Autor Tema: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).

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22 Septiembre, 2009, 06:55 pm
Respuesta #10

topo23

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Lo que intenta probar es que si a,b son primos relativos entonces existen p,q que cumplen una serie de propiedades una de las cuales es que p y q son primos relativos.

En particular si q=1 entonces son automaticamente primos relativos, que es lo que queria probar.
.

04 Octubre, 2009, 11:35 pm
Respuesta #11

argentinator

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Hola gente.

Tengo el agrado de informales que al fin he logrado culminar la prueba del UTF para el caso \( n = 3 \).
Llevó mucho trabajo, sobre todo porque antes era necesario entender las propiedades de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).

En el mensaje #4 se halla toda la teoría completa y necesaria del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), para poder aplicarse en la prueba del Teorema de Fermat.
En el mensaje #5 se halla la prueba completa del UTF para el exponente \( n = 3 \).

La dificultad mayor estaba en el Lema 3 del mensaje #5, el cual estaba sin la prueba hasta hoy.
Ahora bien, tras completar toda la teoría de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), la prueba del Lema 3 pu¡ede llevarse a cabo sin inconveniente, y todo queda ahora bien completado.

Así que el mensaje número #4 lo he ampliado enormemente.
He escrito allí una enorme cantidad de material referido a la factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \).
De todo ese material, la última sección titulada "Factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \)" es lo que se usa en el esquivo Lema 3 del mensaje #5.

Si bien sólo se usa esa última parte, para llegar allí son necesarias todas las observaciones hechas previamente.

A aquellos que estén interesados en aprender bien toda el álgebra requerida en el Teorema de Fermat,
les recomiendo que se tomen el tiempo de estudiar toda la teoría expuesta en el mensaje #4 acerca del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).

Tengan en cuenta que es justamente el estudio de este tipo de anillos lo que abrió las puertas a grandes avances en la historia del Teorema de Fermat.
O sea, estudiar ese anillo es tiempo bien invertido, además de ser el primer peldaño de una tortuosa escala.

A pesar de todo, los cálculos están hechos de forma intermedia entre lo puramente algebraico, y lo puramente elemental.
Esto creo que ayudará a que todos (incluyéndome) logremos de a poco ir adentrándonos en aguas más profundas.

Me he basado en el texto de Ivorra para el estudio del anillo, así como del Lema 3,
pero he reformulado completamente el orden y manera en que se exponen las cuentas,
porque me pareció que era mejor poner de manifiesto todo el tiempo que las cantidades cuadráticas involucradas eran normas de elementos del anillo, y por otra parte, me pareció que una exposición más detallada y ordenada podría ser más útil.
Como siempre, los detalles aburridos o complicados aparecen en los Spoilers, y pueden omitirse o abrirse según el gusto de cada quien.


Finalmente, si detectan cualquier error en los cálculos, o en la exposición, o si desean hacer cualquier otro tipo de comentario, ya saben que pueden hacerlo.

26 Abril, 2010, 02:03 am
Respuesta #12

skan

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Sean \( a, b, c, \) enteros no nulos.
Si n es par, entonces \( a^n+b^n-c^n=\left |{a}\right |^n+\left |{b}\right| ^n-\left |{c}\right | ^n \neq 0 \), pues \( \left |{a}\right| ,\left |{b}\right| ,\left |{c}\right|  \), son positivos.
Podemos suponer, pues, que n es impar.


Yo ya me he perdido ahí :)
Dices que podemos suponer que n es impar, supongo que porque n no puede ser par.
Pero no veo porque no puede ser par.

26 Abril, 2010, 03:16 am
Respuesta #13

argentinator

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Lo que pasa es que estoy diciendo algo simple de forma muy complicada.

Lo que afirmo es lo siguiente: si se demuestra que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros positivos, entonces esto alcanza para demostrar que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros cualesquiera, siempre y cuando no sean triviales (y "trivial" quiere decir que a, b, c no son 0).

Ahora bien. Separemos esta implicación en dos casos: cuando el exponente n es par, y cuando n es impar.
Si el exponente n es par, la demostración es muy fácil, como ahí bien se ve, porque al elevar números a un exponente par, se obtienen números positivos. Pero para números positivos ya habíamos supuesto que la igualdad fermatiana nunca se cumple!!! Y ya está...

Así que se pasa luego a considerar el caso en que n es un número impar.

Si analizo el caso n impar solamente es porque para n par la cuestión era muy fácil.

Sin embargo me he dado cuenta de que esto de restringirse sólo a los enteros positivos no es tan saludable como yo me imaginaba, y quizá convenga desestimar ese hecho.

Cualquier duda, volvé a preguntar.

26 Abril, 2010, 04:12 am
Respuesta #14

skan

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Ah, ya lo he entendido
Si n es par tenemos exactamente la ecuación de Fermat, que supones que es cierta, lo cual no sé si es correcto.

De todos modos lo que me liaba es que pensaba que ese recuadro iba a demostrar que:

Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

y sin embargo demuestra que

basta pensar en enteros positivos a,b,c  ya que con los negativos se ve facilmente que no hace falta continuar.

26 Abril, 2010, 04:47 am
Respuesta #15

argentinator

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Citar
Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

Bueno, es que esto mismo es lo que se prueba.
Lo que pasa es que he elegido denotar UTF(n) a "el enunciado completo de Fermat para exponente n", o sea, al caso en que a, b, c, son enteros cualesquiera, y no necesariamente positivos.

Tal vez mi notación no es la más feliz.

¿Por qué me he enredado tanto? ¿Adónde está el nudo de la cuestión?
Bueno, resulta que Fermat no intenta probar una "igualdad" sino justamente una "no-igualdad" para todo a, b, c, n.
No hay una forma "cómoda" de expresar una "no-igualdad" en forma general, porque siempre anda dando vueltas una "negación" en todo lo que hacemos.

Me he hecho lío con eso, pero lo he preferido así porque ciertamente es mucho más breve, conciso e inambiguo, decir algo como UTF(a, b, c, n), que andar enunciando todo el tiempo la consabida desigualdad que deseamos demostrar.

Y como bien dijiste al principio, el caso "supuesto" para enteros positivos aún no sabemos si es cierto o no.
Eso es lo que se debe probar más adelante, caso por caso, arduamente.

Saludos

12 Junio, 2013, 09:27 pm
Respuesta #16

ajotatxe

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La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas


Soy el autor del blog. He ingresado para rectificar el link, ya que he cambiado el nombre del blog y del dominio.
Aquí podéis consultar la información referida. Enhorabuena por el foro y gracias por el link.

13 Junio, 2013, 12:45 am
Respuesta #17

argentinator

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