igual a lambda, igualando las fracciones tienes la ecuación continua

\( \dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{2} \)

Y de ahí eliges dos fracciones y las restas

\( \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{y}{5}=0 \)

operas

\( 5x+5+3y=0 \)

y tienes la ecuación de un plano que pasa por la recta que te dan, en donde el coeficiente de “z” es cero y por eso no aparece zeta.

Haz lo mismo, por ejemplo, con la primera y la tercera fracción, tendrás una ecuación de un plano que también pasa por esa recta y en la cual la coordenada de “y” será cero.

Cuando ya tengas las ecuaciones de dos planos distintos que pasan por la recta, escribes la ecuación del haz (pero con esos planos que has hallado, no con letras en los coeficientes)

\( \alpha(ax+by+cz+d)+\beta(ex+fy+gz+h)=0 \)

Diviendo todo por cualquiera de los escalares, alfa o beta (por ejemplo, por alfa) te queda

\( (ax+by+cz+d)+\dfrac{\beta}{\alpha}(ex+fy+gz+h)=\dfrac{0}{\alpha} \)

\( (ax+by+cz+d)+\dfrac{\beta}{\alpha}(ex+fy+gz+h)=0 \)

El cociente entre los escalares es otro escalar que puedes llamar con una sola letra \( \dfrac{\beta}{\alpha}=k \)

Utilizando las coordenadas del punto que te dan, hallas “k”, pues conoces todos los demás valores, y vuelves a escribir la ecuación del haz con los mismos coeficientes pero con las variables generales x,y,z en vez de las del punto que te dan; y también poniendo ya el valor de “k”. Operas un poco y te queda la ecuación en forma general. 




19 Junio, 2014, 06:31 pm
Respuesta #5

sergio_isleta

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No la verdad es que no se, te agradecería la explicación.

19 Junio, 2014, 06:52 pm
Respuesta #6

feriva

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No la verdad es que no se, te agradecería la explicación.

De acuerdo. Es un poco largo, de explicar con latex (de explicar cómo pasar a todas las formas) pero aquí lo tienes para el plano muy bien explicado

 http://www.vitutor.com/analitica/recta/ecuaciones_plano.html

y aquí para la recta


 http://www.vitutor.com/analitica/recta/ecuaciones_recta.html

 Es que ahora no puedo estarme; de todas formas, mejor de lo que se explica ahí... no creo que lo haga yo. En cualquier caso, si aún así no entiendes algo, pregunta, que alguien habrá por aquí para contestar, no te preocupes.


 Saludos.

 

19 Junio, 2014, 07:32 pm
Respuesta #7

feriva

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 Perdón, que por el afán de que te resultara más sencillo te he dicho una cosa mal, una cosa que no se puede hacer; no se puede sacar el vector por la cuenta de la vieja usando el producto escalar; te va a salir uno perpendicular al de la recta, desde luego, pero no sabes si es el que está en el plano o no, porque, con el de la recta, hay tres vectores perpendiculares entre sí, lógicamente. Tienes que hacerlo como te había dicho en la primera respuesta; es decir restando el punto “P” que te dan del punto en función de lambda que te dan las paramétricas y después, por producto escalar igualado a cero, hallar el valor de lambda y con ello el valor de las coordenadas del vector ortogonal que está dentro del plano que te dicen.
 Perdona, o siento, ha sido por eso, por hacértelo más fácil.

19 Junio, 2014, 07:47 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

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Dada la recta \( r:\begin{Bmatrix}x=-1+3\lambda\\y=-5\lambda\\z=2+2\lambda\end{matrix}\quad (\lambda\in \mathbb{R}) \) y dado el punto \( P(2,-2,3) \) exterior a \( r \),

\( a) \) Hallar en forma general la ecuación del plano \( \pi \) que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.
(1.5 puntos)

\( b) \) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta \( s \) que pasa por \( P \) y es perpendicular al plano \( \pi \), explicando el procedimiento utilizado.
(1.5 puntos)

El problema es rutinario si conoces la teoría previa ¿La has estudiado? Por ejemplo, para el apartado \( a) \) expresa \( r \) en forma continua, iguala primera fracción con segunda, primera con tercera y ya tendrás \( r \) como intersección de dos planos: \( r=\pi'\cap\pi''. \) Aplica la fórmula del haz de planos que la contiene y obliga a que pase por \( P. \) Veamos qué vas obteniendo.