Muchas gracias chicos!
De nada. Por si acaso no está claro del todo, detallo un poco más:
Spoiler
Las ecuaciones paramétricas que te dan son las de la recta, si despejas, tienes
\( x-(-1)=3\lambda \)
\( y-0=-5\lambda \)
\( z-2=2\lambda \)
A la izquierda tienes coordenadas de punto menos coordenadas de punto; o sea, coordenadas de vector. Que están igualadas a unos lambdas con sus coeficientes. Por eso, si haces \( \lambda=1 \) tienes un vector de la recta; el que te decía \( (3,-5,2) \).
Para tener la ecuación de un plano necesitas dos vectores y un punto, y con esto, hasta aquí, ya tienes un punto y un vector, te falta otro. Lo mejor es hallar un vector perpendicular a la recta y que pase por el punto que te dan. porque así ya tienes el vector de la recta que te piden en el otro apartado. Perdón aquí, es un vector normal pero no el de la recta que te piden después
En este caso basta tener un poco de vista para hallarlo por la cuenta de la vieja y usando el producto escalar:
Tienes dos coordenadas que suman 5 y la otra es -5; así que, por producto escalar
\( (3,-5,2)\cdot(1,1,1)=3-5+2=0 \)
El vector (1,1,1) es ortogonal al de la recta que te dan y está en el plano que te piden.
La ecuación vectorial del plano es, entonces:
\( x,y,z=(2,-2,3)+a(3,-5,2)+b(1,1,1) \)
¿Sabas pasarla a la forma general? Si no sabes, dilo y lo explicamos.
En el siguiente apartado te piden la recta que pasa por el punto que te dan, P, y es perpendicular al plano hallado.
Hasta ahora tienes dos vectores perpendiculares, necesitas otro que sea perpendicular a ambos; ése será el vector de la recta que te piden; lo puedes hallar usando el producto vectorial.
Y una vez que hecho eso pues ya tienes el vector que necesitas y el punto P, y con ello tienes la ecuación vectorial al igual que la teníamos con el plano; sólo hay que pasarla a las otras formas que te piden; si no sabes hacerlo, pregunta tranquilamente.
Saludos.
Olvídate si quieres de lo que te he dicho antes, que lo mismo te resulta muy complicado, hazlo como dice Fernando:
Despejas lambda de las paramétricas
\( \dfrac{x+1}{3}=\lambda \)
\( \dfrac{y}{-5}=\lambda \)
\( \dfrac{z-2}{2}=\lambda \)
Como todo es igual a lambda, igualando las fracciones tienes la ecuación continua
\( \dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{2} \)
Y de ahí eliges dos fracciones y las restas
\( \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{y}{5}=0 \)
operas
\( 5x+5+3y=0 \)
y tienes la ecuación de un plano que pasa por la recta que te dan, en donde el coeficiente de “z” es cero y por eso no aparece zeta.
Haz lo mismo, por ejemplo, con la primera y la tercera fracción, tendrás una ecuación de un plano que también pasa por esa recta y en la cual la coordenada de “y” será cero.
Cuando ya tengas las ecuaciones de dos planos distintos que pasan por la recta, escribes la ecuación del haz (pero con esos planos que has hallado, no con letras en los coeficientes)
\( \alpha(ax+by+cz+d)+\beta(ex+fy+gz+h)=0 \)
Diviendo todo por cualquiera de los escalares, alfa o beta (por ejemplo, por alfa) te queda
\( (ax+by+cz+d)+\dfrac{\beta}{\alpha}(ex+fy+gz+h)=\dfrac{0}{\alpha} \)
\( (ax+by+cz+d)+\dfrac{\beta}{\alpha}(ex+fy+gz+h)=0 \)
El cociente entre los escalares es otro escalar que puedes llamar con una sola letra \( \dfrac{\beta}{\alpha}=k \)
Utilizando las coordenadas del punto que te dan, hallas “k”, pues conoces todos los demás valores, y vuelves a escribir la ecuación del haz con los mismos coeficientes pero con las variables generales x,y,z en vez de las del punto que te dan; y también poniendo ya el valor de “k”. Operas un poco y te queda la ecuación en forma general.