Autor Tema: Demostración elemental del postulado de Bertrand

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07 Junio, 2014, 11:53 am
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feriva

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Ésta es una demostración elemental del Postulado de Bertrand, el cual afirma que entre un número 
\( n>1 \) y el doble de este número,  \( 2n \), existe al menos un primo.


 

LEMA 1:

Sea la sucesión

\( {\color{blue}0},1,2...\,\,\,{\color{blue}n}\,\,\,,n+1,n+2...{\color{blue}2n} \)

Todos los divisores propios de los números compuestos contenidos en  \( (n,2n) \) están contenidos en el intervalo \( (0,n) \).

  DEMOSTRACIÓN:

 \( \forall a\in(n,2n):\, a/a\cancel{|}n+k;\,\,k=0,1,2,3...n;\,\,\,n+k\neq{a} \)

Por lo que los divisores propios de dichos elementos sólo pueden estar contenidos en \( (0,n) \).

 Detallado en el spoiler

Spoiler

 El cociente entre los dos extremos es \( \dfrac{2n}{n}=2 \), por lo que cualquier número mayor que “n” ya no divide a 2n ni a ningún otro número menor que 2n; sólo puede dividir (dividirse) a sí mismo en ese intervalo. Luego todos los divisores propios de los números contenidos en  \( (n,2n) \) se hallan necesariamente contenidos en  \( (0,n) \)

 
[cerrar]

LEMA 2:

 Todo número compuesto tiene al menos un divisor propio distinto de los divisores propios que tienen todos los demás números compuestos (en el intervalo (n,2n) )

 DEMOSTRACIÓN:

   Por demostrar



Spoiler

Condicionado a la demostración del lema anterior.

COROLARIO:

 Como consecuencia de los lemas anteriores, se puede establecer una biyección entre todos los números compuestos contenidos en  \( (n,2n) \) y todos o algunos de sus divisores propios; los cuales, como se ha apuntado, se hallan contenidos en \( (0,n) \).
Dicho de otra manera, en \( (0,n) \)  existen al menos tantos divisores propios como números compuestos hay en  \( (n,2n) \).


POSTULADO DE BERTRAND; DEMOSTRACIÓN:

Supongamos que todos los números del intervalo \( (n,2n) \) son compuestos.

 Es claro que la cantidad de elementos contenidos en \( (0,n) \) es igual a la cantidad de elementos contenidos \( (n,2n) \).

Entonces, como ocurre que \( 1\in(0,n) \) y 1 no es divisor propio de ningún número, al establecer la biyección de todos los elementos de \( (0,n) \) con todos los elementos pertenecientes a  \( (n,2n) \), el 1 quedará correspondido con algún compuesto, lo que implica que en \( (0,n) \) haya menos divisores propios que compuestos en el otro intervalo; lo cual contradice el corolario y los lemas anteriores.
Tiene que existir al menos un primo en  \( (n,2n) \) para poder ser biyectado con el 1 y para que, así, la cantidad de divisores propios sea al menos igual a la cantidad de compuestos. La hipótesis de que todos los elementos de \( (n,2n) \) pueden ser compuestos resulta falsa.
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10 Junio, 2014, 09:07 pm
Respuesta #1

feriva

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 *Nota

Spoiler

Me acabo de acordar de que ya me equivoqué en esto (en el lema 2 de la entrada principal del hilo) y salí de mi error en aquel día (he vuelto a tropezar en la misma piedra porque, como me dedico a pensar en esto muy intermitentemente, después no me acuerdo de las cosas que voy deduciendo mal).

En este post

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=68403.msg273352#msg273352

decía...

Citar
  “Ciertamente no  es verdad que dado un conjunto de compuestos naturales todos tengan un divisor

propio distinto; basta con un contraejemplo para verlo:

\( 4,6,9 \)”


Sin embargo, eso sí que es cierto restringido al intervalo \( (n,2n) \); lo puedo afirmar basándome en que lo que intento demostrar de forma elemental —el postulado de Bertrand— ya está demostrado y sé que es cierto; y lo puedo hacer uniendo esta certeza a una muy simple demostración que añado (como os podéis imaginar, lo que pretenderé a partir de aquí es conseguir afirmar lo mismo pero sin basarme en que conozco “ el final de la película” para poder demostrar el postulado de forma elemental; cosa en que este preciso instante no sé todavía si lograré).   

[cerrar]

 LEMA 3

Todos los números, excepto el 1, contenidos en el intervalo \( (0,n) \) son divisores propios de al menos un número contenido en el intervalo \( (n,2n) \).

 Si empezamos por tomar el elemento \( n-1 \) tenemos

\( n-1<n\Rightarrow2(n-1)<2n\Rightarrow \)


\( con\,\,\, i=1,2,3...;\,\,\,\,2(n-i)\in(0,n)\vee2(n-i)\in(n,2n) \)


\( si\,\,\,2(n-i)\in(0,n)\Rightarrow2(n-i)<n\Rightarrow2\cdot2(n-i)<2n\Rightarrow \)


\( 2\cdot2(n-i)\in(0,n)\vee(n,2n)... \)...

Y así sucesivamente. Si “n” es par, ocurre que llegamos a un \( n-i \) que al ser multiplicado por 2 es exactamente igual a \( n \), pero ese número multiplicado por  un número una unidad mayor, en este caso 3, no puede ser mayor que \( 2n \) y entra en el intervalo \( (n,2n) \).
 
 Lo mismo ocurre cuando encontramos números que necesitan ser multiplicados por \( 2^b \) (donde b=1,2,3...) para que el número resultante pertenezca a \( (n,2n) \), podemos llegar a un número que multiplicado por \( 2^b \) sea exactamente \( n \), pero multiplicado por \( 2^b+1 \) entrará en el intervalo dicho. Es decir:

\( 2^b a=n \)

\( (2^b+1)a=2^b a+a \)

\( como\,\, a<n\wedge2^{b}a=n\Rightarrow(2^{b}+1)a<2n \)

Luego ese procedimiento recurrente permite afirmar:

\( \forall a\in(0,n)\exists b;\,\, b\in\mathbb{N}:\,\,2^{b}a\in(n,2n)\vee2^{b}a=n \)

\( si\,\,2^{b}a=n:\,\,2^{b}a+1\in(n,2n) \)

Por lo que todos los números, excepto el 1, contenidos en el intervalo \( (0,n) \) son divisores propios de al menos un número contenido en el intervalo \( (n,2n) \).

Detallado:

Spoiler
Es decir, con esas desigualdades de arriba se demuestra que cualquier número que se tome en \( (0,n) \) al ser multiplicado por 2, o bien por cuatro, o bien por 8... según los casos, dan como resultado un número que pertenece a \( (n,2n) \) o bien es igual a \( 2n \), con lo que, en ese último caso, al ser multiplicado por \( 2^b+1 \), donde "b" puede ser 1,2,3... entrará con seguridad en  \( (n,2n) \).

 Luego cualquier número que se tome de \( (0,n) \), multiplicado por algún otro número (no sólo por algún múltiplo de 2) da lugar a un compuesto de \( (n,2n) \) y esto implica, como es obvio, que cualquier número del intervalo \( (0,n) \), excepto el 1, es divisor propio de algún número de \( (2,n) \) (del que sea o los que sean, pero de alguno al menos).

 Como todos estos números  del intervalo \( (0,n) \) son distintos y todos pueden ser divisores propios —excepto el 1—, a los compuestos del otro intervalo, excepto a uno de ellos, se les podrá asignar un divisor propio distinto; es decir, para asegurar la biyección sólo nos falta relacionar un compuesto.

 Dado que, por el postulado de Bertrand, en el intervalo  \( (n,2n) \) existe al menos un primo, tenemos al menos un compuesto de menos en cuanto a la cantidad máxima de compuestos que podemos considerar en dicho intervalo, y así se puede asegurar que a cada compuesto distinto de los pertenecientes a \( (n,2n) \) se le puede asignar al menos un divisor propio distinto en cuanto a la cantidad total de divisores propios que tienen esos compuestos; es decir, a partir de aquí se sabe que hay al menos tantos divisores propios distintos como compuestos distintos (respecto de los intervalos considerados según se ha venido explicando).   

 Como decía más arriba, lo que pretendo es afirmar esto mismo sin apoyarme en el postulado para demostrar el propio postulado; pero por lo menos, de momento, ya sé de antemano que es cierto el lema 2 que pretendo demostrar. Una vez que lo haya demostrado sin apoyarme en el postulado (si lo consiguiera) quedará demostrado el postulado a tenor de lo ya  dicho en el primer mensaje del hilo.

*Era necesario, antes de nada, demostrar este lema. Yo había demostrado que todos los divisores propios de los compuesto que hay en \( (n,2n) \) están en \( (0,n) \), y también había afirmado, porque es obvio, que en ambos intervalos hay la misma cantidad de elementos. También es obvio que todos los elementos son distintos en ambos intervalos.
Sin embargo, todo eso no implica necesariamente que todos los elementos \( (0,n) \), excepto el 1, sean divisores propios de algún compuesto contenido en \( (n,2n) \); en principio, alguno podría serlo sólo de números más grandes que 2n. 



 
[cerrar]


 
 

 

20 Julio, 2014, 11:49 am
Respuesta #2

Víctor Luis

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Buenos Días...

En mi escaso conocimiento, es de suponer que el Postulado de Bertrand se cumple desde \( (1, 2n) \) donde "n" es el último termino de la primera mitad \( (1, n) \) y la segunda mitad seria \( (n+1, 2n) \)

\( (1, n) \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
\( (n+1, 2n) \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\} \)

• Ahora bien, \( n=10 \) solo sera divisor de un termino en este caso 20 y 2 será divisor de 9 terminos \( (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) \)
→Para cualquier valor de "n" hacia "2n" siempre será divisor de un termino, que es el ultimo "2n".


• A lo que voy, es que si movemos la sucesión donde 2n=40 y n=30 iniciando desde 20 hasta 40, el termino inicial 20 seria el único que será divisor, en este caso de 40.
→A eso me referia, que necesariamente el primer termino debe considerarse desde 1, donde para cualquier "n" hasta el doble "2n" "n" será divisor de un termino y hasta "3n" será divisor de 2 términos.

☼ Espero equivocarme y Felicito la explicación clara que se da sobre este postulado.

Saludos...

20 Julio, 2014, 01:46 pm
Respuesta #3

feriva

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→A eso me referia, que necesariamente el primer termino debe considerarse desde 1



 Hola, Víctor. En primer lugar muchas gracias por interesarte por mis cosas; pero, ¡CUIDADO!, cometo muchos errores, a veces hago las rectificaciones necesarias y otras no, porque se me olvida hacerlas o porque no he visto los errores.

  En cuanto a lo otro. Existen intervalos abiertos y cerrados y se expresan mediante los paréntesis y los corchetes; cuando en matemáticas se escribe, por ejemplo,  (5,6) se está diciendo que en ese intervalo no llega a entrar el cinco ni el 6; si fueran números reales a lo que nos estuviéramos refiriendo, a ese intervalo pertenecería el número 5,000... con alguna cifra distinta de cero por ahí detrás de los puntos suspensivos (siendo entonces por eso un poquitín mayor que 5 el valor)  pero el cinco no entraría, se quedaría fuera por pequeño. Tampoco entraría el 6, entraría cualquier valor un poquitín menor que 6, como 5,999..., el 6 se quedaría fuera por grande.

 Y si entendemos solo números naturales en orden de menor a mayor, (5,6) quiere decir el número 4, es el único que está ahí dentro; con otro ejemplo: aquí (2,6) están los números 3,4,5 y ninguno más. Si  se escribe esto, en cambio, [2,6] entonces se están considerando el intervalo cerrado por los dos lados y entran los números 2,3,4,5,6.

 Entonces, en (0,n) entran desde 1 hasta n-1, si de lo que hablamos es de la sucesión de números naturales en fila india.

 El postulado de Bertrand está demostrado de distintas maneras —no por mí en este post— y tiene un enunciado sencillo, lo puedes buscar en Internet, pero vamos a verlo con varios ejemplos:

\( 2,3,4 \)

 Vemos que entre 2 (éste sería “n”) y el doble de 2, que es 4 (éste sería 2n) existe el 3, que es primo.

\( 3,4,5,6 \)

 Vemos que entre 3 y el doble de 3, o sea, seis, entra el primo 5, luego existe un primo entre medias.


\( 4,5,6,7,8 \)

Vemos que entre 4 y 8 existen los primos 5 y 7, luego entra al menos un primo (en este caso entran dos)

 Bertrand conjeturó que esto se cumplía siempre para cualquier “n” igual o mayor que 2, pero no lo pudo demostrar, se demostró muchos años después.

Este postulado es muy importante en cuanto a la conjetura de Goldbach, ya que, si no se cumpliera, tampoco se podría cumplir la conjetura; ahora bien, esto no quiere decir lo contrario, que se cumpla el postulado es una condición necesaria para que se cumpla la conjetura, pero no suficiente. 

Algunos aficionados, al no estar informados sobre la existencia de este postulado, llegan a pensar que la conjetura no se cumple en el infinito porque los primos se separan mucho (y no tan aficionados, conozco a un físico, hermano de un amigo mío, que lo creía así).

 También he conocido otros que pensaban que no puede cumplirse porque existen infinitos compuestos consecutivos, sin que haya ningún primo en medio: \(  n!+2,\,n!+3,\,n!+4... \)

Pero que existan infinitos compuestos consecutivos no implica que “más allá del infinito” no existan primos.

 El asunto, como ves, es profundo, no entra en la cabeza que después de una sucesión de números compuestos que por definición no acaban nunca, jamás, aparezca un primo o los que sean; ¿si no acaban nunca, dónde se colocan esos primos, cómo pueden existir?

Pero lo cierto es que, si se mira de otro modo, lo que se ve claro es que tienen que aparecer primos y lo que cuesta creer es que pueda haber infinitos compuestos todos seguidos; y, no obstante, ambas cosas son ciertas. ¿Es cierta la conjetura de Goldbach —ya sea la fuerte o la débil, que sí está demostrada— en sentido absoluto, es decir, a tenor de una lógica clásica? 

 Un cordial saludo.

21 Julio, 2014, 03:37 am
Respuesta #4

Víctor Luis

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EXCELENTE EXPLICACION !!!

Un conocimiento mas claro en mi aún vacio depósito del saber matemático, eso de los "( )" y "[ ]" no lo sabía... eres un gran maestro.

• Sobre el Postulado de Bertran, decía con mi vocabulario que "es lógico" sinónimo de: "es de suponer", "es igual que 2+2=4" y demas.
Donde al duplicar un "límite" dado para "n" que es "2n" se amplian las posibilidades de que aparezca al menos un primo.

• Pero me hizo pensar en los análisis que hice, donde pude observar que hay algunos sectores donde encotramos pocos primos, en otros sectores hay mas primos y en el resto una cantidad variable.

Ejemplos:

* Entre 250 y el doble que sería 500:
→Estimo que hay 56 números base que pueden ser primos, donde en realidad hay 42 primos (75%)

* Entre 500 y el doble que sería 1.000:
→Estimo que hay 120 números base, habiendo 73 primos (60,8%)

* Entre 1.000 y el doble que sería 2.000:
→Estimo hay 256 números base, habiendo 135 primos (52,7%)

* Entre 5.000 y el doble que sería 10.000:
→Estimo 1.320 números base, habiendo 560 primos (42,4%)

* Entre 50.000 y el doble que sería 100.000:
→Estimo 13.312 números base, habiendo 4.459 primos (33,5%)

* Entre 500.000 y el doble que sería 1.000.000 :
→Estimo 133.304 números base, habiendo 33.960 primos (27,7%)

• El porcentaje que indico, corresponde a la cantidad de primos que en realidad existen respecto a la cantidad de números base que calculo habrían en el rango.

• Ahora, en mi modo de pensar, veo que este porcentaje va descendiendo y me hace suponer que llegará a un punto donde el porcentaje será <0 menor a cero, donde para el doble de "n" en unos casos habrá un primo y en otros no; y si avanzamos mas allá, se dará el caso de no encontrar un primo en el doble de "n".

• En una oportunidad, eso me hizo suponer, que determinar ese punto, donde no habrían primos en un rango, donde este rango es de "n" a "2n", de modo que sería importante, pensé que desde este punto habría una proporcionalidad hacia el siguiente punto de ausencia de primos, que indique en qué sectores encontrar primos, pues como te mencioné, hay sectores generadores de primos relacionados con los grupos origen, en otras palabras, en algunos grupos origen se encuentran mas numeros primos que en los demás y su opuesto, es que en algunos grupos origen, hay pocos números primos por existir muchos numeros base multiplos.

○ Se que debo estar equivocado en mi pensamiento; pero una análisis pendiente mas, será hacer un programa que evalue esto, al poder hacer facilmente hasta numeros de 19 digitos.

Saludos...

21 Julio, 2014, 02:39 pm
Respuesta #5

feriva

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EXCELENTE EXPLICACION !!!

Un conocimiento mas claro en mi aún vacio depósito del saber matemático, eso de los "( )" y "[ ]" no lo sabía... eres un gran maestro.


Gracias, Víctor, pero no llego a maestro, ni grande ni pequeño; soy el auténtico maestro ciruela, que no sabía leer —y en este caso además ve poco y se equivoca mucho— y daba escuela :D
 Lo que sé, lo sé explicar, pero yo creo que eso le pasa a todo el mundo; y por otra parte, como sé muy poco, es poca la cantidad de cosas que puedo explicar.

  En cuanto a lo otro subyace también un poco una cuestión de lógica; o una cuestión de fijarse en los conceptos. Una cosa es el porcentaje y otra la cantidad de primos que entran.

Entre 2 y 4 existe sólo el 3, luego hay un 100% de primos, todos los que hay entre medias —que sólo es el 3— son primos.

 Entre 100 y 1000  hay  899 números y existen 143 primos, por tanto, si restamos, hay 756 compuestos en ese intervalo; el porcentaje de primos es, evidentemente —sin hacer cuentas—  bastante menor que antes; sin embargo, antes sólo había un primo y ahora hay 143; una cosa es la densidad de primos y otra la cantidad.

El hecho de que tomando un intervalo muy grande la densidad de primos tienda a cero no quiere decir, ni mucho menos, que haya menos primos que entre 2 y 4; de hecho está demostrado que hay muchísimos; es más, si tomamos un intervalo (n,2n) “casi infinito”, enorme, la cantidad de primos también será “casi infinita”, aunque será muchísimo menor en comparación; en comparación con una cantidad mucho más grande, la de los números que hay en el intervalo. El número de compuestos entre (n,2n) puede ser infinito, pero infinito no es sinónimo de “todos” los números que hay en (n,2n) es sinónimo de que no se terminan nunca. Claro que si intentamos imaginar o visualizar, de golpe, el intervalo acotado por cada lado, tal cosa no entra en cabeza humana; pero eso no nos debe preocupar, porque nadie intenta desvelar el secreto de ese misterio, sino si hay primos o si no hay primos, y ya está demostrado que los hay.

Un cordial saludo.


22 Julio, 2014, 12:13 am
Respuesta #6

Víctor Luis

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Hola Maestro...


Creo que no me hice entender, mas sobre lo que indicas:
Citar
Entre 100 y 1000  hay  899 números y existen 143 primos, por tanto, si restamos, hay 756 compuestos en ese intervalo; el porcentaje de primos es, evidentemente —sin hacer cuentas—  bastante menor que antes; sin embargo, antes sólo había un primo y ahora hay 143; una cosa es la densidad de primos y otra la cantidad.

• Evidentemente entre 100 y 1000 hay 143 números primos.
101      293      521      757
103      307      523      761
107      311      541      769
109      313      547      773
113      317      557      787
127      331      563      797
131      337      569      809
137      347      571      811
139      349      577      821
149      353      587      823
151      359      593      827
157      367      599      829
163      373      601      839
167      379      607      853
173      383      613      857
179      389      617      859
181      397      619      863
191      401      631      877
193      409      641      881
197      419      643      883
199      421      647      887
211      431      653      907
223      433      659      911
227      439      661      919
229      443      673      929
233      449      677      937
239      457      683      941
241      461      691      947
251      463      701      953
257      467      709      967
263      479      719      971
269      487      727      977
271      491      733      983
277      499      739      991
281      503      743      997
283      509      751      

• Pero en mi caso entre 100 y 1000 hay "220" números base de los cuales "143" son números primos y entre estas cantidades fue que saque el "porcentaje", en este caso habría un 65% de primos.

* Regla de tres: Si 220 es el 100%, cual es el porcentaje de 143 ?

\( 220 \longmapsto {100\%} \)
\( 143 \longmapsto {x \%} \)

\( \frac{143 * 100}{220} = 65 \% \)

→ Espero que ahora me haya echo comprender, pues no considero como existentes los 899 números, sino 220 números base donde hay 143 primos, que restando 77 son números base multiplos ó pseudoprimos.


Saludos...

22 Julio, 2014, 01:58 am
Respuesta #7

feriva

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→ Espero que ahora me haya echo comprender, pues no considero como existentes los 899 números, sino 220 números base donde hay 143 primos, que restando 77 son números base multiplos ó pseudoprimos.


Saludos...


Hola, Víctor.

Bien, de acuerdo. Pero independientemente del porcentaje de tus números base, existen al menos tres demostraciones aceptadas como correctas del postulado de Bertrand, así que siempre encontraremos primos entre “n” y “2n” siendo “n” igual o mayor que dos. Es más, está demostrado que si n=8 o mayor, entran como poco 2, y cada vez van entrando más en la medida que “n” es más grande. Puedes darlo por hecho; puedes fiarte, si tuviera alguna pega, ya has visto cómo se las gastan los matemáticos, no hubieran admitido esas pruebas.

  Yo no me sé las demostraciones, hasta la más sencilla es algo liosa, pero si quieres convencerte un poco, aunque no sea una prueba formal, atiende a mi planteamiento.

 \( {\color{red}0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,{\color{red}10},11,12,13,14,15,16,17,18,19,{\color{red}20} \)

(es un caso particular pero pensémoslo más en general).

 La cantidad de números que hay a un lado y a otro entre los números rojos es igual y va a ser igual con cualquier número 2n que tomemos (en este caso con 2n=20, tenemos 9 números a cada lado)

Todos los múltiplos de 2 que hay en 2n, todos, se obtienen multiplicando los primeros números, empezando por la derecha, de (0,n): en este caso \( 2\cdot9=18;\,2\cdot8=16... \) etc.

Al multiplicar por 2 nos aparecen los pares de (n,2n) que son la mitad o la mitad menos uno de los números que hay en (n,2n); que sean la mitad o la mitad menos uno depende de si “n” es impar o no.

 Luego al hacer eso ya hemos ocupado unos lugares con compuestos (los múltiplos de 2) en dicho intervalo; nos quedan por ocupar cinco lugares (no importa dónde estén, importa que vamos gastando lugares, rellenándolos).

 Estamos suponiendo que todos son compuestos, luego en ese caso se tendrían que poder “tapar” todos esos lugares multiplicando por los primos siguientes.

 Así, buscamos el números más grande de (0,n) que multiplicado por 3 no es mayor que 2n, y repetimos multiplicando de derecha a izquierda hasta llegar a un número que multiplicado por 3 se queda pequeño; o sea, que es igual o menor que “n”.

 Pero va a ocurrir que, al hacer eso, tengamos que multiplicar algún par, y los pares ya están todos colocados en su lugar, no hay más pares en (n,2n); así que ese número será múltiplo de 3 y de 2 y no cubrirá ningún lugar.

 Luego, haré lo mismo multiplicando por 5, pero todos los números que multiplique, y que sean pares o múltiplos de 3 o ambas cosas, ya no ocupan lugar; entonces, los lugares que hubieran quedado vacíos al haber multiplicado por tres los números pares, no los va a tapar ninguno de los productos nuevos (no repetidos) que obtenga con el 5; porque son lugares que, según su distancia a 2n, tienen que ser múltiplos de 2 o de 3 o de nadie (los lugares están claramente relacionados con la multiplicidad de los primos).

Y si ahora sigo el procedimiento con el siguiente primo, 7, los múltiplos de 2, de 3 y de 5 que me salgan, ya están colocados, están repetidos; y los nuevos múltiplos de 7, si los hubiera, no subsanan los lugares vacíos por la misma razón que antes; no pueden ir colocados ahí.

Entonces, como necesito cubrir esos lugares con compuestos —porque estoy suponiendo que todos son compuestos en (n,2n)— tengo que seguir multiplicando por 11, por 13, por 17... hasta dar con un primo que multiplicado por 1 es demasiado grande o bien directamente entra como primo en (n,2n). Pero ¿qué pasa si fuera demasiado grande? Pasa que el 1 es el último número que necesito multiplicar por otro número para ocupar el último lugar vacío de (n,2n) y si no es un primo será un compuesto. Pero los compuestos de otros primos ya están todos utilizados y todos han cubierto su sitio; la cuestión está en que estamos usando el 1, y si multiplico 1 por un compuesto, sea como sea, aunque sea el cuadrado o el cubo de un primo o lo que sea, ése ya ha salido en la criba, el procedimiento obliga a ello. Y un primo que se quedara corto tampoco puede ser, porque entonces no cubre el último lugar, deja un vacío. 

 Los lugares vacíos —que se producen al repetirse los distintos números al multiplicar— no los pueden tapar los compuestos siguientes si vamos obteniendo los compuestos de esta manera; pero tiene que existir alguien en esos lugares, y sólo pueden ser los primos, porque no hay otros.

 Supongamos que no hay repeticiones; al llegar al 1 tendríamos que multiplicar por un primo para completar el último lugar en (n,2n); si multiplicamos por un compuesto hay repetición en contra de la hipótesis hecha, si multiplicamos por un primo que se queda corto o se sale... queda un lugar vacío.

 Ya digo que esto no es un demostración —a no ser que alguien más la “viera”— pero para mí me sirve para convencerme plenamente, apoyándome también en que sé que existen demostraciones sí aceptadas. Siempre va a existir al menos un primo entre “n” y “2n” para “n” mayor que 1.

Un cordial saludo.

22 Julio, 2014, 05:12 am
Respuesta #8

Víctor Luis

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Muy Bien Comprendido Maestro...


• No voy a insistir mas en esto y tampoco decir algo como que el Postulado no sea cierto, pues ya esta demostrado y lo mas importante, tu estas convencido de ello que lo comprendes mejor, con el envidiable conocimiento que tienes y espero tener un día.

• Pero sembraste la semillita de la curiosidad y no por ser terco o "contreras" como se dice aquí... pero voy a intentar buscar un rango entre "n" y "2n" donde no haya un primo, buscaré en los sectores carentes de primos y te comento mis resultados.

○ Para terminar preguntaría: En el supuesto que exista un rango entre "n" y "2n" donde no se de ningún primo ? Qué importancia tendría esto? ó En qué afecta a lo que se sabe de los números primos?

Saludos Amigo...

22 Julio, 2014, 08:01 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola, Victor, buenas tardes desde aquí.
Citar
con el envidiable conocimiento que tienes y espero tener un día.

Lo que yo pueda saber que no sepas tú, lo aprendes en cuatro días, mejor aspira a saber lo que cualquier otro miembro del foro :)



Citar
• Pero sembraste la semillita de la curiosidad y no por ser terco o "contreras" como se dice aquí... pero voy a intentar buscar un rango entre "n" y "2n" donde no haya un primo, buscaré en los sectores carentes de primos y te comento mis resultados.

 Está muy bien ser cabezota para estas cosas, además así, a lo mejor, demuestras el teorema de otra forma más sencilla; las cosas se demuestran normalmente de esa manera, suponiendo que son lo contrario de lo que son.

Citar
○ Para terminar preguntaría: En el supuesto que exista un rango entre "n" y "2n" donde no se de ningún primo ? Qué importancia tendría esto? ó En qué afecta a lo que se sabe de los números primos?

 Sería dramático, los matemáticos empezarían a dudar de todo y se volverían locos; pero eso no va a pasar. Si eso sucediese, creo no se estarían considerando números naturales, sino números de divisibilidad indefinida.

Pero se me ha ocurrido una forma mucho más sencilla e interesante de explicarlo; aunque siga sin suponer ninguna demostración (intenta demostrar que puede fallar como primera piedra de toque para poder demostrar que no siempre existen primos en (n,2n) ).

Spoiler

\( 0,1,2,3,4,{\color{red}5},(),(),(),(),{\color{red}10} \)

\( 2({\color{red}5}-1)=8 \)

\( 2({\color{red}5}-2)=6 \)

\( 2({\color{red}5}-3)=4;pero\,\,4<5 \)

Obtengo así, multiplicando por el primer primo, los números 8 y 6, y relleno los paréntesis según me salen los números obtenidos colocándolos detrás del 10.:

\( 0,1,2,3,4,{\color{red}5},(),(),(6),(8),{\color{red}10} \)

Como me faltan dos compuestos, busco el mayor número de (0,5) que multiplicado por el siguiente primo es menor que 10.


\( 3({\color{red}5}-2)=9 \)

\( 3({\color{red}5}-3)=6 \)

\( 3({\color{red}5}-4)=3;\, pero\,\,3<5 \)

Y relleno siguiendo antes, según me salen e incluyendo el número repetido

\( 0,1,2,3,4,{\color{red}5},(6),(9),(6),(8),{\color{red}10} \)

Ya no caben más compuestos. El primo máximo es 3, porque el siguiente, 5, multiplicado por el primo más pequeño, 2, da 10, que es 2n.

Ahí, para ordenarlos todos estrictamente, sobra un número, el 6, y falta un número que no puede ser compuesto; tendría que ser un número compuesto por 5 u otro primo mayor, pero el primo máximo es el 3.

Para que no apareciera ninguna repetición (en general, para cualquier 2n) sólo podría haber un múltiplo de 3 y éste no podría ser múltiplo de 2, ya que, si multiplicamos tan sólo dos números consecutivos por 3, uno de ellos es múltiplo de 2 seguro. Y esto no sólo pasa con el 3, va pasando con todos...

 Pruébalo con más números, obsérvalo  y dime si todavía intuyes que puede haber sólo compuestos en algún intervalo (n,2n) 


 
[cerrar]

Otra cosa, ya he visto que el_ manco ha analizado tu idea; a ver si te decides a decirle cuáles son los primos origen, hombre, aunque sea en privado, que no se los va a quedar para él.

Un cordial saludo.

23 Julio, 2014, 09:01 pm
Respuesta #10

feriva

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Hola, Víctor, buenas tardes; ¿has tenido tiempo para mirar un poco esto?; si fuera el caso, ¿has visto algo interesante?

Si lo has hecho, es probable que te hayas fijado en cosas como ésta, voy a tomar, por ejemplo, \( 2n=44 \)

\( {\color{red}0},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,{\color{red}22}...\,\,{\color{red}44} \)

Hay 21 un números, tenemos que multiplicar 21 veces para rellenar eso.

Por 2 salen: \( 42,40,38,36,34,32,30,28,26,24 \)

Por 3 salen: \( \mbox{\ensuremath{{\color{blue}42},39,{\color{blue}36},33,{\color{blue}30},27,{\color{blue}24}}} \)

Por 5 salen: \( {\color{blue}40},35,{\color{blue}30},25 \)

Y ahí ya hay 21 números para rellenar todo el intervalo.

Ahora voy a ordenarlos siguiendo el orden natural (lógicamente, el orden no es estricto, pero existe este orden)


\( {\color{red}22},{\color{blue}24},24,25,26,27,28,{\color{blue}30},30,{\color{blue}30},32,33,34,35,36,{\color{blue}36},38,39,40,{\color{blue}40},42,{\color{blue}42},{\color{red}44} \)


He marcado en azul los números repetidos que no están en su lugar según su orden natural; es decir, el primer 24 debería ser un 23, el segundo está en su lugar, etc.

Observamos que si restamos o sumamos uno a los números azules, según cada caso, obtenemos los números necesarios para que el orden sí sea estricto; y vemos, como ya he dicho tantas veces en éste y algún hilo más, que son los primos de ese intervalo.

Y AHORA VIENE LA CURIOSIDAD: el 30 sale repetido tres veces por ser múltiplo de tres primos de los que hemos utilizado para multiplicar 2,3 y 5, y eso implica que se le pueda restar uno, para obtener uno de los primos que falta, y se le pueda sumar 1 para obtener otro primo que falta; lo que parece estar más que relacionado con cómo y por qué aparecen los primos gemelos, además de hacer intuir muy fuertemente que éstos tienen que ser infinitos.

(¿ves?, yo comparto las cosas que voy viendo, y sin registrarlas en la mayoría de las veces, como ahora. Cualquier año de éstos me moriré a no mucho tardar y para qué me las voy a llevar al otro mundo; en caso de que le sirvan de algo a alguien, será aquí, no en el más allá :) )

Un afectuoso saludo.

23 Julio, 2014, 11:29 pm
Respuesta #11

Víctor Luis

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Holas Feriva...

Acabo de verlos amigo y a medias, mi salud no me da para mucho...


a) Una observación importante según mi punto de vista, es que tu análisis lo realizas para "límites pequeños" donde no refutaría a nadie hasta límites de 1 millón.
Pero como te fui explicando, de la cantidad de números base que determiné hasta 1 millón, de estos menos del 50% son primos, donde para limites mas grandes esta cantidad sigue disminuyendo y me hace suponer que llegará a menor que uno, donde no habría un primo de "n" a "2n".


b) Lo que no has considerado, ó no me he echo entender, es que de "n" → "2n" yo tomo en cuenta solo los números base que existen, ya que estos son los únicos en donde habrá o se dará un primo.
En cambio tu relacionas los primos a darse entre "n" → "2n" respecto con todos los números naturales en este rango.

• No es tanto ser cabezota o terco amigo, como no sabía todo esto que aprendí, mas que todo de tu persona, en este magnífico foro, para avanzar en mi investigación, tenía que comprobarlo es decir, ver que realmente se den y se cumplan, todas las funciones y proporciones en la organización, que me dice algo diferente, sobre lo que los matemáticos ya lo tienen demostrado, lo cual respeto y no contradigo por ahora.

• Como te dije, voy a hacer un programa que evalué rangos de "n"→"2n" a partir de 1 millón, donde saque los números base existentes para el rango y determine su primalidad, donde al encontrarse el primer primo, pase a evaluar el siguiente rango, para el cual "n" será igual a "2n" y para este se calcula el nuevo tango con "2n".

• Con este criterio, lo dejaré un buen rato ejecutando hasta que "2n" llegue a tener mas de 19 dígitos ó cuando encuentre que en todos los números base del rango, ninguno es primo.
→ Los datos que se vayan informando en cada rango evaluado, te los comentaré, para intercambiar criterios en base a ello.
→ Por ahora no lo puedo hacer, debido a mi aún delicado estado de salud.


c) Sobre dar a conocer los primos origen y otros datos que manejo, como dijiste también... Explicando como es la organización y dado un ejemplo que el panadero, el zapatero y la viejita de la esquina lo comprenda y lo compruebe, el resto, es para los matemáticos.
Por eso busqué el ejemplo mas adecuado que reflejen estas propiedades que se exponen y si me sucediera algo que me lleve al mas allá, como casi sucede... como bien también lo dijiste, poniéndose en la situación de olvidar todo lo que se sabe de matemáticas como lo hice, facilmente encontrarán todos los datos de esta organización, a mi modo de ver esa es la clave.

☼ Bueno amigo, espero pronto darte noticias y espero darte la razón y no tenerla yo...

Saludos.

23 Julio, 2014, 11:45 pm
Respuesta #12

feriva

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Holas Feriva...

Acabo de verlos amigo y a medias, mi salud no me da para mucho...


Vaya, lo siento de verdad, Víctor.

 Me alegro de que no te acabes de creer el postulado de Bertrand, así charlaremos más veces :)

 No te preocupes por quién tenga la razón, la razón tiene que ser de las matemáticas, no nuestra.

 Espero que te mejores.

 Un abrazo y buenas noches.

25 Julio, 2014, 12:09 pm
Respuesta #13

feriva

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Hola otra vez, Víctor. Te contesto aquí sobre el hilo de el_manco para dejarte seguir la discusión con él (que ésa es una discusión de más altura,  yo simplemente había entrado para aclarar a qué se refiere exactamente el TFA porque te lo expliqué en otro hilo pero seguramente no lo detallé bien).

 Uniendo lo que dices de los números base allí y aquí, no sé qué puedes estar viendo en ese “más allá” de los números grandes; lo digo por esto

Citar
a) Una observación importante según mi punto de vista, es que tu análisis lo realizas para "límites pequeños" donde no refutaría a nadie hasta límites de 1 millón.
Pero como te fui explicando, de la cantidad de números base que determiné hasta 1 millón, de estos menos del 50% son primos, donde para limites mas grandes esta cantidad sigue disminuyendo y me hace suponer que llegará a menor que uno, donde no habría un primo de "n" a "2n".


Antes de que se demostrara el postulado de Bertrand la duda era si podrían existir algunos intervalos (n,2n) en los que no hubiera primos, pero no se dudaba de que hubiera intervalos (n,2n) con “n” tan grande como se quisiera en los que existiera algún primo; porque es algo muy fácil de demostrar dado que hay infinitos primos.

 Para demostrar que hay infinitos (en la forma más habitual) primero hay que demostrar que dos naturales “n” y “n+1” no tienen ningún primo en común en cuanto a su descomposición.

Basta suponer que  \( p \) es cualquiera de los primos que componen a “n”.

Entonces, si algún primo de “n” dividiera exactamente a “n+1” tendríamos
 
\( \dfrac {n}{p}+\dfrac {1}{p}=entero \)

Pero   \( \dfrac {n}{p} \) tiene que ser un número entero, porque “n” es múltiplo de “p”, y por

otra parte \( \dfrac {1}{p} \) no puede ser entero, tiene que ser menor que 1. Así que la suma tampoco puede dar un entero, dado que un sumando es entero y el otro no; y de esta forma se acaba por asumir que “p” no divide a “n+1” y que, por tanto, “n” y “n+1” no pueden tener ningún primo en común.

 Si ahora supones que hay infinitos primos, existirá el número

\( 2\cdot 3\cdot 5\cdot7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot...P_n  \)

que es, en hipótesis, el número que daría la multiplicación de todos los primos existentes hasta el último; que sería ese “\( P_n \)”

A partir de esto, el siguiente a ese número

\( (2\cdot 3\cdot 5\cdot7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot...P_n)+1  \)

 o bien sería un primo distinto de todos ésos o bien sería un número compuesto por primos distintos de todos ésos, porque por lo dicho antes no puede ser múltiplo de ninguno de ellos, tiene que ser coprimo. Con lo que se demuestra que los propios primos implican que existan más y más primos sin acabar.

 Luego se puede elegir un primo arbitrariamente grande; por ejemplo, uno que tenga un billón de cifras o más (si no lo hubiera de un billón de cifras exactamente, lo habría de más, por ser la cantidad de primos infinita).

 Llamemos a ese primo tan grande “P”. Entonces existe “P+1=2n”, que  es par, y ese primo “P” entra  dentro de ese intervalo (n, 2n) enorme; tan grande como quieras, o más grande de lo que quieras en el caso de que no pudiera ser exactamente tan grande como hayas elegido.
 No hace falta usar el ordenador para estar seguro de algunas cosas, se ve con absoluta claridad que no puede ser de otra manera.
 Pero por si acaso, he usado al amigo Wolfram Alpha para que me dijera cuántos primos había entre el número mil millones y el número dos mil millones; te pongo el enlace para que lo veas ya hecho:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=primes+1000000000+to+2000000000

Como ves, hay más de 47 millones de primos en ese intervalo. Eso sí, la parte proporcional de primos, teniendo en cuenta la cantidad de números que hay en el intervalo, es baja, 0,047...; supone un 4,74% de números primos en dicho intervalo (aunque ya sé que tú te refieres al porcentaje de números base).
 Algo tienes que estar estimando mal, no sé si te faltan números base por considerar o qué, pero tú mismo puedes juzgar.

 Un cordial saludo.


 

26 Julio, 2014, 01:22 am
Respuesta #14

Víctor Luis

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Hola Feriva...


([A])
DATOS:
►Entre 1.000.000.000 y 2.000.000.000 hay 266.666.560 números base y habiendo 47.374.753 primos estos comprenden el 17,8%

►Entre 500.000.000.000 y 1.000.000.000.000 hay 133.333.332.960 números base y habiendo 18.299.775.876 primos estos comprenden el 13,7%

→ Para saber de 1 a 2 billones, Wolfram Alpha ya no lo calcula por el tiempo o alfo asi que sale en un mensaje; pero buscaré con mi tamiz y lo compararé con PrimeSieve y lo definimos... OK

►Entre 1.000.000.000.000 y 2.000.000.000.000 hay 266.666.665.792 números base y habiendo 35.693.984.121 primos estos comprenden el 13,4%


DEFINICION.
→Antes aclaro que la cantidad de números base es precisa, no pueden darse mas ni menos, de los cuales nunca se dará el caso que hayan mas primos que números base calculados.

* Para no entrar en mas polémica Amigo, diré que ganaste limpiamente el "primer round", debido a que no podré encontrar un rango "n"→"2n" sin primos antes de llegar a los 19 dígitos, que es el límite de la variable extended en Delphi, solo por eso.
* Otro detalle que no consideré, es haber pensado, que cuando el porcentaje sea <1% ya no habrían primos; pero aunque este sea, 0,001% para un rango cada vez mas grande, este porcentaje indicará una cantidad significativa de primos, que lógicamente será porsupuesto >1.

OBSERVACIONES.
* Desde mi punto de vista, mas que científico, me parece ingenioso el pensamiento de Bertran, ya que al decir que habrá por lo menos 1 primo, le acierta a todas las loterías.

Es como el clásico problema de las monedas de Malba Tahan:
Citar
UN DÍA 3 AMIGOS VAN A TOMAR ALGO A UNA CAFETERÍA LUEGO AL TERMINAR TIENEN QUE RETIRARSE Y LE PIDEN AL MOZO LA CUENTA. EN TOTAL ERAN 30 MONEDAS QUE LAS COBRA Y VA DONDE EL ADMINISTRADOR QUE LE DICE QUE SOLO DEBE COBRAR 25 MONEDAS ENTONCES EL MOZO SE QUEDA CON 5 MONEDAS Y NO TIENE FORMA DE REPARTIR ESO CON SUS CLIENTES ASÍ QUE DECIDE AGARRARSE DOS MONEDAS Y RETRIBUIRLES 1 MONEDA A CADA UNO PERO LUEGO CALCULANDO SI LES DA 1 MONEDA A CADA UNO ESO SIGNIFICA QUE:
9+9+9:27+2(QUE SE AGARRO EL MOSO)=29 FALTA 1 MONEDA

* No sé, cuanta importancia se le dá a este Postulado; pero "en mi criterio", se debería estimar la cantidad de números primos existentes entre "n" → "2n".

http://youtu.be/kE8ckdCgQDE

Por ejemplo, en este video, muestro que se puede calcular la cantidad mínima de primos hasta cierto límite, luego utilizo el tamiz PRI-BASE para buscar y contar la cantidad real existente y como podrás apreciar se aproxima.

* Leí también que hay una fórmula dada hace tiempo, calculando con logaritmo o algo así, si supiera como hacer ese calculo, lo compararía con mi rustico calculo.

→En fin, son mis pensamientos y espero no me jalen las orejas por mis expresiones.


() Hace tiempo, analizando la disminución de números primos en un rango de 50.000.000 estimé que al llegar al trillón serían pocos los primos que haya y pensé que cuando mucho al llegar hasta el cuatrillón, para ese rango no habrían primos.

• Ese rango lo tomé al azar, en sí era el rango que manejaba en la primera versión de PRI-BASE; pero como fui encontrando mas datos, no terminé ese análisis.

• Mi pensamiento era que tomando un rango como 50.000.000 y buscando números primos dentro del rango y los siguientes rangos, (doble, triple, etc) llegará un punto en que no habrá primos en el rango; pero sí en el siguiente y talvez no en el subsiguiente.
→La cosa era determinar el primer rango donde hay ausencia de primos y evaluar en que proporción fueron disminuyendo, lo que ya se que es inconstante respecto al rango de 50.000.000; pero considerando que en este rango existen 13.333.200 números base, la proporción es mas aproximada y eso no lo había considerado en ese entonces.

• A dónde voy... Si decimos que "n" es el primer rango con ausencia de primos, evaluar el rango "2n" si también presenta ausencia de primos y asi "4n", "8n", etc de modo que tal vez pueda darse una secuencia de rangos sin primos.
→El límite de evaluación osea hasta donde in duplicando los rangos "2n", "4n", "8n", ... sería hasta el doble del valor del rango "n"
Si por ejemplo el rango "n" fue de 2.000.000.000 se evaluarían estos rango hasta 4.000.000.000 ya que la cantidad de números base seria proporcional; pero antes de "n" siempre había por lo menos 1 primos y después de "n" habrán rangos sin primos que deben obedecer a algún patrón o secuencial, ya que en la organización, todo es proporcional... "es una idea solamente".


([C])  Para finalizar, dire... ahora si por terco, esperando equivocarme... diré que no consideró apropiado, evaluar rangos iniciales ó límites pequeños de números primos, para sacar una conclusión y dar por hecho un método.
→Sé que para eso esta el análisis matemático y en cada oportunidad me lo demuestras con gran facilidad Amigo "Feriva" cosa que no domino mucho todavía.
→Pero lo digo, desde mi experiencia en la organización, donde al principio sacaba conclusiones "a priori" y al llegar a un punto, se daban fallas y era volver a revisar los análisis.
» Creo que es una torpeza mía, lo reconozco; pero los números primos resultan ser algo engañosos y mas si los observamos desde el orden natural.


Saludos...

26 Julio, 2014, 02:36 pm
Respuesta #15

feriva

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 Hola, Víctor.

Citar

* Otro detalle que no consideré, es haber pensado, que cuando el porcentaje sea <1% ya no habrían primos; pero aunque este sea, 0,001% para un rango cada vez mas grande, este porcentaje indicará una cantidad significativa de primos, que lógicamente será porsupuesto >1.

Eso ya me parece más lógico.
...

Tengo un sistema (que seguro que existe, pero yo lo descubrí hace tiempo por mí mismo) para calcular la cantidad de primos a mano entre “n” y “2n” que te va a interesar. Te lo explico por si alguna vez quisieras programarlo para comprobar si funciona bien.

 Supongamos que hay, por ejemplo, 100 números en el intervalo (n,2n).

 La cantidad de pares será 50, o sea \( \dfrac{100}{2} \), porque cada dos números uno de ellos es par.

Seguidamente dividimos \( 100/3 \) y tomamos la parte entera quitando los decimales (y apuntándolos, por ejemplo, los dos primeros decimales, 0,33)

 Hay 33, y éstos serán los múltiplos de 3 por la misma razón que antes, porque cada tres números uno es múltiplo de 3. Pero la mitad de ellos son pares, que ya están todos, así que dividimos entre dos

\( 33/2 \) (apuntamos 0,5) y tomamos la parte entera, 16, la cual restamos a 33, que son 17; ésta será la cantidad de múltiplos de 3 que no son pares y que están entre esos 100 números.

De momento tenemos esta cantidad de compuestos 50+17 + ( 0,33+0,5)

Seguimos. Dividimos 100 por el siguiente primo, 5, y nos sale que hay 20 múltiplos de 5, de los cuales 10 son pares, así que 20-10=10. Y ahora dividimos entre 3 para ver cuántos son múltiplos suyos tomando, como siempre, la parte entera; hay 3, así que 10-3=7 (apuntamos 0,33)

De momento hay estos compuestos entonces 50+17+7+(0,33+0,5,+0,33)

Dividimos 100 entre 7 y tomamos la parte entera; es 14, de los cuales 7 son pares y nos quedan 7 (apuntamos 0,28).  Dividimos entre tres y la parte entera es 2 (apuntamos 0,33) restamos y nos quedan 7-2=5; Ahí habrá un múltiplo de cinco por haber 5 números, lo restamos y quedan 4 (el resto de la división es cero, no apuntamos nada).

Llevamos estos compuestos 50+17+7+4+(0,33+0,5,+0,33+0,28+0,33=1,77)

 Dividimos 100 entre 11 y su parte entera es 9, luego no puede haber ningún múltiplo de 11 ahí, quiero decir ninguno que no sea a la vez múltiplo de 2,3,4,5 ó 7, los cuales ya están todos. Eso no es verdad, 2n=202, claro que hay múltiplos de 11 y de 13 y de 17 en el intervalo que no son múltiplos de 2,3,5 y 7, había confundido la cantidad de números el valor de 2n. No sé entonces por qué esto suele funcionar medio bien a veces


 Luego la cantidad de compuestos es   50+17+7+4+1=79

donde se ha tomado la parte entera de lo que han sumado las partes no enteras; así se añade un compuesto más por el error que se va acumulando al ir cortando el intervalo.

Si restamos estos 79 compuestos a la cantidad de números que hay en el intervalo, 100-79, tendremos la cantidad de primos, que es 21.

 Se tardaría menos en contar a mano los números del intervalo (101,202) que es en el cual a 100 números; y estimo que un programa que vaya haciendo estas operaciones no sería más rápido que los que se utilizan, pero a mí no me importa eso, me importa ver de qué va dependiendo el que entren más o menos compuestos y las consideraciones que se puedan hacer.

 Otra operación que nos da el número de primos (en este caso, por ser exacta la operación 100/2) es ésta 50-(17+7+4+1) debido a que la mitad de los números del intervalo son pares y la otra mitad impares; si la cantidad de compuestos impares fuera igual a la de pares esa diferencia sería cero, si hubiera un primo, habría compuesto menos y la diferencia sería 1 y así sucesivamente).

 Pensar en esto último ya nos hace ver lo difícil o imposible que es que no entre un primo; podemos asegurar que los números siempre van a ir decreciendo (50,17,7,4,1) y que el segundo va a ser bastante menor que la mitad del primero; los otros también van a ser bastante más pequeños que su antecesor (ya que vamos partiendo esa “longitud” por la mitad, después por la tercera parte y esta tercera parte por la mitad, etc.)  En estas condiciones es imposible que lleguen a igualar la cantidad  “n/2”, se ve sintéticamente, sin realizar las cuentas del límite de la sumatoria, lo cual hubiera supuesto una demostración del postulado de Bertrand para un geómetra antiguo como Euclides o alguno de ésos. Piensa que las particiones de la segunda mitad del intervalo (n,2n), para que su suma iguale a la primera, dependen de que se midan en unidades enteras con una unidad constante, invariante, de tal forma que si consideráramos como unidad un valor que tienda a cero, esas suma de las particiones tendería al valor de la otra mitad; pero la unidad es fija, tiene un "tamaño" constante, por lo que la suma nunca será igual, siempre será más pequeña. Y vemos así también por qué en los racionales puros no hay primos, porque la unidad puede ser siempre tan pequeña como queramos y nunca hay problema en la partición; lo que hace que aparezcan los primos es la existencia de un mínimo, la unidad

 Por eso te decía que a veces es mejor olvidarse de los números y de contar, tomando un tablero o cualquier cosa que se pueda medir poniendo manos y ver si entran exactamente; si los primos tienen todavía algún secreto, algo no visto, estará ahí, no en otro sitio; los símbolos no son números y las cantidades son subjetivas, son inventos, lo que implica hasta cierto punto que también lo sea el hecho de contar. Pero la proporción entre dos cosas, respecto del análisis de un observador concreto, es un poco más objetivo, al menos para ese observador. 

 Lo que tú haces, aunque todavía no sé muy bien lo que haces, está relacionado con esto, porque el_manco en su análisis dice que la cantidad de tus primos origen es igual a la cantidad de coprimos  menores que un número “k”. Y ¿quiénes son los coprimos respecto de “k”? Son los trozos, o las medidas de mano, que no miden exactamente el tablero, entre los que hallarán los números primos y los productos de primos cuyos primos no midan con exactitud a “k”. Une esta idea que expongo aquí para calcular la cantidad de primos que entran en (n,2n) y verás que siempre tiene que haber al menos un primo; en el fondo, en la esencia, es una cuestión geométrica; “lo que no puede ser, no puede ser, y además es imposible”, que decía un torero.

Spoiler

Por otra parte, ¿te das cuenta de que si no se cumple Bertrand es praćticamente imposible que se cumpla la conjetura de fuerte de Goldbach? Dos números sumados del intervalo (0,n) siempre son menores que 2n, pues ambos son menores que “n”; dos números del intervalo (n,2n) sumados son siempre mayores que 2n, pues ambos son mayores que “n”. Luego para sumar 2n necesitaremos un número de cada intervalo o bien el número “n” sumado dos veces. Si 2n se puede sumar siempre con 2 primos, uno tendrá que ser de (0,n) y otro de (n,2n) o bien “n” ser primo; es decir, o bien ser primo el número del centro para que n+n=2p. 

[cerrar]

 Un cordial saludo.

 

 

27 Julio, 2014, 02:22 am
Respuesta #16

Víctor Luis

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Holas Maestro...


Estoy consciente que a nadie le agrada perder o no tener la razón en algo; pero en mi caso es algo distinto y no es que me agrade; pero es tan gratificante saber que cometiste un error o metida de pata... POR "haberte dado cuenta y aprendido algo mas.." y no porque te lo hicieron saber de mil maneras, donde serias un testarudo y estúpido a la vez.

(○) Hay algo Nuevo que comentaste y no comprendo amigo:
Citar
Y vemos así también por qué en los racionales puros no hay primos, porque la unidad puede ser siempre tan pequeña como queramos y nunca hay problema en la partición; lo que hace que aparezcan los primos es la existencia de un mínimo, la unidad.


(○) Sobre tu método de calcular los primos, me parece lógico e interesante y que no lo he visto en otras publicaciones o al menos no como tu lo enseñas maestro.
→ Eso de "logico" creo que ya sabes a que me refiero.

OBSERVACIONES.
• Para aplicarlo en un programa que calcule primos con tu metodo, si o si, necesitamos contar con una base de números primos válidos, donde por ejemplo para saber cuantos primos hay en el rango (10.001, 20.002) que es (n, 2n) necesitariamos saber los números primos hasta 10.001 o hasta la raíz cuadrada de 20.002; pero sí, necesitamos saber estos primos para ir haciendo la sumatoria de sus multiplos ó numeros compuestos que hay.
→ Eso nos conduce a determinar primos antes de proceder a realizar el calcuo en si, lo que para rangos mas grandes, no es tan práctico que digamos amigo.

• Como en tu método solo utilizas números primos, no veo como aplicar los primos origen, ya que los numeros base generados, muchos serán pseudoprimos ó numeros compuestos en tu método que no se utilizan en el calculo.

• El arreglo que se puede hacer es determinar esta base primos a utilizar con mi tamiz PRI-BASE y proceder a realizar el calculo.
→Pero, en lugar de determinar esta base de primos, puede realizar directamente la depuración de multiplos en el rango (n, 2n) y luego contar los primos realmente existentes.

• Si me das alguna otra pauta de tu método, me encantaría aplicarlo a un programa y enviartelo para que lo pruebes.
→Lo mejor sería indicar varios parámetros como:
* n
* 2n
* lista base de primos
... y otros datos ó parámetros, de modo que modificando unos y otros, el evalué el resultado final y en ListBox se vaya informando los datos encontrados como:
50+17+7+4+
(0,33+0,5,+0,33+0,28+0,33=1,77)
50+17+7+4+1=79


(○) Sobre lo que dices:
Citar
Lo que tú haces, aunque todavía no sé muy bien lo que haces, está relacionado con esto, porque el_manco en su análisis dice que la cantidad de tus primos origen es igual a la cantidad de coprimos  menores que un número “k”. Y ¿quiénes son los coprimos respecto de “k”? Son los trozos, o las medidas de mano, que no miden exactamente el tablero, entre los que hallarán los números primos y los productos de primos cuyos primos no midan con exactitud a “k”.

• Creo que no estamos hablando el mismo idioma con "el_manco" y haría falta un mediador ó arbitro ó "intérprete" como Tú, en el hilo que abrió "el_manco", pues pienso que talvez esta esperando alguna respuesta mía, como eso que dices: «la cantidad de tus primos origen es igual a la cantidad de coprimos  menores que un número “k”»

• Qué es en si "coprimo" ?  Wikipedia dice:
Citar
En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.

• En este caso, como debo comprender a lo que dice "el_manco" ?
No creo que tengan problemas para identificar los primos origen, ya que como dije, en una publicación describen el proceso donde extraen ó seleccionan los primos origen, lo que me sirve para demostrar de dónde salen estos números; pero en la publicacion, no vieron mas allá, para entrar a la organización.

→Sería bueno, que seas el "interprete" en el hilo, para comprender lo que se dice y corregir lo que digo, claro si estas de acuerdo.



(○) UNA HISTORIA del ORIGEN de los NUMEROS.

* Hace mucho, muchísimo tiempo, cuando se originó el universo, nacieron los números, pues se necesita medir cantidades de estrellas, distancias entre estas y otras cosas mas, por lo que surgió el concepto del cero "0" y el uno "1", donde el cero era la nada, cuando no existía el universo, es decir antes del big-bang y el uno fue el primer número en aparecer, es decir la génesis de todos los números en aparecer.

* Del (1) surgió el (2), pues como una "célula madre" se divide en dos, generando un nuevo tipo de célula especializada y de esta manera, muy sabiamente, el (1) dio origen a los "primos origen" que siendo números especializados diferentes, tenian que ser números impares, ya que el (2) tenía el dominio de los números pares.

* Surgió una disputa entre los primos origen que eran hermanos, para tener el dominio de los números impares. El número padre (1) dio una solucion Salomónica, igualdad para todos, de modo que declaró que cada primos origen, generará sus números impares mediante la "constante salomónica" (k) con lo que todo el alboroto iniciado finalizó, de modo que los número de base generados eran primos, al tener por tios a los primos origen.

* La solución salomónica fue tan eficiente, que creó una unidad máxima entre los primos origen, los que antes de generar sus números hijos, tuvieron una asamblea, para acordar un control sobre sus hijos y que no sean rebeldes como el (2).
Como cada primo origen crearía una ciudad con sus números generados, osea un "grupo origen", para llevar el control, se establecieron responsabilidades entre los primos origen para cada ciudad, surgiendo asi los "primos relacionados" encargados de una gran cantidad de números de base rebeldes y todo resultó bien, al haber planificado una organización perfecta.

* El inicio de las ciudades comenzó, efectuándose el control planificado; pero al haber cada vez mas y mas números, este control era demasiado para los primos origen.
Observaron que principalmente los primeros números generados no tenían este comportamiento rebelde, por lo que losprimos origen tuvieron otra asamblea, donde acordaron hacer una diferencia, llamando "primos base" ó números primos aceptados a los que se comportaban correctamente y a los rebeldes los llamaron "pseudoprimos".

* En la misma asamblea, se acordó dar responsabilidad de control a los primos base, encargados de otros pseudoprimos; pero siguiendo el orden de responsabilidades establecidas dadas para los primos relacionados, realizando un trabajo coordinado y perfecto.

* El tiempo fue pasando, donde cada vez había una cantidad mas grande de números rebeldes pseudoprimos, por lo cual se llamaba a otras asambleas donde se declaraban primos base para ayudar en el control de la organización.

* En número padre (1), viendo estos sucesos, se preguntaba...
- Qué hacía que unos sean rebeldes y otros no?
Llegó a la conclusión de que la genética era la responsable, desde el (2) que se declaró como número par y el (3) como número impar, siendo estos los primeros de su clase.

* Luego del análisis, creó una "secuencia de rebeldía" que le permitió determinar todos los números rebeldes que se darían y lo modificó para que sea aplicara a todo primo origen y primo base, llamando a esta "secuencia de pseudoprimos directos", que permitía comprender la distribución precisa de los números rebeldes, estimando que cada vez habría menor cantidad de primos base.

* Después de mucho tiempo, el número padre (1) quiso reunir a primos origen y primos base, pero no sabia cuántos y cuales eran estos primos base, por lo vio nenesario realizar un censo de primos base, lo que le permitió saber cuántos de ellos se darían en cada nueva generación o rango, ya que con el censo, pudo determinar un "factor de proporcion" para saber la cantidad mínina de primos base que existirán en una generación ó rango dado.

* Por otro lado, el número padre (1) quería saber cuáles ivan a ser sus siguientes nietos primos base, por lo que luego de analizar y analizar, vio que la respuesta a su incógnita estaba en la genética de los primos origen y la secuencia de rebeldía, donde con asombro vio que tendría pocos nietos buenos, lo que decidió guardarlo en secreto y no comunicar a sus hijos los primos origen.

* De esta manera, la historia continuó, originándose nuevas generaciones de números base; pero no hay crimen perfecto ni secreto que no se sepa. La ecuación para saber los primos base a darse, no sé como, llegó a oidos de los números (2) y (3) quienes se disputan el cargo de ser guardianes de la "ecuación prima" sin saber que estos también, junto a los primos origen, son la fuente de información para desarrollar esta ecuación.

* Muchas leyendas surgieron por parte de estos dos, como las formas 2n-1, 2n+1, 3n+1 y otras que no sé decir, involucrando al número padre (1) en sumas, restas, restos congruentes y demás.

◘ Lo cierto, es que hay una "ecuación prima" para saber la cantidad de primos base a darse en un rango y para saber si un número base será primo o pseudoprimo, se le llama al primo origen padre del número base y con la ecuación se determina su primalidad.

FIN.

(Espero les haya gustado... Saludos.)

27 Julio, 2014, 05:05 am
Respuesta #17

feriva

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Hola, Víctor, estupenda la historia de los primos, me ha gustado; pero soy malo para centrarme en las historias y seguir los hilos, la leeré otra vez mañana (bueno, mañana ya es ahora; es que no me he acostado todavía).

Citar
OBSERVACIONES.
• Para aplicarlo en un programa que calcule primos con tu metodo, si o si, necesitamos contar con una base de números primos válidos, donde por ejemplo para saber cuantos primos hay en el rango (10.001, 20.002) que es (n, 2n) necesitariamos saber los números primos hasta 10.001 o hasta la raíz cuadrada de 20.002; pero sí, necesitamos saber estos primos para ir haciendo la sumatoria de sus multiplos ó numeros compuestos que hay.
→ Eso nos conduce a determinar primos antes de proceder a realizar el calcuo en si, lo que para rangos mas grandes, no es tan práctico que digamos amigo

 Sí, tienes toda la razón, no es un método práctico, por eso que dices precisamente, primero hay que determinar, por otro método, los primos que existen en (0,n). Pero no me refería a que hicieras un programa con números muy grandes, sólo a que  analizaras un poco el método. Lo curioso es cómo va funcionando, más que nada, y las conclusiones que se pueden extraer.

 
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• Creo que no estamos hablando el mismo idioma con "el_manco" y haría falta un mediador ó arbitro ó "intérprete" como Tú, en el hilo que abrió "el_manco", pues pienso que talvez esta esperando alguna respuesta mía, como eso que dices: «la cantidad de tus primos origen es igual a la cantidad de coprimos  menores que un número “k”»
 

 Pues poco voy a poder traducir, eres tú más maestro que yo en esto de los primos, yo soy un aprendiz, de verdad, sólo sé cuatro cosas.

 No obstante, eso de la “k” y los coprimos es sencillo de explicar (suponiendo que yo haya entendido bien a el_manco, que vete a saber, a lo mejor lo interpreto mal).

 Según el_manco, tu número “k”, en relación con la cantidad de primos origen, cumpliría esto:

 Si “k” fuera, por ejemplo, 20, tendríamos de 1 hasta “k” estos números

0   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19   20

(pongo el 0 y el 20 separados, para que se vean los números que quedan dentro de ellos, que son los que vamos a tener en cuenta)

El número 20 se descompone en los primos \( 2 \cdot 2 \cdot \cdot 5 \).

Así pues, todos los pares tienen un primo en común con 20, el dos; quitamos los pares:


0   1,3,5,7, 9,11,13,15,17,19   20

Ahora vemos que el 5 y el 15 también tienen algún primo en común con 20, el primo “5”. Y los quitamos




0   1,3,7, 9,11,13,17,19   20

El 1 también es un divisor común de 1 y de 20, sin embargo, creo que se mete en el saco de los coprimos (al menos yo sí lo meto en ese saco cuando pienso en estas cosas, por razones que ahora mismo no vienen al caso). No lo quitamos entonces

0    1,3,7, 9,11,13,17,19    20

Contando con el 3 y hasta el 19 incluido, tenemos una cantidad de 8 números; pues eso es lo que quiere decir, que ocho sería la cantidad de primos origen si “k” fuera 20.


Un saludo y buenas noches.
 

27 Julio, 2014, 08:27 am
Respuesta #18

Víctor Luis

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Buenas Noches Amigo y Maestro...


(↓a↓) Hare un programa para que evalues tu método, según como lo explicaste, si hay alguna duda te lo diré. Esas conclusiones a extraer pueden ser interesantes.


(↓b↓) Ahora entiendo, pensé que "k" era otra cosa...
→ En la exposición, usé la variable o letra "k" por la definición de la progresión aritmética y/ó sucesión que son casi lo mismo.

• Pero esa constante "k" no esta relacionado con la cantidad de primos origen, bueno hasta donde vi... sinó encontré que se relaciona con la SMD para que se de la distribución y haya una proporcionalidad en todo.

• El ejemplo dado en la exposición, me sorprendí como se acomoda todo, pues como se ve, se podría aplicar la misma para hacer un programa para generar primos o el tamiz de busqueda, no lo he revisado; pero hay proporcionalidad, sin asegurar hasta dónde vaya a ser eficiente, por eso digo que al analizar los primeros números naturales y los primeros primos, no es tan confiable, ya que luego el método falla.

• Lo que no corresponde proporcionalmente es justamente la SMD dada en la exposición, ya que esta nos da a entender, esa aleatoriedad que observamos desde el orden natural y como dije en otras oportunidades, los términos que lo conforman, no son proporcionales, mientras en el ejemplo hay una proporción lógica entre {4, 2, 4, 2 } tenía que reservarme algunos datos verdad ? ya que lo importante era exponer los temas y dar ejemplos que cumplan lo que se afirma sucede en la organización.

• Para no alargar el tema, encontrar la SMD es la segunda puerta de ingreso a la organización, la tercera era los primos relacionados; pero con la explicación dada, mas claro el agua.

Saludos....

27 Julio, 2014, 04:59 pm
Respuesta #19

feriva

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Hola, Víctor, buenos días.

 
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(↓a↓) Hare un programa para que evalues tu método, según como lo explicaste, si hay alguna duda te lo diré. Esas conclusiones a extraer pueden ser interesantes.

 No lo hagas, no lo he explicado del todo, sólo funciona de una manera aproximada, con esa “receta” daría errores de un primo en la cantidad (o quizá de más) en algunos casos, falta hacer un ajuste sobre las partes no enteras, no todas producen el mismo error según se parta el intervalo entero o un trozo del intervalo u otro trozo más pequeño que el anterior... Y ahí está lo interesante, en analizar eso, no tanto en utilizar el método como algo que pueda ser práctico. Pero tengo que pensar más despacio en cómo explicar bien eso; no es fácil, porque en las cuentas no funciona una sola unidad y no se puede explicar con operaciones matemáticas “clásicas”, la cuestión se empieza a acercar al cálculo infinitesimal, pero mi idea es explicarlo con una ración unidad concreta. 

Lo he estado pensando y ese método no es correcto, no sé por qué parece funcionar; he corregido algo que había dicho en el ejemplo

 …

 En cuanto a lo de “k” no sé, se lo tendrás que explicar al el_manco, no tengo ni idea respecto a esa cuestión de la cantidad de primos origen, es él el que lo ha observado a tenor de tus explicaciones; si bien no tiene todos los datos, porque no dices cuáles son, y supongo que va un poco a tientas.

Un afectuoso saludo y gracias por interesarte.