[Amaliasusana]

según un libro:
el primer momento de la distribución GEV se calcula asumiendo k<0 y dice así:

la distribución GEV tiene la forma:
\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{\alpha}\left [1-k \left (\displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right] ^{1/k-1}e^{-\left[1-k\left( \displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right]^{1/k} \)

y \( u+\alpha/k < x < \infty \)

El primer momento es:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{u+\alpha/k}^{\infty}f(x) x dx \)

Sustituyendo por la transformación:

\( y = \left [ 1-k\left ( \displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right ]^{1/k} \)

Da:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left (\displaystyle\frac{\alpha}{k}-\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k + u\right ) e^{-y}dy \)

A mí me da diferente ya que al derivar y respecto de x:

\( dy = -\displaystyle\frac{1}{\alpha}\left [1-k\left (\displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right ] ^{1/k -1} \)

Alguien puede ayudarme? el primer momento me da:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left (\displaystyle\frac{-\alpha}{k}+\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k - u\right ) e^{-y}dy \)

El autor continua integrando:
\( \mu_{1}^{'}=u+\displaystyle\frac{\alpha}{k}\left [ 1-\Gamma(1-k)\right ] \)

[Luis Fuentes]

Hola

Da:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left (\displaystyle\frac{\alpha}{k}-\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k + u\right ) e^{-y}dy \)

A mí me da diferente ya que al derivar y respecto de x:

\( dy = -\displaystyle\frac{1}{\alpha}\left [1-k\left (\displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right ] ^{1/k -1} \)

Alguien puede ayudarme? el primer momento me da:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left (\displaystyle\frac{-\alpha}{k}+\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k - u\right ) e^{-y}dy \)

No es que te de diferente. El problema lo tienes al aplicar los límites de integración. Tienes:

\( y = \left [ 1-k\left ( \displaystyle\frac{x-u}{\alpha}\right ) \right ]^{1/k} \)

Cuando \( x\to \left(u+\frac{\alpha}{k}\right)^+ \) entonces dado que \( k<0 \), \( y\to +\infty \).

Cuando \( x\to +\infty \) entonces \( y\to 0 \). Es decir la integral te quedaría (¡ojo a los límites!):

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{\infty}^{0}\left (\displaystyle\frac{-\alpha}{k}+\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k - u\right ) e^{-y}dy \)

Si los cambias de orden queda:

\( \mu_{1}^{'}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left (\displaystyle\frac{\alpha}{k}-\displaystyle\frac{\alpha}{k}y^k +u\right ) e^{-y}dy \)

¿Sabes continuar ahora?.

El autor continua integrando:
\( \mu_{1}^{'}=u+\displaystyle\frac{\alpha}{k}\left [ 1-\Gamma(1-k)\right ] \)

Si no me equivoco debería de quedar:

\( \mu_{1}^{'}=u+\displaystyle\frac{\alpha}{k}\left [ 1-\Gamma(1\color{red}+k)\right ] \)

Saludos.

[Amaliasusana]

Gracias!!!

Y verdaderamente dado que el autor en la última ecuación utiliza \( \Gamma\left(1-k\right) \) en lugar de \( \Gamma\left(k+1\right) \)será por el valor de k? ya que todo su desarrollo lo realiza para k < 0. ...
Una pregunta: la \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-y}dy \) es\( - e^{-y} \) pero debo evaluarla entre 0 e infinito, ¿da uno?

me puedes decir por qué?

Una vez más MUCHAS GRACIAS!!

[Luis Fuentes]

Hola

Y verdaderamente dado que el autor en la última ecuación utiliza \( \Gamma\left(1-k\right) \) en lugar de \( \Gamma\left(k+1\right) \)será por el valor de k? ya que todo su desarrollo lo realiza para k < 0. ...

No sé; sigo pensando que tiene una errata.

Una pregunta: la \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-y}dy \) es\( - e^{-y} \) pero debo evaluarla entre 0 e infinito, ¿da uno?

Cuando \( y\to 0 \) entonces \( -e^{-y}\to -1 \).

Cuando \( y\to \infty \) entonces \( -e^{-y}\to 0 \).

La diferencia es \( 0-(-1)=1 \).

Saludos.

[Amaliasusana]

Gracias!!!

[Amaliasusana]

Hola: nuevamente y ahora con otras dudas, después de haber realizado varios intentos:

Después de encontrar los primeros momentos llegamos a la ecuación del coeficiente de asimetría en función del parámetro de forma \( k \):

\( C_s=sign(k)*\displaystyle\frac{-\Gamma(1+3k)+3\Gamma(1+k)\Gamma(1+2k)-2\Gamma^3(1+k)}{\left[\Gamma(1+2k)-\Gamma^2(1+k)\right]^{3/2}} \)

y el autor dice:
"Esta ecuación se resuelve numéricamente para obtener el valor de \( \hat{k} \). Se obtuvieron relaciones aproximadas entre el valor de k y el coeficiente de asimetría mediante análisis de regresión y se muestran a continuación."

En seguida muestra ecuaciones polinómicas de k en función de \( C_s \) para intervalos del coeficiente de Asimetría:

Por ejemplo (una de las ecuaciones:)
para \( k<0 \). \( \left(1.14<C_s<10\right) \),\(  R^2 = 1 \)
\( k=0.2858221-0.357983 C_s+0.116659C_s^2+0.022725C_s^3+0.002604C_s^4-0.000161C_s^5+0.000004C_s^6 \)

da 3 ecuaciones del mismo estilo.

He intentado por varios caminos, por ejemplo en el software R, haciendo una regresión polinómica con la función locpoly donde se da un rango para los valores de la variable dependiente, pero no he obtenido ni siquiera algo parecido a lo que el autor menciona.
Me parece que mi problema está en cómo defino el rango de valores de entrada para k. Estoy poniendo por ejemplo, valores randomizados de una distribución uniforme desde (-0.5 hasta 0) por ejemplo.
 
Ahora estoy bajando el programa Scilab, quizás podría ser más útil, no sé.

Si es así, ¿cómo puedo correr una regresión polinómica para esa función?

Gracias