Autor Tema: Suma de dos potencias de = exponente. ¿Existe prueba sencilla del UFT?

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02 Junio, 2014, 07:13 am
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nataivel

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SOBRE LA SUMA DE DOS POTENCIAS DEL MISMO EXPONENTE
¿EXISTE O NO UNA DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL UTF?
(UN ESTUDIO BREVE)

PROLOGO

¿Se puede demostrar el último teorema de Fermat  o UTF (por sus siglas en español) por la vía sencilla?

Esta es la pregunta que se han hecho matemáticos y aficionados. Y a través de todos estos años, ha estado vigente la expectativa de que tal demostración pueda estar al alcance de cualquier mortal, con la suficiente capacidad creativa e intelectiva (por supuesto).

Ante esta aparente posibilidad, varios aficionados se han dado a la tarea de encontrar la supuesta demostración maravillosa del que escribió, en una inocente nota, el abogado francés Pierre de Fermat. Donde “maravillosa” se traduce al lenguaje popular como “sencilla”.

El objetivo que persigue el autor de este breve estudio titulado: “sobre la suma de dos potencias del mismo exponente, ¿existe o no una demostración sencilla del UTF?”; no es desalentar, en modo alguno, las investigaciones que se puedan hacer con casos particulares. Por ejemplo, para las ecuaciones cúbicas, quintas, etc.

\( a^3+b^3=c^3 \)        ,        \( a^5+b^5=c^5 \)       ,       \( a^7+b^7=c^7 \)

Sin embargo, cuando se trata de abordar el caso general la situación es diferente. Toda vez que intervienen más elementos a analizar y las formas algebraicas se tornan cada vez más complejas.

Este breve estudio, tiene por finalidad, en cambio, orientar a algunos incautos de no abordar el caso general con las precarias herramientas que ofrecen el álgebra básica, la aritmética elemental, o incluso, la geometría analítica.Y para lograr este objetivo, el autor propone analizar el siguiente objeto matemático,

                                               
\( f_n(X,Y)=X^n+Y^n \)

que es una función entera de la suma de dos potencias que exhiben igual exponente.

Por eso, a lo largo de esta travesía,

1) en una primera parte, analizaremos algunas ecuaciones diofánticas que puedan arrojar luz al misterio de la suma de dos potencias. De donde, como aplicación inmediata, podamos determinar intuitivamente los obstáculos inherentes cuando se aborda el UTF con argumentos y métodos que se pueden catalogar como sencillos o fáciles de comprender.

2) En una segunda parte, el autor propone analizar las superficies del tipo,

\( x^n+y^n=z^m \)

Y como caso especial, se estudian ciertas curvas de nivel (cuando m=n) que se exhiben en los planos paralelos al plano XY, del sistema cartesiano en tres dimensiones. A estas curvas el autor denomina “ecuaciones de Fermat”,

\( x^n+y^n=k^n \)

donde k>0 es un número entero cualquiera.

3) En una tercera parte, se estudian las funciones racionales del tipo:

\( Q_n(X,Y)=\displaystyle\frac{X^n+Y^n}{X+Y} \)

que nos ayudan a comprender mejor que ocurre con la suma de dos potencias del mismo exponente.

4) En una cuarta parte del trabajo, el autor estudia las características generales de ciertas funciones especiales (las funciones factorizables en el sentido épsilon y las funciones racionales RHO). Dichas funciones aún no se han estudiado en el ámbito de la matemática convencional; y por tanto, es una propuesta del autor. Desde luego, en esta cuarta parte, no está demás advertir al lector que no considere con demasiada seriedad lo que aquí se exponga. Aunque basado en argumentos válidos, esta cuarta parte todavía puede ser discutida e incluso rechazada (por carecer de sólidos fundamentos teóricos).

Dicho esto, solo me queda advertir al lector, que para comprender fluidamente el contenido de este breve estudio; necesita tener conocimientos elementales de: algebra básica, teoría de números (nivel básico), cálculo de superficies (conceptos fundamentales), nociones de variable compleja y teoría matricial (nivel básico).

(El autor)

ACLARACIÓN NECESARIA


La presente, y las posteriores entregas, no pretenden herir suceptibilidades de nadie. Si algún lector se siente aludido por algún comentario que pueda interpretarse como negativo, pido anteladamente las disculpas pertinentes. Insto, al amable lector, que este material se lea con espíritu crítico y autocrítico.

Por otro lado, a veces nos sentimos felices intentando resolver cuestiones como el UTF por nuestros propios medios. Si el lector se siente satisfecho haciendo eso, el autor no está en condiciones de decir que eso sea malo o bueno. Rescato las palabras de PabloN que aunque lo dijo en otro contexto, también se puede aplicar aquí:

“nadie es quién para desincentivar a una persona a hacer las actividades que le gustan, y que no causan ningún perjuicio a terceros” . Mencionado en :

TEMA:Biyección real: el numerable de los números reales
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=60507.msg242167;topicseen#msg242167
   



Saludos...

 

03 Junio, 2014, 08:14 am
Respuesta #1

nataivel

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PRIMERA PARTE: DEVELANDO LOS SECRETOS DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Capítulo 1
INTRODUCCIÓN

El último teorema de Fermat (UTF) ha suscitado interés en toda clase de público. Desde estudiantes hasta profesionales que se dedican a distintas actividades.

Para comprender mejor por qué el UTF causa tanto interés, vamos a indagar el génesis de este fenómeno.


1.1. LA “ECUACIÓN” DE LA DISCORDIA

Aproximadamente en el siglo III de nuestra era, Diofanto de Alejandría escribió un libro titulado “Arithmetica”, que constaba de trece libros.

En el transcurso de los años, sólo se encontraron seis. Este contenido, que se pudo rescatar fue traducido al alemán por Guilielmus Xylander (nombre en latín de Wilhelm Holtzman) y publicado en 1575.

La obra de Diofanto “no es una obra de carácter teórico, sino una colección de problemas”. Pero, lo más sobresaliente es que en ella se plantean las llamadas ecuaciones diofánticas. O sea, ecuaciones en que se pide que las soluciones sean números enteros.

Los números enteros se corresponden con los elementos de la siguiente sucesión,

\( ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \)          (1.1)
   

pudiéndose reconocer los números enteros negativos, los números enteros positivos y el cero. Y donde los puntos suspensivos indican que los números se pueden extender indefinidamente.

ECUACIÓN DIOFÁNTICA
Spoiler
1) Una ECUACIÓN DIOFÁNTICA (O DIOFANTINA), en el sentido moderno, es aquella ecuación algebraica donde intervienen cantidades conocidas que son números enteros (a veces, pueden ser números racionales) y cantidades desconocidas a las que llamaremos indeterminadas o incógnitas. El consenso general es que la ecuación algebraica al que nos referimos tenga “forma polinómica”. NOTA: Aunque no existe un consenso generalizado al respecto, nosotros representaremos las incógnitas con las últimas letras del alfabeto latino (U, V, W, x, y, z). Por ejemplo:

\( X^2+5Y^2=Z^3 \)              \(  3uvw=u^3+v^3+w^3 \)


2) Cuando se ha planteado una ecuación diofántica, el objetivo del problema consiste en encontrar valores enteros para las incógnitas tal que la ecuación se convierta en una igualdad.

Las primeras letras del alfabeto (a, b, c, A, B, C, ...) las emplearemos para denotar cantidades previamente conocidas. Las letras intermedias (l, m, n,...) representarán exponentes, índices o números primos (p. ej. p, q). A las letras s , t llamaremos PARÁMETROS (cuyo concepto y aplicación se ampliará en la parte 2 de este breve estudio).
[cerrar]

                                     ;       

NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIOFÁNTICA
Spoiler
3) La SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIOFÁNTICA CON “m” INCOGNITAS es la m-upla de números enteros \( x_1, x_2, x_3, ..., x_m \), que remplazadas en la ecuación la convierten en igualdad.

Por ejemplo, las soluciones escritas en la forma (x, y, z) se llaman ternas.  Las siguientes ternas: (0, 0, 0); (3, 4, 5); (5, 12, 13), son SOLUCIONES PARTICULARES de la ecuación pitagórica.

\( x^2+y^2=z^2 \)         
         
                                                       
4) Si somos capaces de determinar todas y cada una de las soluciones de una ecuación diofántica, entonces diremos que hemos encontrado la solución general de dicha ecuación diofántica.

Se pueden dar dos casos de soluciones generales: a) Las soluciones son infinitas y b) las soluciones son finitas.

Generalmente, cuando las soluciones son infinitas es posible expresar cada una de las variables en función de otras variables independientes que se llaman parámetros. Por ejemplo, sea la ecuación pitagórica, (1.2),

\( x^2+y^2=z^2 \)


Entonces, la solución general de esta ecuación diofántica puede expresarse en la forma paramétrica siguiente:

\( x=k(s^2-t^2) \)
\( y=k(2st) \)
\( z=k(s^2+t^2) \)
 

Cuando las soluciones son finitas, puede ocurrir uno de dos casos: a) La solución es única, en ese caso a dicha solución llamaremos solución singular de la ecuación diofántica. b) Existe más de una solución, en ese caso diremos que la ecuación diofántica tiene soluciones múltiples.
[cerrar]

Sin embargo, en el libro de Diofanto, cuando se plantean dichas ecuaciones diofánticas se piden soluciones racionales.

Según algunos estudiosos (de Diofanto y las ecuaciones diofánticas), ese hecho es lo más sorprendente; es decir, Diofanto no se sujeta a la comodidad que pueden ofrecer los números enteros, sino que extiende el dominio de los números (o más bien generaliza) a los números racionales. Es decir, números de la forma fraccionaria,

\( \displaystyle\frac{p}{q} \)   ,    \( q\neq{0} \)       (1.2)
 

donde \( p \)   y   \( q \)   son números enteros.

En 1621, aparece una edición comentada de la “Arithmética”, de Bachet de Méziriac. Uno de cuyos ejemplares llega a las manos de Pierre de Fermat. El resto de la historia es por demás conocida.


Sabemos que Fermat se plantea la ecuación diofántica,

\( x^n+y^n=z^n \)          (1.3)
           

donde \( n\geq{3} \)   y   \( xyz\neq{0} \).

Y escribe en el margen de su ejemplar de la “Arithmética” que ha sido capaz de encontrar una demostración realmente admirable ("DEMONSTRATIONEM MIRABILEM": demostración maravillosa) de que dicha ecuación no tiene soluciones enteras. Es pues, esa aseveración la que convence a mucha gente de que sí sea posible abordar, este caso general, con la matemática al que tuvo acceso este célebre abogado y matemático francés,  Pierre de Fermat.

Pero, dado que no se ha encontrado ni rastros de la supuesta demostración, es razonable pensar que Fermat nos habría jugado una broma, sin proponérselo conscientemente. Si se analiza desde la psicología, Fermat ha planteado un enigma, un acertijo; probablemente para jugar con la psiquis de quien poseyera en el futuro dicho libro.

Sabemos que la demostración de Wiles requiere potentes métodos inherentes al algebra abstracta. Y aún después de 1995, siguen proliferando libros basados en las técnicas que había utilizado el profesor Wiles. Con este antecedente, parece poco probable que el francés P. de Fermat haya dado con una demostración. Si es que lo hizo, es casi seguro que estaba incompleto o contenía errores graves.

Sin embargo, lo más probable, parece ser, que él sí pudo resolver un par de casos particulares y por inducción supuso que se debería cumplir en el caso general.


(continuará…)

04 Junio, 2014, 08:21 am
Respuesta #2

nataivel

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CONTINUACIÓN...

Además, cuando Fermat solía descubrir algo; llámese una fórmula, un método o simplemente deseaba plantear un problema, frecuentemente comunicaba sus descubrimientos a algún amigo matemático a través de cartas. Pero en el caso de este último teorema (UTF) nunca lo hizo conocer a nadie. Eso nos hace sospechar que tal vez Fermat descubrió su error, pero se olvidó de eliminar su nota; o simplemente, no lo quiso hacer pensando que jamás nadie se enteraría de la verdad o falsedad de dicha afirmación (ya que ese libro siempre estaría con él).

Esa es la parte negativa, con respecto a Fermat. Sin embargo, tiene los siguientes puntos a su favor que extraemos del libro de Eric Temple Bell, “Los grandes matemáticos”:

1) Cuando Fermat hizo una falsa conjetura acerca de la naturaleza de ciertos números primos (que se conocen como números de Fermat), Bell escribe:

“Fermat hizo erróneas conjeturas, pero jamás pretendió haber probado su conjetura” (véase pag.11, descargando el archivo FERMAT (E.T.Bell, Los grandes matemáticos, cap. 4) en la parte inferior de este post).

Es decir, jamás dijo que él había demostrado que tales números son números primos. Y por tanto, Fermat no es un mentiroso.

NÚMEROS DE FERMAT
Spoiler
Son aquellos que tienen la forma:

\( F_n=2^2^n+1 \)

Fermat conjeturó que todos los números que tienen esta forma debían ser números primos.
[cerrar]

2) Bell sostiene que Fermat se caracterizaba por ser honrado, sobre todo cuando hacia afirmaciones respecto a un teorema. Pues todas sus afirmaciones se han probado luego que eran verdaderas… Bell utiliza estas palabras:

“Cuando Fermat afirmó tener una prueba, esa prueba fue más tarde encontrada. Y así ocurrió para todas sus afirmaciones positivas con la única excepción de la al parecer simple solución de su último teorema, que, los matemáticos se han esforzado por encontrar durante casi 300 años. Siempre que Fermat afirmó que había probado algo, luego se ha confirmado la exactitud, excepto para ese caso en que no ha sido encontrada la prueba. Su honradez escrupulosa y su penetración sin rival justifican que muchos, aunque no todos, acepten su afirmación de que poseía la demostración de su teorema.” (PAG. 16)

3) Bell finaliza con estas palabras:

Después de todo lo que se ha dicho, ¿es posible que se haya engañado? Un gran aritmético, Gauss, vota en contra de Fermat. Sin embargo, la zorra que no podía alcanzar las uvas afirmó que estaban verdes. Otros votaron a su favor. Fermat era un matemático de primera fila, un hombre de impecable honradez y un aritmético que no reconoce superior en la historia.

De este modo, esta inocente nota, que se puede traducir en la siguiente ecuación:

\( x^n+y^n=z^n \)    donde   \( n\geq{3} \)   y  \( xyz\neq{0} \)

Se convierte aún en nuestros días en la manzana, ¡no!. En la “ecuación" de la discordia…

CURIOSIDAD: ¿POR QUÉ GAUSS NUNCA SE DEDICÓ AL UTF?

Spoiler
En el capítulo dedicado al gran matemático Gauss, “el príncipe de la matemática”, Bell escribe las siguientes palabras en relación al UTF.

Antes de dar por terminado este campo de actividades de Gauss, podemos preguntarnos por qué jamás se dedicó al último teorema de Fermat. El mismo nos da la respuesta. La Academia de París propuso, en 1816, como premio para el período 1816-18, la prueba (o la negación) del teorema. El 7 de marzo de 1816 Olbers, desde Bremen, incitó a Gauss a presentarse: "Me parece justo, querido Gauss, que os ocupéis, de ello"; pero el "querido Gauss" resistió a la tentación. Al contestar, dos meses más tarde, expuso su opinión acerca del último teorema de Fermat. "Os estoy muy obligado por vuestras noticias respecto al premio en París pero confieso que el teorema de Fermat como proposición aislada tiene muy escaso interés para mí, pues fácilmente puedo encontrar una multitud de proposiciones semejantes que no es posible probar ni desechar".

Gauss sigue diciendo que la cuestión le ha llevado a recordar algunas de sus viejas ideas que tienen aplicación en la Aritmética superior. Sin duda se refiere a la teoría de los números algebraicos (aludida en capítulos anteriores), que Kummer, Dedekind y Kronecker desarrollaron independientemente. Pero la teoría en que Gauss pensaba es una de esas cosas, según declara, donde es imposible prever qué progresos se harán hacia una meta distante, que sólo se aprecia confusamente a través de la oscuridad. Para triunfar en una tarea tan difícil era necesario ser guiado por una buena estrella, y las circunstancias en que entonces se hallaba Gauss, con sus numerosas ocupaciones, no eran tan adecuadas para meditaciones de ese estilo, como lo habían sido "en los afortunados años 1796-1798, cuando estableció los puntos principales de las Disquisitiones Arithmeticae. Aun estoy convencido de que si soy tan feliz como espero, y consigo dar algunos de los pasos principales en esa teoría, el teorema de Fermat aparecerá tan sólo como uno de los corolarios menos interesantes".
(Extractado del capítulo 14 del libro de E.T.Bell, Los grandes matemáticos)
[cerrar]

1.2. ¡PERO, LA CULPA DE TODO … LA TIENE PITÁGORAS!

Uno de los teoremas matemáticos más conocidos en nuestro planeta es el “teorema de Pitágoras”. Es cierto que muy pocas personas saben demostrarla, aunque es evidente que la mayoría tiene una idea sobre su enunciado.

Este teorema establece que:

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a y b)”.

\( c^2=a^2+b^2 \)        (1.4)

Una relación sencilla y a la vez útil y efectiva que aparece en muchos problemas de ciencias e ingeniería, y que no deja de ser cautivante.

Pero, más allá de las aplicaciones prácticas, el teorema de Pitágoras nos ofrece una interesante curiosidad. Por ejemplo, dado el triángulo cuyos catetos son: a=3, b=4; se obtiene el valor c=5. Es decir, todos éstos son números enteros.

\( 5^2=3^2+4^2 \)

En el siglo III, Diofanto de Alejandría se preguntaba si este era el único caso para los que se obtiene valores enteros. Pero, pronto descubrió que había infinitas ternas de números enteros y positivos que verificaban dicha propiedad. Por ejemplo,

\( 17^2=8^2+15^2 \)  ó  \( 13^2=5^2+12^2 \)

Llamemos a los valores indeterminados de x, y, z “incógnitas” de la ecuación:

\( x^2+y^2=z^2 \)

Spoiler
Una ecuación así, donde se trata de obtener valores enteros de las incógnitas se llama “ecuación diofántica”.

En este caso específico, la anterior ecuación se llama una “ecuación pitagórica”, en honor al teorema de Pitágoras.
[cerrar]

Conjuncionados así estos dos elementos: 1) el teorema de Pitágoras y 2) la posibilidad de encontrar soluciones enteras de la ecuación obtenida; de esta curiosidad, surge (en las mentes de algunas personas) el interés por conocer qué otros números pueden obedecer a esta ley: O sea, que la suma de dos cuadrados enteros es otro cuadrado entero.

Así, del interés nace la necesidad de experimentar. Es entonces, cuando desde jóvenes comenzamos a experimentar con este tipo de “curiosidades matemáticas”. Pero, en ese momento, solo contamos con una herramienta: “el álgebra básica”.

Haciendo uso de dicha herramienta y con un poco de conocimiento sobre las propiedades de los números enteros, por ejemplo la divisibilidad, somos capaces de resolver el enigma casi de manera fácil.

MEMORIAS DE UN ESTUDIANTE
Spoiler
Observe el siguiente razonamiento,

Sea: \( z=y+h \)

Reemplazando en la ecuación pitagórica, resulta,

\( x^2+y^2=z^2 \)\( \Longrightarrow{x^2+y^2=(y+h)^2} \)

desarrollando...

\( x^2+y^2=y^2+2yh+h^2 \)\( \Longrightarrow{x^2=2yh+h^2} \)

\( y=\displaystyle\frac{x^2-h^2}{2h} \)

Y desde aquí, el estudiante comienza a "filosofar": Se puede dar dos casos que x y h sean ambos pares, o que sean, ambos impares...(etc).

En algún momento de este proceso "heuristico" llegará a descubrir algunos valores que coinciden con lo que se ha propuesto.
[cerrar]

Así, armados de nuestro reciente progreso, en algún momento, tarde o temprano, nos preguntaremos si somos capaces de encontrar valores enteros para la ecuación,

\( x^3+y^3=z^3 \)

Y si ese no fue el camino que nos llevó a Fermat, no importa. El asunto es que una vez desafiados por el UTF, nos sentimos capaces de demostrarlo.

Hemos experimentado así, un fenómeno que suelen utilizar con sus estudiantes, los docentes capaces. Un fenómeno pedagógico que consiste en proporcionar al estudiante dosis adecuadas de ejercicios y problemas que él (o ella) mismos/as sean capaces de resolver. Pues una vez han adquirido confianza, ya están preparados para resolver otros problemas más difíciles.

Solo que en este caso, el UTF es la cúspide de todos los otros problemas intermedios. Es decir, el matemático aficionado, está tentado a resolver el problema más difícil cuando todavía no tiene los recursos necesarios para resolver dicho problema.

Si reflexionamos al respecto, debemos ver al UTF como un problema resoluble, siempre y cuando estemos adecuadamente equipados con la teoría y las técnicas matemáticas necesarias. ¿Esto niega la posibilidad de que se pueda demostrar el UTF de forma sencilla?, de ningún modo; solo que a medida que comprendemos mejor la naturaleza y el comportamiento de los números nos damos cuenta que la resolución por la vía sencilla podría resultar cada vez más improbable.

(continuará)

05 Junio, 2014, 07:22 am
Respuesta #3

nataivel

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1.3. ¡ SOBRE ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES !

Toda vez que el UTF ha sido demostrado, resulta evidente que si tomamos cualquier combinación de números enteros; de hecho, si tomamos cualquier combinación de números racionales \( a\neq{0} \)  y  \( b\neq{0} \), entonces la siguiente expresión (\( n\geq{3} \)),

\( c=\sqrt[n]{a^n+b^n} \)          (1.5)

es un número irracional.

Un número irracional es aquel que no puede ser expresado como cociente de dos números. Y por tanto, posee infinitas cifras decimales.

Los números irracionales tienen su historia, y parece que han causado más de un dolor de cabeza a los matemáticos de la antigüedad.

Una de estas referencias oscuras se puede remontar al descubrimiento del famosísimo teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, la medida del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. O sea, como ya habíamos visto,

       
\( c^2=a^2+b^2 \)

Se cree que los miembros de una famosa secta, llamada de los “pitagóricos”, ya conocían esta relación.

Esta hermandad de pitagóricos tenía profundo respeto hacia los números racionales y sus maravillosas propiedades; y creían que cualquier cosa, cualquier fenómeno, podía explicarse en base a estos números (o sea, los números: ..., \( -\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{5}{8} \), ..., etc.; pues, para ellos, fuera de estos no era concebible ningún otro). Y cualquiera que diga lo contrario sería expulsado de ella, o algo peor.

LA HISTORIA DE HIPPASUS DE METAPONTO
Spoiler
Se cuenta que en una ocasión, un joven pitagórico, Hippasus de Metaponto, se entretuvo con unos triángulos rectángulos.

Consideremos un cuadrado de lado igual a: 1, dividamos en dos partes dicho cuadrado cortándolo por la diagonal, (tendremos dos triángulos rectángulos de la misma forma y tamaño)

Si aplicamos el teorema de Pitágoras, a uno de los triángulos , tenemos con \( a=1 \), \( b=1 \),

\( c^2=1^2+1^2 \)   \( \Rightarrow{} \)    \( c^2=2 \)           (1)
 

Si fuéramos pitágoricos, debemos sospechar que el número \( c \) debería tener la forma:\( c=\displaystyle\frac{p}{q} \) (pues \( c \) no puede ser entero).

Si además suponemos que \( p \) y \( q \) son primos entre sí (o sea, una fracción simplificada al máximo).

De acuerdo con (1), tenemos:

\( (\displaystyle\frac{p}{q})^2=2 \)    \( \Rightarrow{} \)    \( p^2=2q^2 \)     (2)

Vemos pues, que \( p \) debe ser un número par, (ya que se puede demostrar que “ el cuadrado de cualquier número par, también es par...! ”)

Dado que \( p \) es par se puede expresar como:  \( p=2m \)       (3)

Entonces, reemplazando (3) en el resultado anterior (2): \( (2m)^2=2q^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( 4m^2=2q^2 \)

de donde:  \( 2m^2=q^2 \) . O sea,  \( q^2=2m^2 \)

De aquí, \( q \) es también un número par. De modo que, \( p \) y \( q \) tienen un factor común: 2. Esto es contradictorio, pues hemos supuesto que \( p \) y \( q \) son números primos entre sí. Luego, esto nos permite concluir que, no hay número racional cuyo cuadrado sea 2.

Aunque no sabemos exactamente qué método empleo, el joven Hippasus, llegó a una conclusión similar y seguramente con una demostración contundente.

Pero, cuando esto llegó al conocimiento de Pitágoras, el fundador de los “pitagóricos”, se dio cuenta que haría peligrar no sólo su reputación, sino algo más; pues la doctrina de la perfección de los números racionales estaba demasiado enraizada y la demostración de Hippasus amenazaba con destruir los propios cimientos de la secta pitagórica.

Entonces, Pitágoras decidió acallar al jovén, pero no con la expulsión de la secta. Pues, existía el riesgo de que éste enseñara su método a más gente. Así que, Pitágoras lo sentenció a morir ahogado. Cruel final para alguién que tenía la razón ...
[cerrar]

Así como sucedió con los números irracionales, las expresiones radicales han causado otro tipo de dolor de cabeza a los matemáticos del siglo XIX, cuando se introdujeron términos misteriosos como: el número imaginario.

Un número que se define:

\( i=\sqrt[ ]{-1} \)        (1.6)

y que está ligado a la imposibilidad de resolverse la ecuación: \( x^2+1=0 \) para los números reales.

Así pues, en todas las ocasiones en que ha aparecido el número irracional o las expresiones con radicales, esto ha constituido (en su debido tiempo y espacio) un gran desafío para los matemáticos.

LOS DOLORES DE CABEZA EN LAS ESCUELAS SECUNDARIAS
Spoiler
De hecho, el mismo estudiante de las escuelas secundarias se tiene que enfrentar a dichos desafíos cuando resuelve problemas que involucran radicales.

Consideremos, por ejemplo, la ecuación en radicales,

\( \sqrt[ ]{x+11+5\sqrt[ ]{2x-3}}+\sqrt[ ]{x+3+3\sqrt[ ]{2x-3}}=9\sqrt[ ]{2} \)

Un cuidadoso análisis, y después de desarrollar haciendo desaparecer una raiz tras otra, se llega a obtener los siguientes resultados:

\( x=x_1=14  \)        \( \wedge \)         \( x=x_2=86 \)

El procedimiento usual, despues de encontrar dichos valores es verificarlos reemplazando directamente en la ecuación original. Resulta pues, en este caso, que \( x=x_1=14  \) verifica la igualdad; mientras que  \( x=x_2=86 \) no verifica la igualdad.

Entonces, se suele enseñar al estudiante que dichas cantidades que no verifican la igualdad se consideran soluciones extrañas.

Pero, un matemático no daría esa respuesta sin definir exactamente que son las "soluciones extrañas". Sin embargo, dado que los profesores (de las escuelas secundarias) no son necesariamente (todos) matemáticos, se conforman con decir que: "las cantidades que no verifican la igualdad son soluciones extrañas y punto".

De este modo, nuestros sistemas educativos adolecen de la virtud de preparar al estudiante en lo que deben ser las "verdades matemáticas".

Por cierto, "las soluciones extrañas, no son más que una consecuencia de la forma en que están expresadas los radicales, ligadas al método de resolución que se emplea.
[cerrar]

Una última referencia a los radicales.

Cuando se resuelve la ecuación de segundo grado, \( ax^2+bx+c=0 \), la fórmula favorita de algunos estudiantes suele ser:

\( x=\displaystyle\frac{-b\pm{\sqrt[ ]{b^2-4ac}}}{2a} \)

Un poco menos conocido es la fórmula para determinar las raíces de la ecuación de Cardano: \( x^3+px+q=0 \),

\( x=\sqrt[ 3]{-\displaystyle\frac{q}{2}+\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{q}{2})^2+(\displaystyle\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[ 3]{-\displaystyle\frac{q}{2}-\sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{q}{2})^2+(\displaystyle\frac{p}{3})^3}} \)

De hecho, se puede encontrar las raices de una ecuaciones de cuarto grado en forma de radicales.

Así pues, los matemáticos se preguntaron si era posible encontrar soluciones en forma de radicales para una ecuación de quinto grado, de sexto grado, de septimo, etc. Así, en general para,

\( a_0x^n+a_1x^n^-^1+a_2x^n^-^2+ ... + a_n_-_1x+a_n = 0 \)

Y desde el siglo XVI hasta el siglo XIX los matemáticos se enfrascaron en afanosa búsqueda para hallar algún método que resuelva dichas ecuaciones, como combinación en forma de radicales (de los coeficientes \( a_0, a_1, a_2, .... \)).

Tal método general nunca fue hallado. Aún hoy muchos ingenuos seguirían buscando de no ser que gracias a Abel y Galois se demostró que para exponentes \( n\geq{5} \), no es posible hallar las raíces de una ecuación polinómica como combinación de sus coeficientes expresados en forma de radicales.

Esto nos hace conjeturar: ¿Acaso no podría ocurrir algo semejante con el UTF cuando se pretende demostrarla por la vía de la sencillez?. Que tal si así fuera. Entonces, estaríamos desperdiciando el tiempo en algo sin caso. Pero esto es apenas una conjetura, podría ocurrir, sin embargo, lo contrario.



06 Junio, 2014, 07:53 am
Respuesta #4

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CONTINUACIÓN...

1.4. DESCONCIERTO DE IDEAS, CONCIERTO DE NÚMEROS

Entonces, ¿qué es lo que nos hace insistir en andar en esos caminos tan tortuosos (en que creemos demostrar algo; pero al final resulta que no tenemos nada)?. Si por ventura existiera tal demostración sencilla del UTF, ¿qué ganamos? y ¿qué gana la matemática?. ¿Pero, qué si no existe tal demostración?...

Si queremos ser recordados por contribuir en algo a la ciencia de las ciencias; entonces, trabajemos para descubrir nuevas relaciones, nuevas propiedades. Relaciones y propiedades que aún ocultan en el misterio los números enteros, los racionales y los irracionales (por no hablar de otro tipo de números). Y si queremos demostrar el UTF, intentemos comprender mejor cual es la verdadera dimensión de esta tarea.

Y esto de descubrir nuevas propiedades, no es exclusividad de los matemáticos (que han tenido la suerte de estudiar en las universidades). Lo importante es tener "pasión" para convertir a los números en nuestros grandes amigos.

Sigamos el ejemplo de Srinivasa A. Ramanujan (cuando aún no habían visto su potencial), éste joven hindú era un sencillo contador en su país; y siendo autodidacta pudo encontrar nuevas relaciones y fórmulas. Sus aportes han sido valiosos también para la demostración del UTF y la teoría de cuerdas en física.

Pero, hasta aquí sólo hemos esbozado nuestros argumentos en forma de ideas. Es hora de que los números comiencen a contarnos sus secretos con relación al UTF. ¿Tienen ellos algo que decir?.

Si es que tienen algo que decir, lo harán a partir del siguiente capítulo.

Pero, antes de entrar en tema. Analicemos la siguiente ecuación diofántica:

\( x(x+10)=y(y^2+9y+27) \)

Si Fermat nos dice que esta ecuación carece de soluciones enteras positivas (excepto para \( x=0 \), \( y=0 \) ¿le creemos?

Intente el lector resolverlo sin mirar el siguiente spolier

Spoiler
En realidad se trata de un truco, después de analizar un momento, nos damos cuenta que en el primer miembro podemos completar cuadrados...

\( x^2+10x+25-25 \)

...mientras que en el segundo miembro, podemos completar cubos...

\( y^3+9y^2+27y+27-27 \)

O sea,

\( (x+5)^2-25=(x+3)^3-27 \)

Que finalmente podemos escribir,

\( (y+3)^3=(x+5)^2+2 \)

Sean:  \( Y=y+3 \)  y   \( X=x+5 \)

Tenemos:   \( Y^3=X^2+2 \)      (Una de las famosas ecuaciones de Fermat)

Quienes dominan la teoría de números saben que, esta ecuación, tiene una única solución: \( Y=3 \),  \( X=5 \)

No consideraremos ahora por qué su solución es única, pero más adelante volveremos a analizar esta ecuación desde una perspectiva más adecuada.
[cerrar]





07 Junio, 2014, 07:12 am
Respuesta #5

nataivel

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Capítulo 2
CONCEPTOS FUNDAMENTALES



2.1. FILOSOFÍA Y MÉTODOS

Este breve estudio tiene por objetivo tratar de responder la pregunta fundamental: ¿Existe o no una demostración sencilla para el UTF?.

Si bien no se trata de dar una respuesta categórica, las relaciones matemáticas nos permitirán establecer ciertos parámetros para aproximarnos a una respuesta; ya sea en el sentido positivo, o bien en el sentido negativo.

Se trata pues de acumular evidencias que los propios números puedan proporcionarnos. No se trata de una demostración, por lo cual, no es necesario el rigor matemático.

En cambio, emplearemos los resultados y teoremas conocidos en las diferentes ramas del saber matemático (algebra básica, teoría de números, geometría en dos y tres dimensiones, teoría matricial y variable compleja). Esto en su estrato más básico, pues se trata de conocer hasta donde son efectivas estas herramientas para afrontar la difícil tarea de demostrar un teorema (tan fuerte) como es el UTF.

En ciertas oportunidades serán necesarias otras herramientas (no tan básicas). Esto para contrastar y comparar la potencia de una herramienta frente a otra.

2.2. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS NECESARIAS

Para comprender mejor la exposición del contenido de este “breve estudio”, debemos ponernos de acuerdo en la terminología y el uso de los símbolos. Pues si comenzamos a exponer el tema directamente, luego el lector podría confundirse, y eso obligaría al autor a estar recordando a cada momento lo que se debe entender por tal o cual concepto.
 
Para evitar ese tipo de confusiones desarrollaremos el siguiente temario:

1) TEORIA DE NÚMEROS

La teoría de números es una amplia rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, especialmente los números enteros. Su particular objetivo es estudiar las propiedades más generales de los números enteros.

Nuestro objetivo en este capítulo será enunciar los conceptos fundamentales relacionados con la teoría de números. Así, trataremos los siguientes tópicos:

1. Sobre la divisibilidad de números enteros
2. Definición del máximo común divisor
3. Definición del mínimo común múltiplo
4. El teorema fundamental de la aritmética
5. Leyes del algebra de las congruencias (introducción a la aritmética modular)
6. El pequeño teorema de Fermat

Otros temas más profundos serán implementados, en los siguientes capítulos, tal que el lector pueda observar su aplicación inmediata.

2) ALGEBRA BÁSICA

El álgebra básica es el conjunto de reglas operacionales que un estudiante de la escuela secundaria aprende en su adolescencia (reglas como factorización, productos y cocientes notables, etc.). Por tanto, no será necesario repasar los tópicos que ella se dan.

3) INTRODUCIÓN A LA TEORÍA MATRICIAL

Los tópicos se irán implementando al inicio de cada capítulo, en los siguientes capítulos a fin de que el lector pueda observar su aplicación inmediata.

En este capítulo, adelantaremos los siguientes:

1. Definición de una matriz. Matriz cuadrada.
2. Determinante de una matriz cuadrada.
3. Inversa de una matriz cuadrada.

2.3. SOBRE LA DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS ENTEROS

2.3.1. DIVISORES

Dado un número entero cualquiera (\( a \)), se llama divisor de \( a  \), todo número entero (\( m\neq{0} \)) que lo divide exactamente. 

Por ejemplo, todos los divisores de 6 son,

                       
\( m \) = ±1, ±2, ±3, ±6

2.3.2. NUMEROS PRIMOS

Llamaremos números primos a todo número entero que posee exactamente cuatro divisores (dos divisores positivos y dos negativos. Por ejemplo, 7 es un número primo porque todos sus divisores son: +1, -1, +7, -7.

NOTA: Con la anterior definición excluimos a la unidad (1), porque éste tiene apenas dos divisores:+1, -1.

A veces, es más cómodo trabajar únicamente con los números primos positivos. En este “breve estudio” trabajaremos con los números primos positivos (a menos que se diga lo contrario en el momento pertinente).

La sucesión de los primeros números primos está dada por la siguiente lista:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, ... (etc.)

Se debe a Euclides el teorema de la infinitud de los números primos. O sea, existen infinitos números primos.

NOTA:  Los números enteros que no son primos, se llaman números compuestos.

2.3.3. CONGRUENCIAS

Sea \( m \) un divisor positivo de la diferencia:\( a-b \), o sea, \( a = b + m\cdot{}M \) (donde\(  M \) es algún número entero).

Entonces,  se dice que “\( a \) es congruente con \( b \), módulo \( m \)”, y se  llama congruencia a la relación:
     
\( a\equiv{b} \) (mód.\( m \)),        (2.1)
     

esta notación se debe al célebre matemático alemán C. F. Gauss.

En la notación anterior, a la izquierda del signo ≡ se llama primer miembro y a la derecha, segundo miembro de la congruencia.

Asimismo,  las cantidades \( a \) y \( b \) se llaman residuos (\( b \) es residuo de \( a \) y \( a \) es residuo de \( b \), respectivamente) y\(  m \) se llama módulo.

Por ejemplo,            
\( 31\equiv{3} \) (mód.\( 7 \)),

Se lee: 31 es congruente con 3, módulo 7. Eso significa, que 31-3 es divisible por 7. O sea, 31-3=28 es divisible por 7.


2.3.4. COPRIMALIDAD
           
Si dos números \( a \) y \( b \) no pueden dividirse simultáneamente por ningún número primo \( p \) > 0, entonces se dice que “\( a \) es primo relativo a \( b \)” , o bien, que \( a \) y \( b \) son coprimos entre sí.

Este hecho suele simbolizarse así:
 
\( mcd(a , b) = 1 \) ;       (2.2)


que se lee: “el máximo común divisor de \( a \) y \( b \) es igual a la unidad”. 


 (continuará)

10 Junio, 2014, 07:25 am
Respuesta #6

nataivel

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Sin embargo, ésta es una aproximación intuitiva del concepto de coprimalidad, cuando aplicamos la noción de ser "simultáneamente no divisible" por algún número primo.

Por ejemplo,  15 y 44 son corpimos entre sí, porque no se puede encontrar níngún número primo (p>0) que divida a ambos números simultáneamente.

Si bien, esta forma de aproximarnos al concepto de coprimalidad no está en conflicto con la definición precisa; conviene que tal concepto (el de la coprimalidad) se inscriba en otro concepto mucho más amplio (el máximo comun divisor).

Como veremos, el máximo común divisor es un número natural cuyas propiedades están ligadas a la divisibilidad de dos números enteros (\( a \) y \( b \)) con respecto a dicho número. Entonces, veamos:


2.4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Antes de definir qué es el máximo común divisor, enunciamos el siguiente teorema:

2.4.1. Teorema (existencia)


Sean \( a, b \) dos números enteros, no simultáneamente nulos; entonces, existe un número natural \( d \) con las siguientes propiedades:

i)    \( d|a \)    ∧  \(  d|b \) ( Léase: "\( d \) divide a \( a \), y,  \( d  \) divide a \( b \)")

ii) Existen los números enteros\(  u, v \), tales que:

                             
\( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Vamos a demostrar por inducción sobre b.

Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que b es positivo. (Es decir, trabajaremos con la sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, ….).

1) Verificamos que las propiedades i) e ii) se cumplen perfectamente para b=1 y d=1. O sea,

i)    \( 1|a  \)     ∧        \( 1|b \)

ii)   \( u=1, v=1-a \);  o sea,  \( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \), o sea, \( d=1\cdot{a}+(1-a)\cdot{1} \)

2) Hipótesis inductiva: Las propiedades i) e ii) se cumplen para el resto de los números naturales (2,3,4, … ); y así, para todo número menor que “b”.

3) Demostraremos que el teorema es cierto para “b”. Sabemos que al dividir \( a \) por \(  b \) resulta:

                            \( a=q\cdot{b}+r  \)             donde:          \( 0\leq{} r <b \)             (1)

(donde\(  q \) se conoce como “cociente” y \( r \) como “resto” de la división)

a) Si fuera \( r=0 \), según (1) \( b|a \); luego, basta tomar \( d=b \) y el teorema queda probado. O sea,

i)  \( d|a \)      ∧        \( d|b \)

ii)   \( u=0 \), \( v=1 \); es decir,    \( d=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)  \( d=0\cdot{a}+1\cdot{b} \)

b) Si fuera \( r\neq{0} \), entonces, \( 1\leq{r}<b \); y por la hipótesis inductiva aplicada a \( r \), existe un númro posiivo \( d \), tal que:

i)  \( d|b \)      ∧        \( d|r \)

y existen dos números enteros \( x  \) e \( y \), tal que,

ii)       \( d=x\cdot{b}+y\cdot{r} \)

Es evidente de este inciso i) la siguiente implicación: \( d|b \)      ∧        \( d|r \)  \( \Rightarrow{d|a} \)  (en virtud de la fórmula (1).

Además,

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{r} \)

Reemplazando\(  r=a-q\cdot{b} \)

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{(a-q\cdot{b})} \)

y reordenando apropiadamente...

\( d=x\cdot{b}+y\cdot{a-q\cdot{b}\cdot{y}} \)

\( d=y\cdot{a}+(x-yq)\cdot{b} \)

O sea:  \( u=y \)  y  \( v=x-yq \)

Todo esto dice que el teorema se cumple para \( b \). Luego, en virtud del principio de inducción, el teorema es válido para todo \( b \) y todo \( a \). Con lo que el teorema queda demostrado.
[cerrar]

2.4.2. Teorema (unicidad)

El número \( d \) del teorema anterior (2.4.1) es único.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Supongamos que exista otro número (\( d' \)) con las siguientes propiedades:

i)  \( d'|a \)      ∧        \( d'|b \)

ii)       \( d'=u'\cdot{a}+v'\cdot{b} \) 

Entonces tendríamos:

1)  \( d|a \)      ∧      \( d|b \)    ∧   \( d'=u'\cdot{a}+v'\cdot{b} \)  \( \Rightarrow{d|d'} \); luego, \( d\leq{d'} \)

2)  \( d'|a \)      ∧      \( d'|b \)    ∧   \( d'=u\cdot{a}+v\cdot{b} \)  \( \Rightarrow{d'|d} \); luego, \( d'\leq{d} \)

3) De 1) y 2) se concluye que \( d=d' \)   (o viceversa). Con lo que se demuestra el teorema.
[cerrar]

Con estos dos teoremas, ya podemos definir el máximo común divisor:

2.4.3. DEFINICIÓN DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1) Dados dos números enteros \( a \) y \( b \) (no simultáneamente nulos), entonces, el único entero positivo asociado al par a, b según el teorema (2.4.1) se llama máximo común divisor (m.c.d.). Y se simboliza:

\( mcd(a, b)=d \)

2) Definimos el m.c.d. de dos cantidades nulas:     mcd(0, 0)=0

2.4.4. CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1) El m.c.d. no depende del orden de los números \( a \)  y  \( b \)

\( mcd(a, b)=mcd(b, a)=d \)

2) El m.c.d. no depende del signo de los números \( a \)  y  \( b \)

Ejemplo:   \( mcd(15, 45)=mcd(-15, 45) \)

3) De acuerdo con la demostración del teorema (2.4.1), si el cociente de dos números \( a \) por \( b \) puede expresarse en la forma:

\( a=q\cdot{b}+r \)

Entonces, el m.c.d. de \( a \) y \( b \) es igual al m.c.d. de \( b \) y \( r \)

O sea:                       
\( \boxed{mcd(a,b)=mcd(b,r)=d} \)

Con esta fórmula hemos ganado un método para encontrar el máximo común divisor de dos números (\( a \) y \( b \)) mediante divisiones sucesivas. Tal método se conoce como el algoritmo de Euclides.

Por ejemplo, calculemos \( mcd(84,45) \)

Primera división,          \( 84=1\cdot{45}+39 \)

Segunda división,        \( 45=1\cdot{39}+6 \)

Tercera división,           \( 39=6\cdot{6}+3 \)

Cuarta división,             \( 6=2\cdot{3}+0 \)

Hemos obtenido un resto cero (0), ahí finaliza el proceso. Luego, podemos reescribir:

\( mcd(84,45) = mcd(45, 39) = mcd(39, 6) = mcd(6,3) = 3 \)    porque   \( 3|6 \)  ∧   \( 3|3 \)


Finalmente, para darnos una idea intuitiva de lo que es el m.c.d....

El m.c.d. nos proporciona información acerca de todos los factores comunes que tienen \( a \) y \( b \). En consecuencia, si dos números no tuvieran factores comunes (p. ej. 15 y 44) su m.c.d. será igual a la unidad (1).

Es decir, en el ejemplo, 15 y 44 son coprimos entre sí; por eso es justo escribir: \( mcd(15, 45)=1 \), como ya habíamos adelantado en la anterior entrega.

(fórmulas en revisión...)

(continuará...)


11 Junio, 2014, 08:22 am
Respuesta #7

nataivel

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A continuación resolveremos algunos problemas relacionados con los conceptos que hemos visto hasta ahora,

2.4.5. PROBLEMAS

1. Determinar los valores enteros para el par \( u, v \), dado \( d=mcd(84,45)  \) y tal que \( d=84u+45v \) (algoritmo extendido de Euclides)

SOLUCIÓN

Como hemos visto (en la entrega anterior) \( d=mcd(84,45)  \) se puede determinar por divisiones sucesivas:

Primera división,          \( 84=1\cdot{45}+39 \)

Segunda división,        \( 45=1\cdot{39}+6 \)

Tercera división,            \( 39=6\cdot{6}+3 \)

Cuarta división,             \(  6=2\cdot{3}+0 \)

Otro modo de visualizar este proceso es con el siguiente esquema:



De inmediato, vemos que \( d=m.c.d.(84,45)=3 \)

Entonces, se trata de expresar éste número (\( d=3 \)) como una combinación lineal de \( a \) y de\(  b \). Para esto, seguiremos el siguiente proceso:

a) Despejar todos los restos de las divisiones anteriores (hasta la penúltima división). O sea,

En la primera división,          \( 39= \)84\( -1\cdot{}  \)45               (1)

En la segunda división,        \( 6= \)45\( -1\cdot{39} \)              (2)

En la tercera división,            \( 3=39-6\cdot{6}  \)               (3)

Nótese que 84 y 45 están en negrita, es decir, estos números no deben modificarse al hacer las operaciones...

b) Reemplazar sucesivamente....

-Remplazando (2) en (3), resulta,

\( 3=39-6\cdot{}( \)45\( -1\cdot{39}) \)\( =7\cdot{39}-6\cdot{} \)45     (4)

-Reemplazando (1) en (4), resulta,

\( 3=7\cdot{} \)(84\( -1\cdot{}  \)45)\( -6\cdot{} \)45\( =7\cdot{} \)84\( -13\cdot{} \)45

O sea, 

\( 3=7\cdot{} \)84\( +(-13)\cdot{} \)45

De donde rápidamente \( u=7 \)  y  \( v=-13 \)

NOTA: Como se puede advertir este proceso debe realizarse con mucho cuidado pues un error en las cuentas (o un olvido de signo) puede ser desastrozo...!.

2. Demostrar que la representación del m.c.d. de dos números, \( d=mcd(a,b) \), en la forma: \( d=a\cdot{u}+b\cdot{v} \) no es única.

SOLUCIÓN

De acuerdo con el problema anterior, siempre es posible encontrar dos números enteros \( u_0 \) y \( v_0 \), tal que:

\( d=a\cdot{u_0}+b\cdot{v_0} \)                (1)
     

Pero, también es posible encontrar la proporcionalidad:     \( t=a\cdot{R} \)\( =b\cdot{S} \) . O sea,

\( 0=a\cdot{R}-b\cdot{S} \)                      (2)
                       

Multiplicando por un númro entero arbitrario (k)

\( 0=a\cdot{R}\cdot{k}-b\cdot{S}\cdot{k} \)                (2')
                       

Sumando miembro a miembro (1) y (2'), resulta,

\( d=a\cdot{}(u_0+R\cdot{k})+b\cdot{}(v_0-S\cdot{k}) \)

Donde: \( u=u_0+R\cdot{k}  \)  y   \( v=v_0-S\cdot{k} \)

Y dado que k representa cualquier número entero, entonces, se pueden encontrar infinitos pares (u, v) tales que:

\( d=a\cdot{u}+b\cdot{v} \)

2.5. MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

Sean los números enteros \( a \) y \( b \), ambos no nulos. Entonces, \( a\cdot{b} \)  y  \( -a\cdot{b} \) son múltiplos de \( a \) y de \( b \). De aquí se sigue que el conjunto de los múltiplos comunes positivos de \( a \) y \( b \) es un conjunto no vacio.

Entonces, si dicho conjunto es no vacio, significa que existe un elemento mínimo, que lo denotaremos por\(  m \); pues el conjunto de los números naturales es bien ordenado (B.O.). Las propiedades de \( m \) son:

i) \( m \) es múltiplo de \( a \)  y  \( b \)

ii) \( m>0 \)

iii) Si \( k>0 \) es cualquier número entero, tal que \( k \) es múltiplo de \( a \) y \( b \). Entonces, \( m\leq{k} \)

2.5.1. DEFINICIÓN DE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

1) El número entero \( m>0 \), asociado a \( a \)  y  \( b \) se denomina mínimo común múltiplo si verifica las anteriores propiedades (i), (ii), (iii). Y se denota mediante:

\( mcm(a,b)=m \)

2) Si \( a \) o \( b \) es cero (0). entonces:

\( mcm(a,b)=0 \)

Ejemplo, hallar el m.c.m. de 15  y  42

Escribimos todos los múltiplos de ambos:

Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210, ....

Múltiplos de 42:  42, 84, 106, 168, 210, 250, 294, 336, 378,

Luego,   mcm(15,42)=210

2.5.2. Teorema

El valor absoluto del producto de dos números enteros (a y b), es igual al producto de su m.c.d. y de su m.c.m.

\( \boxed{\left |{a\cdot{b}}\right |=mcd(a,b)\cdot{mcm(a,b)}} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Sea:    \( m=\displaystyle\frac{\left |{ab}\right |}{mcd(a,b)} \)            (A)

1) Tenemos: \( m=\displaystyle\frac{\left |{ab}\right |}{mcd(a,b)}=\displaystyle\frac{\left |{a}\right |}{mcd(a,b)}\cdot{\left |{b}\right |}=\left |{a}\right |\cdot{}\displaystyle\frac{\left |{b}\right |}{mcd(a,b)} \)

De donde, m es un múltiplo de \( a \) y de \( b \).

CONCLUSION 1: Entonces se puede asegurar \( mcm(a,b)|m \)

2) Por otro lado, sea:

\( mcd(a,b)=a\cdot{u}+b\cdot{v} \) , esto puede escribirse también:

\( 1=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v} \)

Multiplicando esto por mcm(a,b)

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}\cdot{mcm(a,b)}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v}\cdot{mcm(a,b)} \)

Pero, \( mcm(a,b)=a\cdot{a'}=b\cdot{b'}  \)       (pues debe ser múltiplo de \( a \) y de  \( b \), respectivamente)

Tenemos:

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a}{mcd(a,b)}\cdot{u}\cdot{b\cdot{}b'}+\displaystyle\frac{b}{mcd(a,b)}\cdot{v}\cdot{a\cdot{a'}} \)

Factorizando,

\( mcm(a,b)=\displaystyle\frac{a\cdot{b}}{mcd(a,b)}\cdot{}(b'\cdot{u}+a'\cdot{v}) \)

Pero, según hemos definido "m" al principio de esta demostración, podemos escribir,

\( mcm(a,b)=\pm{m}\cdot{(b'\cdot{u}+a'\cdot{v})} \)

El doble signo (\( \pm{} \)) depende de los signos de \( a \) y \( b \).

CONCLUSIÓN 2: De donde se demuestra que: m|mcm(a,b)

3) De las conclusiones 1) y 2) se tiene que \( m=mcm(a,b) \)

Y esto reemplazado en (A), demuestra el teorema.
[cerrar]

(continuará...)

12 Junio, 2014, 07:38 am
Respuesta #8

nataivel

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2.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Toda persona que alguna vez ha trabajado con números enteros se ha dado cuenta que éstos pueden expresarse como número primo o como el producto de dos o más números primos positivos (difiriendo sólo en el signo). Por ejemplo, \( N=35 \) tiene los siguientes divisores positivos (como vimos en la sección 2.3.1):

                 
\(  m=1, 5, 7, 35 \)

De aquí seleccionamos los números primos (ver sección 2.3.2), o sea, 5 y 7. Luego,

\( N=35=5\cdot{7} \)

Por otro lado, la representación de dicho número \( N \) es única. En nuestro ejemplo, N=35 sólo se puede representar mediante el producto de 5 y 7; no existen otros dos números primos (p y q, diferentes de 5 y 7) que nos den el mismo resultado,

O sea, si          \( N=35=p\cdot{q}  \) , sí y solo si,  \(  p=5 \) y \( q=7 \)

por tanto dichos números primos (3 y 5) son necesarios e irremplazables para generar el número \( N=35 \).

De esta cuestión trata el Teorema Fundamental de la Aritmética.

A continuación daremos una definición más precisa,

2.6.1. Teorema Fundamental de la Aritmética (T.F.A.)

Sea \( N\in{\mathbb{Z}} \), \( N\neq{0, 1, -1} \).

1) Entonces, existe una sucesión finita de números primos:

\( 0<P_1\leq{P_2}\leq{P_3}\leq{...}\leq{P_K} \)

Tal que: 

\( N=\epsilon\cdot{}P_1\cdot{P_2}\cdot{P_3}\cdot{....}\cdot{P_K} \)    , donde \( \epsilon=1, -1 \)

2) La forma anterior (1) de eXpresar \( N \) es única. O sea, si

\( 0<Q_1\leq{Q_2}\leq{Q_3}\leq{...}\leq{Q_L} \)
, siendo los  \( Q_j (j=1,2,3,...,L) \) números primos, y tal que,

\( N=\delta\cdot{}Q_1\cdot{Q_2}\cdot{Q_3}\cdot{....}\cdot{Q_L} \)    , donde \( \delta=1, -1 \)

entonces,

\( K=L \)

\( \epsilon=\delta \)

\( P_1=Q_1 \) , \( P_2=Q_2 \) , \( P_3=Q_3 \) , ...

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
PRIMERA PARTE

1) Si N=P (número primo), entonces el teorema es cierto.

2) Sin perdida de generalidad, supongamos que N es positivo, y establezcamos la siguiente hipótesis (que luego negaremos),

Hipótesis: Existe un número entero positivo (A\( \neq{1} \)) que no admite representación como producto de números primos.

2.1) Por B.O. existe un número entero minimal con esa propiedad. Sea, \( m \) dicho número entero, no factorizable como producto de números primos.

\( m \) no puede ser número primo, pues según (1) satisfaría el teorema (T.F.A.). Por lo tanto, si \( m \) no es primo, debe existir otro número primo (\( p \)) menor que \( m \) que lo divida (si no fuera así, \( m \) contradice la definición de número primo).

Sea \( p \) el menor de los divisores de \( m \) (B.O.), entonces,

\( m=p\cdot{m'} \)   ,  donde \( m'\neq{1} \)    (1) 
   

Pero, \( m'<m \). Pero, \( m \) es el menor número con las características de A (de la hipótesis). Luego, \( m' \) se rige según el teorema (T.F.A.), en consecuencia, \( m' \) se puede escribir:

\( m'=p_2\cdot{}p_3\cdot{}p_4\cdot{} ... \cdot{} p_k \)

siendo, \( p_2\leq{}p_3\leq{}p_4\leq{} ... \leq{} p_k \)

Pero, \( p\leq{p_2}      (2)  \)

Y de acuerdo con (1),

\( m=p\cdot{m'}=p\cdot{p_2}\cdot{p_3}\cdot{p_4}\cdot{...}\cdot{p_k} \)     (3)

Pero, (3) contradice a nuestra hipótesis del carácter de A. Con lo que, la parte del teorema que establece que todo número se puede escribir como producto de números primos es cierta.

SEGUNDA PARTE

1) Si \( N=P=Q \)  (siendo \( P \) número primo), entonces, por definición de número primo\(  Q \) es necesariamente igual a \( P \). Es decir, \( P \) y \( Q \) son el mismo número primo.

2) Supongamos que se verifica:

\( N=P_1\cdot{P_2}\cdot{P_3}\cdot{...}\cdot{P_K}=Q_1\cdot{Q_2}\cdot{Q_3}\cdot{...}\cdot{Q_L} \)    (1)

tales que,

\( 0<P_1\leq{P_2}\leq{P_3}\leq{...}\leq{P_K} \)     (2)

\( 0<Q_1\leq{Q_2}\leq{Q_3}\leq{...}\leq{Q_L} \)     (3)

O sea, hay "K" números primos \( P_i \) (i=1,2,3,...,K) y "L" números primos \( Q_j \) (j=1,2,3,...,L)

Por ser todos números primos, en ambos lados de la igualdad (1) debe poderse dividir por \( P_1 \). Luego, \( P_1=Q_x \) (donde x es el indice que representa alguno de los números primos \( Q_j \).

Por otro lado, en (1) es posible dividir ambos miembros por \( Q_1 \). Luego, \( P_y=Q_1 \) (donde y es el indice que representa alguno de los números primos \( P_i \).

Pero, según (2) \( P_1\leq{P_y}=Q_1\leq{Q_x} \). Pero, por B.O. \( P_1 \) y \( Q_1 \) son elementos minimales, de modo que \( P_1=Q_1 \).

Luego, dividiendo, por estos valores en ambos lados de (1), resulta,

\( N'=P_2\cdot{P_3}\cdot{P_4}\cdot{...}\cdot{P_K}=Q_2\cdot{Q_3}\cdot{Q_4}\cdot{...}\cdot{Q_L} \)    (1 ')

tales que,

\( 0<P_2\leq{P_3}\leq{P_4}\leq{...}\leq{P_K} \)     (2 ')

\( 0<Q_2\leq{Q_3}\leq{Q_4}\leq{...}\leq{Q_L} \)     (3 ')

Procediendo, sucesivamente de este modo, resulta,

\( P_2=Q_2 \), \( P_3=Q_3 \), \( P_4=Q_4 \), (etc.)

De donde, no puede existir diferentes números primos en ambos lados de la igualdad (1). Lo que implica que ambos lados de la igualdad (1) deben tener la misma cantidad de números primos , con los mismos números primos.

Con lo que se demuestra el teorema en su segunda parte.
[cerrar]

2.6.2. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL CANÓNICA DE UN NÚMERO ENTERO

Cuando se descompone un número (\( N \)), en sus factores primos, generalmente ocurre que varios de ellos pueden estar repetidos. Entonces, sean,

\( p_1<p_2<p_3<...<p_k \)       (los números primos que figuran en dicha descomposición)


y sean,

\( \alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<...<\alpha_k \)       (sus órdenes de multiplicidad en \( N \), respectivamente)


Llamaremos "descomposición canónica" a la siguiente expresión:

\( \boxed{N=\pm{p^\alpha_1_1\cdot{}p^\alpha_2_2\cdot{}p^\alpha_3_3\cdot{...}\cdot{p^\alpha_k_k}}} \)       (2.3)

donde el doble signo (\( \pm{} \)) depende del signo del entero \( N \).

Por ejemplo, la descomposición canónica de N=63131992 es la siguiente:

\( N=63131992=2^3\cdot{7^2}\cdot{11^5} \)


NOTA: En virtud del T.F.A. se dice que el conjunto de los números enteros es un dominio de factorización única (D.F.U.). Asimismo, como en \( \mathbb{Z} \) existe un algoritmo de división, se dice que \( \mathbb{Z} \) es un dominio euclidiano (D.E.).

2.7. INTRODUCCIÓN A LA ARITMÉTICA MODULAR

Ya habíamos adelantado la notación,

\( a\equiv b\pmod {m} \)       (2.4)

introducida por el célebre matemático Gauss, en su libro Disquisitiones Arithmeticae. Como él mismo afirma, en tal notación utiliza el símbolo \( \equiv{} \) a fin de que no se genere confunsión con respecto al signo \( = \) (empleado antes de él por el matemático Legendre). Con esto, Gauss hace una diferenciación de "forma" entre lo que se entiende por "igualdad" respecto de una "congruencia".



Daremos pues, a las congruencias, una perspectiva algebraica. Primero, enunciaremos un pequeño grupo de leyes fundamentales (de las congruencias) con sus respectivas demostraciones y/o justificaciones (basadas en la definición misma de la congruencia).

Después, a partir de dichas leyes, deduciremos otras. Asimismo, dichas leyes fundamentales nos permitirán resolver una amplia gama de problemas. Todo esto para que el lector note las similitudes que hay entre el álgebra básica y la aritmética modular.

Continuará...





13 Junio, 2014, 09:02 am
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nataivel

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2.7.1. LEYES DEL ALGEBRA DE CONGRUENCIAS EN EL MÓDULO “m”

A partir de las siguientes leyes se pueden deducir otros teoremas para poderse aplicar en la resolución de problemas concretos.

Sean \( a, b, c, d, k \) todos números enteros y sea \( m>0 \) un número natural que se llama módulo. Entonces se verifican las siguientes leyes:

1) Reflexividad

\( a\equiv a\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Por definición de congruencia,  \( a-a=0 \) admite cualquier divisor \( m>0 \). Luego,

\( a\equiv a\pmod{m} \)

Se cumple para cualquier módulo “\( m>0 \)”. De donde se sigue que la congruencia obedece a la propiedad reflexiva.
[cerrar]

2) Simetría

\( a\equiv b\pmod{m} \)    entonces    \( b\equiv a\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Si,

\( a\equiv b\pmod{m} \)        (1),

entonces existe un número entero M tal que:

\( a-b=m\cdot{ M }  \)

Multiplicando por (-1)

\( -(a-b)=-m\cdot{ M }  \)

\( b-a=-m\cdot{ M } =m\cdot{(-M)}=m\cdot{M ‘} \)

de donde se sigue (por definición) que,

\( b\equiv a\pmod{m} \)        (2)

De donde, (1) y (2) son dos formas diferentes de expresar la misma congruencia. Esto es, se verifica la propiedad simétrica.
[cerrar]

3) Transitividad
\( a\equiv b\pmod{m} \)     y   \( b\equiv c\pmod{m} \) entonces  \( a\equiv c\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Si

\( a\equiv b\pmod{m} \)     y   \( b\equiv c\pmod{m} \), entonces se tiene respectivamente,

\( a-b=m\cdot{M_1} \)            (1)

\( b-c=m\cdot{M_2} \)            (2)

Sumando miembro a miembro (1) y (2),

\( (a-b)+(b-c)=m\cdot{M_1}+ m\cdot{M_2} \) 

 \( a-c=m\cdot{(M_1+M_2)}= m\cdot{(M_ 3} \)

Entonces, \( m \)   es divisor de \( a-c \) , o sea,

\( a\equiv c\pmod{m} \)           (3) 
   
Luego, (1) y (2) implican necesariamente (3), con lo que se verifica la propiedad transitiva.
[cerrar]

4) Leyes cancelativas

          4.1) Ley cancelativa respecto de la adición

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \)      sí y solo si        \( a\equiv b\pmod{m} \)
 

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
1) Sea,

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \)  ,

Esto implica la existencia de un número entero M, tal que,

\( (a+c)-(b+c)=m\cdot{M} \)   

Luego de eliminar paréntesis, resulta,

\( a\equiv b\pmod{m} \)   
                     
2) Procediendo en el sentido inverso. Sea,

\( a\equiv b\pmod{m} \) 
             
Por definición, podemos escribir,

\( a-b=m\cdot{M ‘} \)     
   
Sumando y restando la cantidad “c”, en el primer miembro de la anterior igualdad, tenemos,

\( a-b+c-c=a+c-b-c=(a+c)-(b+c)=m\cdot{M ‘} \)
 
Nuevamente por definición (de congruencia),

\( a+c\equiv b+c\pmod{m} \) 

Con lo cual la ley cancelativa en la adición queda justificada.
[cerrar]

          4.2) Ley cancelativa respecto del producto

Si  \( c\neq{0} \)  y  \( mcd(c, m)=1 \)  entonces,

\( a\cdot{c}\equiv b\cdot{c}\pmod{m} \)   si y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)


DEMOSTRACIÓN
Spoiler
Sea,

1) \( a\cdot{c}\equiv b\cdot{c}\pmod{m} \) 

Por definición existe un entero “M” tal que,

\( a\cdot{c}-b\cdot{c}=m\cdot{M} \)

Factorizando tras eliminar paréntesis, resulta,

\( c\cdot{(a-b)}=m\cdot{M} \)

Dividiendo ambos miembros por: \( c\neq{0} \)

\( a-b=\displaystyle\frac{m\cdot{M}}{c} \) 

\( c \)  y  \( m \)  deben ser coprimos entre sí, de otro modo, en la anterior fracción el valor del módulo (m) podría alterarse. Luego, “c” sólo puede dividir a “M”,

\( a-b=m\cdot{\displaystyle(\frac{M}{c})}=m\cdot{M ‘} \)

De donde,

 \( a\equiv b\pmod{m} \) 

2) dejamos al lector la demostración de la recíproca.
[cerrar]

          4.3) Propiedad periódica

\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \)  sí y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)


DEMOSTRACIÓN
Spoiler
Sea,

\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \) 

Luego, por definición, existe un número entero M, tal que se verifica la siguiente igualdad,

\( a-b-m\cdot{k}=m\cdot{M} \) 

Transponiendo \(  m\cdot{k}=  \)  al segundo miembro, resulta,

\( a-b=m\cdot{M}+m\cdot{k}=m\cdor{(M+k)}=m\cdot{M ‘} \)
 
De donde,

\( a\equiv b\pmod{m} \) 

Y como este proceso se puede invertir, la propiedad queda justificada.
[cerrar]

PERIODICIDAD: IMPORTANTE PROPIEDAD EN LA MATEMÁTICA



Spoiler
La matemática nos sorprende cuando nos encontramos con funciones cuyo rango se repite cíclicamente a medida que se avanza en su dominio. Por ejemplo, sin ir lejos, las funciones trigonométricas (como el: seno, coseno) tienen esa propiedad de repetirse (por ejemplo en cada intervalo de \( 2\pi \). En el gráfico, podemos observar cómo ocurre ese singular fenómeno.

Pero, ahora que estamos hablando de los números enteros, gracias a Gauss comtemplamos dicha propiedad de ser "periódica" en las congruencias. Es suficiente con estudiar a los números en terminos de un módulo (m) y de sus residuos (o restos) en las congruencias.

Efectivamente, esta propiedad de periodicidad (que acabamos de enunciar más arriba)...

(4.3)
\( a\equiv b+m\cdot{k}\pmod{m} \)  sí y solo si   \( a\equiv b\pmod{m} \)
   

es fundamental en la interpretación de la aritmética modular...

..pues ésta ley nos indica que la forma de los residuos de una congruencia (respecto de un módulo “m”) se repiten periódicamente.

Por ejemplo, (analizando la fórmula 4.3), en este caso, los residuos se repetirán cada \( T=m\cdot{}k \), (\( k=0, \pm{1}, \pm{2}, \pm{3} \), …) y por ello conviene llamar a \( T \) periodo de la congruencia.

Más adelante, daremos algunos pormenores de esta propiedad periódica de los números cuando establezcamos un concepto fundamental: “El sistema de restos”.

COMENTARIO: En un estudio más detallado, todavía, resulta de interés estudiar funciones del tipo:

\(  Y=f(X) \), donde X e Y adoptan sólo valores enteros. Y sobre esa base, estudiar las congruencias del tipo:

\(  Y\equiv f(X)\pmod{m} \),

Así, un interesante resultado nos ofrecen las funciones que verifican la siguiente propiedad:

\(  f(X+T)\equiv f(X)\pmod{m} \),

Estas nociones “sobre la periodicidad de las congruencias" (que involucran funciones de variable entera) volveremos a comentar con más detallle cuando desarrollemos la teoría que se expondrá en la parte 4 de este “breve estudio sobre la suma de dos potencias de igual exponente…”.
[cerrar]

5) Aditividad miembro a miembro

\( a\equiv c\pmod{m} \) y  \( b\equiv d\pmod{m} \) entonces  \( a+b\equiv c+d\pmod{m} \)
 

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Tenemos que,

\( a\equiv c\pmod{m} \)  y  \( b\equiv d\pmod{m} \) 

Por definición, esto implica la existencia de los enteros: \( M_1 \)  y  \( M_2 \)  , tales que,

\( a-c=m\cdot{M_1} \)    y

\( b-d=m\cdot{M_2} \)   

Sumando miembro a miembro las anteriores igualdades resulta,

\( (a-c)+(b-d)=m\cdot{M_1}+ m\cdot{M_2} \)
 
Agrupando convenientemente (en el primer miembro) y factorizando (en el segundo miembro),

\( (a+b)-(c+d)=m\cdot{(M_1+M_2)}=m\cdot{M_3} \) 

De donde es inmediato concluir,

\( a+b\equiv c+d\pmod{m} \) 

Que demuestra el resultado buscado.
[cerrar]

6) Multiplicatividad miembro a miembro

\( a\equiv c\pmod{m} \) y  \( b\equiv d\pmod{m} \)  entonces  \( a\cdot{}b\equiv c\cdot{}d\pmod{m} \)

DEMOSTRACIÓN
Spoiler
Como en la propiedad anterior, tenemos que,

\( a\equiv c\pmod{m} \)  y  \( b\equiv d\pmod{m} \) 

Por definición, esto implica la existencia de los enteros: \( M_1 \)  y  \( M_2 \)  , tales que,

\( a-c=m\cdot{M_1} \)    y

\( b-d=m\cdot{M_2} \)

Trasponiendo “c” y “d” en ambos casos, para que podamos operar de forma más manejable, tenemos,

\( a=c+m\cdot{M_1} \)    y

\( b =d+m\cdot{M_2} \)

Multiplicando miembro a miembro ambas igualdades, tenemos,

\( a\cdot{}b=(c+m\cdot{M_1})(d+m\cdot{M_2}) \)

Desarrollando este producto,

\( a\cdot{}b=c\cdot{}d+m\cdot{}d\cdot{}M_1+ m\cdot{}c\cdot{}M_2+m^2\cdot{}M_1\cdot{}M_2 \)

\( a\cdot{}b=(c\cdot{}d+m\cdot{(d\cdot{}M_1+c\cdot{}M_2+M_1\cdot{}M_2)}=c\cdot{}d+m\cdot{}M_3 \)

De donde por definición, es inmediato,

\( a\cdot{}b\equiv c\cdot{}d\pmod{m} \)
[cerrar]

Combinado con estas leyes, también pueden ser bastante útiles las siguientes:

NOTA: El lector observará que en el anterior listado, el módulo “m” se mantiene invariable. En las leyes que se enuncian a continuación (en cambio) el valor del módulo se ve afectado.

7) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   entonces   \( mcd(a,m)=mcd(b,m) \)

8) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   y si d es cualquier divisor común de a y de m, entonces, d es divisor de b.

9) Si \( a\equiv b\pmod{m} \)   y si d>0 es un divisor positivo de m, entonces, \( a\equiv b\pmod{d} \) 
 
10) Si  \( a\equiv b\pmod{m_1} \)   y  \( a\equiv b\pmod{m_2} \)   , y si \( m=mcm(m_1,m_2) \)  entonces  \( a\equiv b\pmod{m} \)
 
11)  Si  \( a\equiv b\pmod{m} \)  Si  “d” es un divisor común de “a, b, m”. Entonces,

   \( a_1\equiv b_1\pmod{m_1} \) 

 (donde: \( a = d\cdot{}a_1 \)  , \( b = d\cdot{}b_1 \)  ,  \( m = d\cdot{}m_1 \)

12) Si  \( a\equiv b\pmod{m} \)  y \( t>0 \) es un entero  , entonces,

  \( a\cdot{}t\equiv b\cdot{}t\pmod{m\cdot{}t} \) 

NOTA: Se deja al lector que demuestre las propiedades (7) al (12).


2.7.2. APLICACIONES INMEDIATAS

Las leyes anteriores se pueden emplear para deducir otros teoremas. Dejaremos de momento ese afán para dedicarnos a resolver dos problemas importantes. Estos problemas se relacionan con la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diofánticas.

El lector debe estar atento a estas dos aplicaciones que se darán en los próximos párrafos. No sólo para comprender cómo se debe utilizar las anteriores leyes (arriba); sino, para darnos una idea acerca de la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diofánticas. Esta comprensión de la naturaleza de las soluciones de una ecuación diofántica, nos permitirá analizar con más claridad los pormenores del Último Teorema de Fermat cuando se pretende demostrar dicho UTF por la via sencilla.

Por lo tanto, el autor considera que siendo estos tópicos necesarios para ulteriores análisis (en este "breve estudio"), vamos a abundar en unos cuantos detalles con relación a lo siguiente:

1) Las ecuaciones lineales de congruencias y 2) La ecuación diofántica lineal (\( ax+by=c \))

2.7.2.1. LA ECUACIÓN LINEAL DE CONGRUENCIA

2.7.2.1.1. Definición

Se llama ecuación lineal de congruencia a una (congruencia) que contiene a la variable indeterminada X. El objetivo del problema consiste en determinar todas los valores de X tales que verifiquen la congruencia original.

La forma más general de una ecuación de congruencia lineal es:
\( a\cdot{}X\equiv b\pmod{m} \)

donde, \( a \)  ,  \( b \)  y  \( m>0 \) son números enteros dados y \( X \) es la cantidad indeterminada que buscamos conocer.

Por ejemplo,

\( 3X\equiv 7\pmod {11} \)     ó     \( 2X\equiv 3\pmod {2} \)

1) El primer problema que debemos resolver es determinar un criterio que nos asegure cuándo una ecuación diofántica lineal tiene solución.

Para responder a esta cuestión es suficiente analizar el coeficiente de la indeterminada X con respecto al módulo (m). Por ejemplo,
sea la ecuación lineal de congruencias:

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)

Es evidente que el coeficiente de X: (12), tiene la forma:\(  12=0+6k \) (en este caso k=2). Entonces, por la propiedad periódica (4.3) (ver arriba: leyes del algebra de congruencias), se puede escribir:

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)  \( (0+6k)X\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)  \( 0X+6kX\equiv 5\pmod {6} \)   \( \Rightarrow{} \)   \( 0X\equiv 5\pmod {6} \)

Pero, la expresión:    \( 0X\equiv 5\pmod {6} \)   es absurda...!!!

Luego, la ecuación lineal de congruencias

\( 12X\equiv 5\pmod {6} \)

carece de soluciones. También se puede decir que es IRRESOLUBLE.

(continuará)

17 Junio, 2014, 09:46 am
Respuesta #10

nataivel

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En el ejemplo anterior, hemos visto que no todas las ecuaciones lineales de congruencia tienen solución. Pero, necesitamos un “criterio” que nos permita reconocer (por simple inspección) si una determinada ecuación de la forma:

\( a\cdot X\equiv b\pmod {m} \)

tiene o no solución.

Este teorema permite establecer dicho criterio.

2.7.2.1.2. Teorema (condición necesaria y suficiente)

Dados tres números enteros  \(  a, b, m \), con \( m>0 \);  la ecuación lineal de congruencia,

\( a\cdot X\equiv b\pmod {m} \)


tiene al menos una solución, si y solo si,

\( mcd(a,m) \) | \( b \)

(O sea, si el m.c.d. de a y m divide a b.)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
CONDICIÓN DE NECESIDAD

(COMENTARIO: Es necesario que “b” sea divisible por \( mcd(a,m) \),…)

Sea: \(  d=mcd(a,m) \)     (1)

Esto significa que todos los factores comunes de a y de b son iguales a d.

Entonces, existen dos números enteros “\(  a_1 \) y \(  m_1 \) que verifican las siguientes igualdades.

\(  a=d\cdot {}a_1 \)        (2)

\(  m=d\cdot{}m_1 \)           (3)

Por otro lado, por definición de congruencia, existe un número entero M que verifica la igualdad:

\(  a\cdo{}x-b=m\cdot{} M \)       

Despejando “b” resulta:

\(  b=a\cdo{}x-m\cdot{} M \)       (4)

Reemplazando (2) y (3) en (4)

\(  b=( d\cdot {}a_1)\cdo{}x-( d\cdot{}m_1)\cdot{} M \)

De donde se puede factorizar “d”, resultando,

\(  b=d\cdot{}(a_1\cdo{}x-m_1\cdot{} M) \)

Por el teorema fundamental de la aritmética (T.F.A.): “d” debe ser divisor de “b”.

CONDICIÓN DE SUFICIENCIA

(COMENTARIO: Debemos asegurar que exista al menos una solución.)

Sea: \(  d=mcd(a,m) \)     (1)

Además, existen dos números enteros “\(  a_1 \) y \(  m_1 \) que verifican las siguientes igualdades.

\(  a=d\cdot {}a_1 \)        (2)

\(  m=d\cdot{}m_1 \)           (3)

Por definición de “máximo común divisor” existen dos números enteros “u” y “v” que cumplen la siguiente igualdad (identidad de Bezout),

\(  d=a\cdot{}u+m\cdot{}v \)      (4)

Reemplazando (2) y (3) en (4), luego de simplificar resulta,

\(  1=a_1\cdot{}u+m_1\cdot{}v \)        (5)

Multiplicando (5) por \( b_1 \) (que puede ser cualquier número entero)

\(  b_1=a_1\cdot{}b\cdot{}u+m_1\cdot{}b\cdot{}v \)

Reordenando, y haciendo: \(  x= b_1\cdot{}u \)  y \(  M=-b_1\cdot{}v \)

 \( a_1\cdot{} b_1\cdot {u} - b_1=-m_1\cdot {}b_1\cdot {v}=m_1\cdot{}M \)

\( a_1\cdot{} x - b_1=m_1\cdot{}M \)


De donde, por definición de congruencia:

\( a_1\cdot{} x\equiv b_1\pmod{m_1} \)       (6)

Pero, en virtud de (5), (6) tiene al menos una solución. Con lo que se demuestra el teorema.

EXPLICACIÓN: La condición de necesidad nos dice que: siempre y cuando una ecuación lineal de congruencia tenga solución; entonces, es necesario que el m.c.d. de “a” y “m” divida a b.

La condición de suficiencia nos dice que: sin importar que valor tenga “b” la ecuación lineal de congruencia tiene solución si y solo si el m.c.d. de “a” y “m” sea igual a la unidad. Es decir, a y b tienen que ser coprimos entre sí.

De este modo, si se cumple que:

\( mcd(a,m) \) | \( b \)

Entonces la ecuación lineal de congruencia tiene una o más soluciones.
[cerrar]

El teorema anterior nos brinda un criterio importante. De este modo, podemos reconocer “por simple inspección” si una ecuación lineal tiene o no solución.

¿Puede el lector (por simple inspección) decir cuál de las siguientes ecuaciones lineales de congruencia no tiene solución?

1) \( 111X\equiv 75\pmod {321} \)                  2) \( 12X\equiv 352\pmod {153} \)                 3) \( 49X\equiv 287\pmod {91} \)


2.7.2.1.3. Naturaleza de las soluciones de la ecuación lineal de congruencia

Supongamos que la siguiente ecuación
\( a\cdot{}X\equiv b\pmod{m} \)        (1)

verifica el teorema de necesidad y suficiencia anterior.

Vamos investigar qué forma tiene su solución (o soluciones). Supongamos que

\( X=X_0+m\cdot {}k \)         (2)

es una solución de la ecuación anterior. Donde \( 0\leq{X_0}<m \) y “k” es cualquier número entero.

Reemplazando (2) en (1), resulta,
\( a\cdot{}( X_0+m\cdot {}k)\equiv b\pmod{m} \)

\( a\cdot{}X_0+m\cdot {}a\cdot {}k)\equiv b\pmod{m} \)

Por la propiedad periódica,   
   
\( a\cdot{}X_0\equiv b\pmod{m} \)     (3)

Es decir, si una ecuación lineal de congruencia tiene solución; entonces, dicha solución puede obtenerse seleccionando un número entero y positivo de la siguiente sucesión (finita) de números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, …., m-1          (4)

Pero, como,

\( X=X_0+m\cdot {}k \) 
 

Podría suponerse que (1) tiene infinitas soluciones porque “k” es un número entero arbitrario.

Sin embargo, tal concepción es errónea y puede conducir a confusiones sin fundamento. El propio Gauss se dio cuenta de esto, por ello, utilizó la siguiente notación (para expresar una solución  de la ecuación lineal de congruencia):

\( X\equiv X_0\pmod {m} \)        (5)

Por ejemplo, la solución de la siguiente ecuación,

\( 3\cdot{}X\equiv 2\pmod{13} \)

es,

\( X\equiv 5\pmod {13} \)          (5 ‘)

Pero alguien podría decir que esta otra,        \( X\equiv -8\pmod {13} \)          (5 ‘’)

Es una solución diferente. Dicha concepción es totalmente equivocada, pues:

\( X\equiv -8+13\pmod {13} \)   \( \Rightarrow{} \)       \( X\equiv 5\pmod {13}  \)        (5 ‘’’) 

Es decir, se trata de la misma congruencia, luego es la misma solución  (5 ‘). 
 
Insistimos, las ecuaciones de congruencias en general (y las ecuaciones lineales, en particular) no tienen infinitas soluciones.

Las soluciones (si es que existen) deben expresarse en forma de congruencias (con el mismo módulo de la ecuación que lo genera).


COMENTARIO: MÁS ANALOGÍAS ENTRE LAS FUNCIONES PERIODICAS Y LAS CONGRUENCIAS


Spoiler
Vamos a realizar una analogía con las funciones periódicas.

Las funciones periódicas son aquellas que verifican la siguiente relación:

\( f(x+T)=f(x) \)      (A)

Por ejemplo, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. En el caso de la función seno, tenemos:

\( sin(x+2\pi\cdot {}k)=sin x \)         (B)

Observamos que:        \( T=2\pi\cdot {}k \)   
 
donde   \( T \)    se llama periodo (de la función periodica).

Pero, las funciones periódicas se repiten en su rango (véase, por ejemplo, el gráfico de la entrega anterior).

Por lo tanto, no hace falta analizar todos los puntos en que se extiende su gráfico (de la función periódica). Basta estudiar un solo intervalo.

A ese intervalo se conoce como “intervalo fundamental”. Por ejemplo, el intervalo fundamental de la función seno es: \( 0\leq{}x<2\pi \).

Podemos representar la longitud de dicho intervalo mediante      \( T_0 \); O sea, el periodo mínimo para la que se cumplirá la relación:

\( f(x+T)=f(x) \)
   
Análogamente, cuando tratamos con congruencias, no es necesario estudiar todos los números enteros. Basta analizar una sucesión finita en la que se exhibirá todas las propiedades de las congruencias.

Por ejemplo, en la congruencia

\( 3X\equiv u\pmod {7} \)     

Analicemos los restos (u) que se producen cuando dividimos 3X por 7. Podemos confeccionar la siguiente tabla: 


Obsérvese que los restos de la división de 3x por 7, se repiten (en valores enteros) entre 0 y 6.

Así pues, el intrvalo fundamental es:

\( 0\leq{u}<7 \)   

En la aritmética modular este intervalo está definido por la sucesión de los siguientes números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

A esta sucesión de números enteros se conoce como "sistema completo de restos". En la teoría de números, el sistema completo de restos (y también, el sistema reducido de restos) cumplen un papel fundamental (que más adelante analizaremos en detalle cuando abordemos el acápite referido al "pequeño teorema de Fermat").

Así, por analogía la longitud de este intervalo fundamental es igual al valor del módulo. En este caso, m=7.

Continuando con la analogía, así como las funciones periodicas se pueden representar en un gráfico cartesiano; las congruencias también se pueden representar de manera semejante. En la figura inferior, los valoores de la tabla (arriba) se pueden representar en un gráfico cuyo eje de abscisas es "x" y cuyo eje de ordenadas es "u" (el correspondiente al de los restos que se obtienen por división de 3x por 7).


Un análisis exhaustivo de la anterior representación nos permite conjeturar que los números enteros expresados como congruencias y las funciones periodicas se relacionan de manera intrínseca.

Por ejemplo, si somos capaces de expresar los puntos enteros mediante una curva \( F(x) \), podremos utilizar las técnicas de análisis de Fourier. De ese modo, habremos conciliado la aritmética con otros campos de la matemática. En este caso con el análisis basado en la expansión en series trigonométricas.
[cerrar]

(formulas en revisión, contenido sujeto a cambios...)

(continuará)

19 Junio, 2014, 01:33 am
Respuesta #11

nataivel

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Se tiene el siguiente teorema,

2.7.2.1.4. Teorema (Número de soluciones de una ecuación lineal de congruencia)

Dados tres números enteros \( [a, b, m (m>0) \), la ecuación lineal de congruencia,

\( a\cdot{}X\equiv b\pmod{m} \)
     
O no tiene soluciones, o tiene exactamente “d” soluciones. Donde: \(  mcd(a,m) = d \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
I) Si no se verifica la condición de necesidad y suficiencia del teorema (2.7.2.1.2), entonces, la ecuación lineal de congruencia
 
\( a\cdot{}X\equiv b\pmod{m} \)          (1)
tampoco tiene soluciones.

II) Demostremos el caso \(  mcd(a,m) = 1 \), para luego generalizar para todo \( d=mcd(a,m) \).

Supongamos que \( X\equiv X_0\pmod {m} \) es una solución de la ecuación (1). Según el acápite anterior, \( X_0 \) puede ser un número de la siguiente lista de números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …., m-1       (2)

Pero, como \( a \) es coprimo con  \( m \); entonces, (salvo\( X_0=0 \)),  ni \( a \), ni  \( x_0 \)  son exactamente divisibles por \( m \). Luego, el producto:  \( a\cdot {}X_0 \)  tampoco es divisible por \( m \).

Eso quiere decir que, sólo alguna de las siguientes diferencias  es divisible por \( m \),

\(  a\cdot {}X_0 -0 \) , \(  a\cdot {}X_0 -2 \) , \(  a\cdot {}X_0 -3 \), …, \(  a\cdot {}X_0 –(m-1) \)         (3)

O dicho de otro modo, \(  a\cdot {}X_0 \) es congruente (módulo m) sólo con alguno de los siguientes restos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, m-1         (4)

Pero, \(  b \) es un número entero y puede expresarse (POR LA PROPIEDAD PERIODICA) en la forma:

\(  b=b_0 + m\cdot {}t \)       (5)

Siendo “t” algún número entero y \(  0<=b<m \)        (véase sucesión (4))

Con lo antedicho, existe un solo \(  b  \)   para cada    \(  X_0 \) . De donde, sólo puede haber una solución para la ecuación lineal de congruencia (1).     
 
III) Sea \( mcd(a,m)=d \). Luego, por la LEY 8 (véase leyes del algebra de congruencias), \( a, b, y m \) deben ser divisibles por “d”.

Sean:

\( a=d\cdot {}a_1 \)     (1 ‘)

\( b=d\cdot {}b_1 \)     (2 ‘)

\( m=d\cdot {}m_1 \)     (3 ‘)

Reemplazando (1 ‘), (2 ‘) y (3 ‘) en (1) , véase inciso (I). Y por la LEY (11), tenemos:

\( a_1\cdot{}X\equiv b_1\pmod{m_1} \)    (4 ‘)

Por el inciso (II), (4 ‘) debe tener solución única; porque \( mcd(a_1, m_1) = 1 \)

Si  \( X\equiv X_1\pmod {m_1} \)  es solución de (4 ‘) significa que también es solución de la ecuación (1); esto puede escribirse también así (por la LEY CANCELATIVA EN LA MULTIPLICACIÓN): \( X\equiv X_1\pmod {m} \).

Entonces,  \( X\equiv X_1\pmod {m} \) es solución de (1), también \( X\equiv X_1 + m_1\pmod {m} \)  es otra solución diferente (porque  \( X_1 + m_1 < m \)) . Así, sucesivamente, existirán tantas soluciones de la forma:

\( X\equiv X_1 + m_1\cdto {t}\pmod {m} \)  (t = 0, 1, 2, 3, … ) mientras se cumpla la desigualdad,

\( X_1 + m_1\cdto {t}< m \)            (5’)

Podemos demostrar a partir de esta desigualdad que no se puede sobrepasar al valor: \( t=d-1 \) (o sea, no puede ser t=d, d+1, d+2, etc.) : (por ejemplo, tomando  \( X_1 < m_1 \) y reemplazando en (5’)). Luego,  la siguiente sucesión de congruencias, son todas las soluciones de la congruencia (1).

\( X\equiv X_1\pmod {m} \)  ;          \( X\equiv X_1 + m_1\pmod {m} \)   ;       \( X\equiv X_1 + 2m_1\pmod {m} \)  ; …. ;     \( X\equiv X_1+ (d-1)m_1\pmod {m} \)

O sea, hay exactamente “d” soluciones diferentes de la ecuación (1).
[cerrar]



19 Junio, 2014, 01:52 am
Respuesta #12

nataivel

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2.7.2.1.5. Problemas

Si bien, los anteriores teoremas resuelven por sí mismos las ecuaciones lineales de congruencia (de forma general), conviene poner en práctica los conocimientos adquiridos (sin recurrir a estos teoremas recién formulados). Veamos algunos ejemplos:

1. Resolver la ecuación:  \( 30\cdot {}X\equiv 18\pmod {78} \) 

MÉTODO TRADICIONAL

Sea:    \( 30\cdot {}X\equiv 18\pmod {78} \)        (1)

PRIMERO: Calculamos el m.c.d.  de “a” y “m”(se puede emplear el algoritmo de Euclides) o también lo siguiente:

30 y 78 son divisibles por 2. Al dividir resultan los números: 15 y 39.

15 y 39 son divisibles por 3. Al dividir resultan los números: 5 y 13

5 y 13 son coprimos entre sí. Luego, \( d=mcd (30, 78) = 2\cdot {}3 = 6 \)

Debemos esperar “6” soluciones diferentes.

SEGUNDO: Por la LEY 11 (ver leyes del algebra de congruencias) se puede dividir 30, 18 y 78 por 6, resultando los números: 5, 3, 13 y por tanto, resulta la congruencia:

\( 5\cdot {}X\equiv 3\pmod {13} \)        (2)

Como m=13 es un número razonablemente pequeño la solución de (2)  coincide con alguno de los siguientes valores:

\(  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) 

Por “tanteo”, se obtiene: \( X_0 = 11 \) . Entonces, otros valores pueden obtenerse sumando múltiplos de 13. O sea,

\(  X_0=11, 11+13, 11+26, 11+ 39, 11+52, 11+65 \) 

TERCERO: En conclusión, las soluciones de (1) son:

\( X\equiv 11\pmod {78} \)   ;     \( X\equiv 24\pmod {78} \)          ;        \( X\equiv 37\pmod {78} \)      ;           \( X\equiv 50\pmod {78} \)        ;           \( X\equiv 63\pmod {78} \)        ;         \( X\equiv 76\pmod {78} \) 
   
COMENTARIO: En el anterior ejemplo, hemos obtenido el valor: \( X_0 = 11 \) por simple “tanteo”. Pero, no todas las ecuaciones lineales de congruencia pueden obtenerse así (sobre todo si el módulo es un número demasiado grande. A continuación daremos un método para salvar dicho obstáculo.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Resolver la ecuación:  \( 111\cdot {}X\equiv 75\pmod {321} \) 

MÉTODO  BASADO EN LAS“FRACCIONES CONTINUADAS”

NOTA:
Spoiler
El cociente de dos números \( a \)  por  \( b \)  se puede expresar como fracciones continuadas. Por ejemplo: sea \( a=75 \)  y   \( b=19 \) , entonces, puede escribirse:

\( \displaystyle\frac {75}{19}=3+\displaystyle\frac {18}{19}=3+\displaystyle\frac {1}{(\displaystyle\frac{19}{18})}  \)       (A)

Pero, \( \displaystyle\frac {19}{18}=1+\displaystyle\frac {1}{18} \)       (B)

Reemplazando (B) en (A), así sucesivamente, se obtiene una fracción continuada….
[cerrar]

…el método basado en las “fracciones continuadas” consiste en determinar (mediante un algoritmo rápido) los valores de “u” , “v” y “d”, tales que:

\( a\cdot {u}+b\cdot {v} = d \)             (identidad de Bezout)

PRIMERO: Calculamos el m.c.d.  de “a” y “m”(se puede emplear el algoritmo de Euclides). Tenemos:

\( d=mcd (30, 78) = 3 \)        (puede verificarse rápidamente)

Entonces, debemos esperar “3” soluciones diferentes.

SEGUNDO: Por la LEY 11 (ver leyes del algebra de congruencias) se puede dividir 111, 75 y 321 por 3, resultando los números: 37, 25, 107 y por tanto, resulta la congruencia:

\( 37\cdot {}X\equiv 25\pmod {107} \)        (2)

En esta congruencia, calculamos (por definición) el m.c.d. de 107 y 37,


EXPLICACIÓN

Spoiler
a) El esquema del paso 1, es el del algoritmo de Euclides con “a=107” y “b=37” , como se muestra en la anterior figura, arriba, (recordemos que el esquema del algoritmo de Euclides ya lo hemos visto en un problema anterior, en el subtitulado: “máximo común divisor”)
(Observar  en la figura, que el método funciona trabajando con los cocientes: 2, 1 y 8)



b) En el esquema del paso 2 (véase figura, arriba) hay que escribir “0” y “1” como se ve en la fila del centro.  Obsérvese que en esta fila del centro se generarán los números 1 y 9. En total, puede visualizarse los siguientes números: 0, 1, 1 y 9.

c) En el esquema de paso 2 (véase figura, arriba) vamos anotando alternadamente los signos + y - . El valor que obtengamos para la variable “u” tendrá el signo que está debajo de ese valor (en la figura, tiene el signo: u=+9)

d) Como ya conocemos el valor d=1 y u=9, podemos determinar el valor de “v” (como se detalla en la figura).
[cerrar]

Así obtenemos:     

 \( (107)(+9)+(37)(-26)=1 \)            (3)

TERCERO: Utilizando el resultado anterior, es evidente por la LEY CANCELATIVA DEL PRODUCTO (véase “leyes del álgebra de congruencias” que:

\( 37\cdot {}X\equiv 25\pmod {107}   \Rightarrow{}   37\cdot {}X\equiv 25\cdot {((107)(+9)+(37)(-26))}\pmod {107}  \)        (3 ‘)

Que por la LEY PERIODICA simplifica a:

\( 37\cdot {}X\equiv 25\cdot {((37)(-26))}\pmod {107}  \)

Nuevamente, LEY CANCELATIVA DEL PRODUCTO (haciendo desaparecer:37)

\( X\equiv 25\cdot {(-26)}\pmod {107}  \)   entonces   \( X\equiv -650\pmod {107}  \)
 
Esta congruencia es equivalente a: \( X\equiv 99+107\cdot {(-7)}\pmod {107}  \)
   
De nuevo LEY PERIODICA,

\( X\equiv99\pmod {107}  \)           (4), que es solución de (2)

Pero, por la LEY 11 (ver “leyes del algebra de congruencias”, se sigue que esta solución es  también solución de la ecuación (1), pero en el módulo 321:

\( X\equiv99\pmod {321}  \)     

CUARTO: En conclusión las 3 soluciones, en este problema,  de la ecuación (1) , son:

\( X\equiv99\pmod {321}  \)    ;     \( X\equiv99+107\pmod {321}  \)    ;    \( X\equiv99+214\pmod {321}  \)
   
Que también podemos escribir (solo con el fin de simplificar)

 \( X\equiv99; 206 ; 313\pmod {321}  \)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
3) Resolver la ecuación diofántica lineal: \( 321x+111y=75 \)     

COMENTARIO: El lector ya tiene las herramientas para resolver este problema usando la definición del máximo común divisor y el problema 2 (del mismo subtitulado).

PRIMERO: Simplificamos todo lo posible. La ecuación original toma la forma:

\( 107x+37y=25 \)            (1)

NOTA: Todas las soluciones de (1) también son soluciones de la ecuación original.

PRIMERO: Vamos a aprovechar el resultado (3) del problema anterior.

\( (107)(+9)+(37)(-26)=1 \)            (2)

Multiplicando por “25” obtendremos:

\( (107)(+225)+(37)(-650)=25 \)            (3)

De aquí, una “solución particular” puede expresarse por el binomio la "dupla": \( (x_0,y_0)=(+225,-650) \)

Por otro lado, (como se vio en el problema 2, del subtitulado “máximo común divisor”) es posible obtener la proporcionalidad:

\( (107)\cdot {R}=(37)\cdot {S} \)  , o sea,

\( (107)\cdot {R}+(37)\cdot {(-S)}=0 \)        (4)

Hagamos: \( R=37k  \) y \( S=107k  \)     (k es un número entero cualquiera), (4) queda,

\( (107)\cdot {37k}+(37)\cdot {-107k}=0 \)        (4 ‘)

Sumando miembro a miembro (3) y (4 ‘) resulta:

\( (107)\cdot {+225+37k)}+(37)\cdot {-650-107k}=75 \)      (5)

CONCLUSIÓN: De (5), rápidamente se concluye: La solución general de la ecuación diofántica lineal

\( 321x+111y=75 \)     está dado por el binomio: (x,y)=(+225+37k, -650-107k)

Ésta incluye a todas las soluciones de la ecuación diofántica original.


24 Junio, 2014, 07:31 am
Respuesta #13

nataivel

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2.7.2.1.6. PRIMER PARADIGMA DE LA IRRESOLUBILIDAD DEL UTF POR MÉTODOS SENCILLOS

A partir del  problema anterior (2), ya se pueden obtener las soluciones generales (en forma simbólica) de una ecuación lineal de congruencia. Dejaremos que el lector se entretenga obteniendo tales soluciones generales.

Pero, ahora nos referiremos a la ecuación diofántica lineal,

\( a\cdot {}x+b\cdot {}y = c \)       (2.5)

En el problema anterior (3), hemos dado un método para su resolución. Sin embargo, tal método es demasiado “rebuscado” (o por decirlo en palabras más elegantes, es un método que emplea un par de “artificios matemáticos”). Un solucionador de ecuaciones diofánticas, no se vale de tales artificios (a menos que sean la última opción).

Entonces, ¿por qué están ahí?.  Porque nos ayudaran a comprender nuestro primer paradigma. Un paradigma que nos dará una pauta acerca de la no factibilidad de afrontar el UTF por métodos sencillos (cuando uno se vale de conocimientos de algebra básica).

¿Qué dice ese paradigma?... No nos apresuremos todavía…

… En lugar de eso, vamos a resolver dicha ecuación diofántica lineal (por el método de la deducción elemental):

RESOLUCIÓN

Spoiler
Sea:

 
\( a\cdot {}x+b\cdot {}y = c \)     (L.1)

Antes que nada, conviene simplificar al máximo. Así pues, si \( mcd(a,b,c)=d \), cada término de (L.1) se puede dividir entre “d”. O sea,

\( \displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}x+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}y = \displaystyle\frac{c}{d} \)     (L.2)

Realizamos los cambios de variable (C.V.):

\( x=x_0+u \)                  (L.3)

\( y=y_0+v \)                  (L.4)

Hasta ahora, \( x_0 \)  e \( y_0 \) son todavía cantidades desconocidas (así como \( u \) y \( u \). Reemplazando en (L.2), y asociando convenientemente, resultará,

\(  [\displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}u+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}v]+\displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}x_0+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}y_0 = \displaystyle\frac{c}{d} \)     (L.2)’

Igualemos la cantidad entre “corchetes”: […] a cero (0). Tendremos:
\(  [\displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}u+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}v]=0 \)       (L.2)’’

\( \displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}x_0+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}y_0 = \displaystyle\frac{c}{d} \)        (L.2)’’’

…Vamos a suponer que \( x_0 \)  e \( y_0 \) son números concretos (conocidos). Y por tanto, (L.2)’’’ es una igualdad. Notemos que, (L.2)’’’ nos recuerda a la identidad de Bezout . Así, podemos multiplicar la identidad de Bezout por \( \displaystyle\frac{c}{d} \)...

\( \displaystyle\frac{a}{d}\alpha+\displaystyle\frac{b}{d}\beta=1 \) (identidad de Bezout)  \( \Rightarrow{} \)   \( \displaystyle\frac{a}{d}\displaystyle\frac{\alpha\cdot{c}}{d}+\displaystyle\frac{b}{d}\displaystyle\frac{\beta\cdot{c}}{d}=\displaystyle\frac{c}{d} \)             (L.2)''''

Comparando (L.2)''' y (L.2)'''' se puede obtener los valores buscados para \( x_0 \)  e  \( y_0 \)

Por otro lado, teníamos,

\(  [\displaystyle\frac{a}{d}\cdot {}u+\displaystyle\frac{b}{d}\cdot {}v]=0 \)       (L.2)’’

Aquí, es evidente que si \( (u_0, v_0) \)  es una solución de (L.2)’’, entonces, \( (k\cdot {}u_0,k\cdot {} v_0) \)  es otra solución. Pero, \( k \)  puede adoptar el valor de cualquier número entero. Por tanto, la ecuación (L.2)’’ tendrá un número ilimitado de soluciones. Pero, de (L.2)’’ los valores de la dupla \( (u_0, v_0) \)  pueden determinarse inmediatamente. Estos valores son:

\( u_0=\displaystyle\frac{b}{d}  \)        y        \( v_0=-\displaystyle\frac{a}{d} \)           (L.3)

Así, con los valores obtenidos para \( x_0 \)  e \( y_0 \)  en (L.2)’v, y con los valores obtenidos en (L3) se puede determinar la solución de la ecuación diofántica inicial (L.1). Que tendrá la forma (ver C.V.):
[cerrar]

La solución de la ecuación diofántica tiene la forma:

\( x=x_0+\displaystyle\frac{b}{d} \cdot {}k \)                        (L.4)

\( y=y_0-\displaystyle\frac{a}{d} \cdot {}k \)                        (L.5)

ANÁLISIS DEL MÉTODO DADO

El método empleado, nos ha permitido desdoblar la ecuación original en otras dos, de modo que una de las resultantes se iguala a cero. La ecuación lineal que ha sido igualada a cero se llama ecuación lineal homogénea…

Las soluciones expresadas en la forma: (L.4) y (L.5) se llaman soluciones paramétricas de la ecuación diofántica, y “k” se llama parámetro. Más adelante (parte 3) estudiaremos con mejor detalle el significado de qué es un parámetro y qué es una parametrización.

Por ahora, vamos a adelantar que la ecuación diofántica lineal (L.1) es una “recta” en el plano cartesiano y el parámetro “k” nos permite obtener puntos enteros P(x,y) sobre dicha recta. Por ejemplo, en la figura (véase la figura inferior), se ha graficado la recta: \( 7x-5y=3 \), observése que al incrementarse las coordenadas en progresión aritmética:

\( x=-6+5k \).

\( y=-9+7k \)

...la distancia entre dos puntos consecutivos es constante e igual a \( d=\sqrt[ ]{74} \)



Pero, aquí vamos a tomar nota de algo más importante todavía: Obsérvese, en (L.4) y (L.5), que el parámetro “k” conserva el grado (o exponente) que tienen “x” e “y” en la ecuación (L.1). Conviene tomar en cuenta este detalle, pues más adelante (parte 3) analizaremos este mismo aspecto en la “ecuación de Fermat” que nos abrirá aun más los ojos de nuestra intuición.

Pero, a este momento, el lector debe estar preguntándose, en qué consiste el primer paradigma de la irresolubilidad del UTF (por métodos sencillos)?...

Sin más preámbulos, comencemos preguntándonos ¿cuál es el máximo común divisor de dos potencias cuyos exponentes son iguales?.

Es decir, ¿cuál es el máximo común divisor de  \( a^n  \)        y        \( b^n  \) ?
 
Es claro que el m.c.d. de éstos existe y se puede expresar mediante la identidad de Bezout.  Para esto, consideremos tres potencias de números arbitrariamente elegidos,
   
\( a^n  \)       ,        \( b^n  \)          y        \( c^n  \)

Supongamos además que son coprimos dos a dos. Entonces, por definición de m.c.d. se tiene:

\( a^n\cdot {}X_1+ b^n\cdot {}X_2=1  \)          (P.1)

\(  a^n\cdot {}Y_1+ c^n\cdot {}Y_2=1  \)         (P.2)

\(  b^n\cdot {}Z_1+ c^n\cdot {}Z_2=1  \)          (P.3)

Como hemos estudiado, sabemos que siempre es posible encontrar los valores:

 
\( X_1, X_2, Y_1, Y_2, Z_1, Z_2  \)             (P.4)


Ahora vamos a enunciar formalmente la hipótesis fundamental del UTF (sencillo). Así lo llamaremos,  UTF (sencillo),  cada vez que nos refiramos a los métodos que emplean artificios elementales o sencillos en la demostración del UTF.

Hipótesis:

El UTF es falso, y por tanto, existen tres números enteros, no nulos, \( a<b<c \) ; tales que se verifica la igualdad:

\( a^n+b^n=c^n  \)                                         (H.1) 

para algun número natural \( n\geq{3} \)

         
A partir de esta hipótesis (H.1) y las relaciones (P.1), (P.2), (P.3) vamos a efectuar unas cuantas transformaciones algebraicas...

(NOTA: a lo largo de los siguientes capítulos vamos a considerar otro tipo de transformaciones, Así iran surgiendo nuevos paradigmas)…

(si existiesen errores en la transcripcion, son nuestras...)

(continuará…)

25 Junio, 2014, 06:36 am
Respuesta #14

nataivel

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Vamos a suponer en (P.4) que ningún X, Y o Z es nulo...

Ahora, multiplicando (P.2) por \( Z_1 \)  y (P.3) por \( Y_1 \),

\( a^nY_1Z_1+c^nY_2Z_1=Z_1 \)       (P.2) '

\( b^nZ_1Y_1+c^nZ_2Y_1=Y_1 \)       (P.3) '

Sumando las anteriores miembro a miembro y teniendo en consideración la hipótesis (H.1), \( a^n+b^n=c^n \), tenemos,

\( c^nY_1Z_1+c^n(Y_2Z_1+Z_2Y_1)=Z_1+Y_1 \)

De donde rápìdamente se llega a,

\( c^n=\displaystyle\frac{Z_1+Y_1}{Y_1Z_1+Y_2Z_1+Z_2Y_1} \)       (P.5)

Con un razonable criterio de sentido común, sabiendo que UTF es verdadero ("proof by Wiles"), deberíamos pensar que no existe ninguna combinación de las variables Y y Z's tales que en (P.5) se produzca una potencia perfecta. Pero tal supuesto (de nuestro sentido común) es falso. Ver el siguiente contraejemplo:

CONTRAEJEMPLO: Sean \( a=11 \), \( b=2 \). De aquí, el máximo común divisor (por Bezout) es:

\( a^3Y_1+b^3Y_2=1 \)     o  en números concretos:     \( 11^3\cdot {}3+2^3\cdot{(-499)}=1 \)   o sea,  \( Y_1=3 \)  y  \( Y_2=-499 \)

Si ahora reemplazamos en (P.5) esos valores, además de: \( Z_1=2741 \)  y  \( Z_2=453179 \)

Obtendremos:

\( c^n=\displaystyle\frac{Z_1+Y_1}{Y_1Z_1+Y_2Z_1+Z_2Y_1} \)       (P.5)

\( c^n=\displaystyle\frac{2741+3}{(3)(2741)+(-499)(2741)+(453179)(3)}=14^3 \)       (P.5) '

¿Por qué ocurre esto, hicimos mal las transformaciones algebraicas?.¿O se trata mas bien de una paradoja?...

¡...Nada de eso...! La expresión (P.5) es el resultado correcto de un razonamiento algebraico. Lo incorrecto fue tratar de encontrar una contradicción al UTF.

Pero, si se reflexiona un poco mejor, en (P.5) las variables \( Z_1 \) y \( Z_2 \) son "totalmente independientes" de los valores que adopten \( Y_1 \) y \( Y_2 \); pues para cada valor de \( (Y_1, Y_2) \) en numerador siempre es posible encontrar otro valor para \( Z_1 \) de manera independiente a como se lo hace en el denominador para \( Z_2 \).

Este es el PRIMER PARADIGMA:

En las trasformaciones algebraicas, en la ecuación diofántica: \( x^n+y^n=z^n \) (x, y, z, minúsculas, ojo) las variables intervinientes tienden a comportarse como si fueran números enteros.

REFLEXIONES FINALES

Spoiler
En el contraejemplo que pusimos, un lector "despierto" puede decir: Un momentito....("wan moment, plis")

los valores \( Z_1 \)  y  \( Z_2 \)  son ambos positivos...¿no deberían ser de signos contrarios? como lo puede exigir la ecuación (P.3)?

Efectivamente, tienen que ser de signos contrarios. Sin embargo, probar que esa condición se tiene que cumplir para todas las combinaciones posibles que puedan darse con las variables \( Y_1 \), \( Y_2 \),\( Z_1 \),\( Z_2 \) es un procedimiento que ya se escapa de las "consideraciones elementales".

Es decir, tendríamos que trabajar en un nivel un grado más superior a la sencillez de intentar buscar contradicciones haciendo transformaciones algebraicas. Pero, este razonamiento es de corte más intuitivo que analítico (aún así, si el lector quiere convencerse por sí mismo, intente probar que \( Z_1 \) y \( Z_2 \) deben ser de signos opuestos, cuando  \( Y_1 \) y \( Y_2 \) lo son...

¿Eso queda para la reflexión personal de cada uno...!
[cerrar]

(En nuestra próxima entrega, no se pierda el pequeño teorema de Fermat)

(Si se detecta algún error, seran corregidas en nuestra próxima entrega)

Fin.


27 Junio, 2014, 07:40 am
Respuesta #15

nataivel

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2.8. EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT (PTF)

Antes que nada, vamos a definir qué se entiende por “sistema completo de restos” y después qué es el “sistema reducido de restos” (pues estas nociones nos ayudaran a comprender mejor la demostración del Pequeño teorema de Fermat)

PRIMERAS CONSIDERACIONES
Spoiler
Si  \( a \) es un número entero cualquiera y lo dividimos por otro número entero \( m \), \(   (m>1)  \) entonces, el resto de la división hade ser “uno y solamente uno” de la siguiente lista:

\( 0, 1, 2, 3, 4, 5,\ldots, m-1 \)      (1)

(Esto el lector lo conoce por experiencia). Por ejemplo, si \( a=50 \) y \( m=17 \),  el resto de la división es \( r=16 \).

Diremos pues que \( a=50 \) pertenece a la CLASE DE NÚMEROS cuyos restos son \( r=16 \), en el módulo “m=17”. Así, otros números compartirán este mismo privilegio de poder generar el resto \( R=16 \). Por ejemplo, \( a=67 \), \( a=101 \) \( a=84 \), etc., pertenecen a la misma CLASE DE NÚMEROS (es decir, todos ellos arrojan un resto \( r=16 \). Arrojan  ese resto porque la fórmula que los genera es:

\( a=16+17\cdot {}M \)    (donde “M” es un número entero cualquiera)

Así pues, habrán tantas “clases de números” como cantidad de restos se puedan obtener al dividir \( a \)  por  \( m \). De acuerdo con (1), habrá  “m” clases de números enteros. O sea, la clase de números que produce resto: 0, la clase de números que produce resto: 1, la clase de números que produce resto: 2, etc.

Y a cada uno de esos restos (o sea, 0, 1, 2, 3, …, m-1) llamaremos RESTOS MÍNIMOS. ¿Por qué mínimos?. Recordemos que, de acuerdo a la definición de congruencia, los restos también pueden ser mayores o iguales que el módulo “m”. Por tanto, si tuviéramos la congruencia:

\( a\equiv 105\pmod {11} \)

El número 105 es resto de “a”. (Nótese que estamos llamando resto a 105, aún cuando 105>11)

En consecuencia, surge la necesidad de definir un RESTO MÍNIMO como aquel que es menor al valor del módulo, (m).

A partir de esas dos ideas (la clasificación de números en clases y el hecho que un resto no necesariamente es un número menor al divisor) surge el concepto de “sistema de restos”. A continuación damos una definición intuitiva:
[cerrar]

Definición intuitiva

Spoiler
Se llama SISTEMA COMPLETO DE RESTOS, MÓDULO \( m \)  a la sucesión de números enteros:

\( b_1, b_2, b_3, b_4, b_5,\ldots, b_m \)

Donde cada  \( b_i \) es un número cualquiera que pertenece a una clase diferente. Por tanto, no puede haber dos \( b_i \) de la misma clase.

Veamos con más claridad con un ejemplo:

Si tomamos el módulo “m=5”, habrán “5 clases (de conjuntos) de números enteros”:

Números Clase 0: …, -10, -5, 0, 5, 10, …

Números Clase 1: …, -9, -4, 1, 6, 11, …

Números Clase 2: …, -8, -3, 2, 7, 12, …

Números Clase 3: …, -7, -2, 3, 8, 13, …

Números Clase 4: …, -6, -1, 4, 9, 14, …

Vemos que estas Clases son una partición de los números enteros (\( \mathbb{Z} \)). Pero, lo más importante es notar que cada Clase representa un “género” diferente de números enteros; es decir, la intersección de dos clases es vacía (\( \emptyset \)). Ahora, escogiendo arbitrariamente un número de cada clase, por ejemplo:

14, 3, 7, 10, -3

Hemos definido así un “sistema completo de restos, módulo 5”.  Así como podemos definir un “sistema completo de restos, módulo 5” con los números: 14, 3, 7, 10, -3; se puede definir otros sistemas completos de infinidad de maneras diferentes. Por tanto, definir un sistema de restos no es único.
[cerrar]

2.8.1. SISTEMA COMPLETO DE RESTOS (Definición formal)

Se llama sistema completo de restos, módulo \( m \) a la sucesión de números enteros:

\( b_1, b_2, b_3, b_4, b_5,\ldots, b_m \)       (2.6)

tales que todo número entero \( A \) es congruente a uno, y solamente uno, de los elementos de la sucesión (anterior).

Por ejemplo,

1) \( 10, 6,12,8,9 \)  es un sistema completo de restos, módulo 5.
(Nótese que 10 es clase:0, 6 es clase:1, 12 es clase: 2, etc.

2) \( 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 \)  es un sistema completo de restos, módulo 11.

NOTA: A la sucesión: \( 0, 1, 2, 3, 4,\ldots, m-1 \)  llamaremos “sistema completo de restos mínimos, módulo \( m \). El ejemplo 2), es un sistema completo de restos mínimos, módulo 11.

Definición intuitiva

Spoiler
Se llama SISTEMA REDUCIDO DE RESTOS, MÓDULO \( m \)  a la sucesión de números enteros:

\( c_1, c_2, c_3, c_4, c_5,\ldots, c_n \)

Sí y solo si, se verifica que:  mcd(c_i, m) = 1 , (i=1,2, 3, …)
[cerrar]

2.8.2. SISTEMA REDUCIDO DE RESTOS (Definición formal)

Se llama sistema reducido de restos, módulo \( m \)  a la sucesión de números enteros:

\( c_1, c_2, c_3, c_4, c_5,\ldots, c_n \)       (2.7)

tales que todo número entero \( A \) coprimo con \( m \), es congruente a uno, y solamente uno, de los elementos de la sucesión (anterior).

Por ejemplo,

1) \( 1, 5, 7, 11 \)  es un sistema reducido de restos, módulo 12.

(Nótese que este sistema reducido puede determinarse suprimiendo todos aquellos números que “no son coprimos” con: 12, cuando se toma como base el sistema completo de restos (mínimos). Por ejemplo, el sistema completo de restos mínimos, módulo 12 es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. De esta lista, los no coprimos con 12 son: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10. Entonces, estos se suprimen y resulta: \( 1, 5, 7, 11 \)  (que es un sistema reducido de restos, módulo 12)

Esta forma de definir un sistema reducido de restos invoca a la definición de la función de Euler.

2.8.3. FUNCIÓN DE EULER

La función "phi" (\( \phi \)) de Euler, llamado a veces “el totiem”, se define para todo número entero positivo \( m \) como la “cantidad” de números de la sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, …, m-1

Tales que son primos a \( m \)

Y se simboliza así:                             
\( \boxed{\phi(m)} \)       (2.8)

(Obsérvese la semejanza con la definición de sistema reducido de restos).

De este modo, podemos responder a la pregunta: ¿Cuántos elementos tiene la sucesión que define el sistema reducido de restos, módulo m?. La respuesta es: Tiene \( \phi(m) \) elementos.

Por ejemplo, ya vimos que: \( 1, 5, 7, 11 \)  es un sistema reducido de restos, módulo 12.
Si contamos los elementos vemos que es igual a 4, ¡ese es el totiem de Euler!. O sea, \( \phi(12) = 4 \)

Es una lástima que no nos detengamos a estudiar detenidamente al totiem de Euler, sin embargo, podremos aplicar este concepto para demostrar el “pequeño teorema de Fermat”.

2.8.4. EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT

El pequeño teorema de Fermat es uno de los resultados más importantes de la teoría de números. Fue conocido por Fermat alrededor de 1636 y demostrado por primera vez por el gran Leonhard Euler en 1736.

Spoiler
Parece que Fermat escribió a Frénicle de Bessy las siguientes palabras:   


“Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno. (...) Y esta proposición es generalmente cierta para todas las progresiones y todos los números primos; le enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga”                (P. de Fermat)         
   (Cita tomada de wikipedia)
[cerrar]

En términos modernos este teorema se enuncia así:
   
2.8.4.1. Teorema

Si \( p  \) es un número primo, entonces, para cada número natural \( a \) coprimo con \( p \) se verifica:

\( \boxed{a^p\equiv 1\pmod {p}} \)        (2.9)
                                                               

Antes de demostrar este  importante resultado, previamente demostraremos dos teoremas:

2.8.4.2.Teorema

Sea  \( mcd(a, m) = 1 \). Sea  \( r_1, r_2, r_3,\ldots, r_{\phi(m)} \), un sistema reducido de restos, módulo m. Entonces, \( ar_1, ar_2, ar_3,\ldots,ar_{\phi(m)} \), es un sistema reducido de restos, módulo m.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
1) Existe la misma cantidad de elementos en \( ar_1, ar_2, ar_3,\ldots,ar_{\phi(m)} \),  que en [/tex]. Sea \( r_1, r_2, r_3,\ldots, r_{\phi(m)} \).

2) Luego, lo único que debemos demostrar es que la sucesión: \( ar_1, ar_2, ar_3,\ldots,ar_{\phi(m)} \) dos de ellos (distintos entre sí) no sean congruentes (con respecto del otro), módulo m.

Sea: x el índice de uno de los elementos elegidos arbitrariamente en la anterior sucesión.
Sea: y el índice de otro elemento, elegido arbitrariamente en la anterior sucesión.

Si no constituye un sistema reducido de restos, entonces, si \( x \ne {}y \) debe verificarse la congruencia: \( ar_x\equiv ar_y\pmod {m} \).

Entonces, por la LEY CANCELATIVA DEL PRODUCTO se tiene:

\( r_x\equiv r_y\pmod {m} \)

Esta congruencia sólo es posible si x=y, porque \( r_x \)  y \( r_y \) son elementos de un sistema reducido de restos, (y tal congruencia no se cumple excepto cuando x=y)
[cerrar]

COMENTARIO: A partir del anterior teorema el lector ya está en la posibilidad de demostrar el “pequeño teorema de Fermat”. Sin embargo, nosotros vamos a demostrar un teorema más general y demostrar el PTF como corolario de este teorema general.

2.8.4.3. TEOREMA (GENERALIZACIÓN DE EULER DEL PTF)

Si \( mcd(a, m) =1 \) , entonces:

\( \boxed{a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod {m}} \)        (2.10)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Como ya fue demostrado, \( r_1, r_2, r_3,\ldots, r_{\phi(m)} \) y \( ar_1, ar_2, ar_3,\ldots,ar_{\phi(m)} \), constituyen (ambos) dos sistemas reducidos de restos, módulo m.

Por constituir dos sistemas reducidos de restos, cada \( r_x \) (del primer sistema) será congruente solamente con uno y solo un \( ar_y \) (del segundo sistema). Por tanto, habrán \( \phi(m) \) congruencias de la forma:
\( r_x\equiv ar_y\pmod {m} \)

Así pues, podemos multiplicar miembro a miembro (todas las \( \phi(m) \) congruencias) en virtud de la LEY DE MULTIPLICATIVIDAD MIEMBRO A MIEMBRO (véase leyes del algebra de congruencias). Asi, obtendremos que: el producto de los elementos del primer es congruente con el producto del segundo sistema, o sea:

\( (r_1)( r_2)( r_3)\ldots(r_{\phi(m)})\equiv (ar_1)(ar_2)( ar_3)\ldots(ar_{\phi(m)})\pmod {m} \),

En el segundo miembro de la congruencia podemos factorizar convenientemente todas las “\( a \)” y resultará

\( (r_1)( r_2)( r_3)\ldots(r_{\phi(m)})\equiv a^{\phi(m)}(r_1)(r_2)( r_3)\ldots(r_{\phi(m)})\pmod {m} \),

Y por ser todas y cada una de las \( r_1,  r_2,  r_3,\ldots,r_{\phi(m)} \), coprimos con \( m \), podemos aplicar LEY CANCELATIVA DEL PRODUCTO, resultando,

\( 1\equiv a^{\phi(m)}\pmod {m} \),

Y aplicando la LEY SIMÉTRICA, se tiene finalmente,

\( a^{\phi(m)}\equiv 1\ pmod {m} \),

Como se buscaba demostrar.
[cerrar]

DEMOSTRACIÓN DEL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT

COROLARIO (DE LA GENERALIZACIÓN DE EULER): Si \( m=p \), entonces, se verifica el PTF.

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
En efecto,

Si \( m=p \), se tiene (por el teorema 2.8.4.3. ya demostrado):

\( a^{\phi(p)}\equiv 1\pmod {p} \),     (1)

Ahora, basta demostrar que \( \phi(p)=p-1 \),

En la sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, 5, …., p-1

El único elemento que no es coprimo con “p” es el cero:0. Luego, la sucesión: 1, 2, 3, …, p-1 es un sistema reducido de restos, módulo “p” y como se ve, este sistema tiene exactamente \( \phi(p)=p-1 \), elementos (porque hemos excluido al cero).

Reemplazando este resultado en (1), se demuestra el PTF,

\( a^{p-1}\equiv 1\pmod {p} \)

Esto demuestra el PTF.
[cerrar]



01 Julio, 2014, 08:23 am
Respuesta #16

nataivel

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Entre las aplicaciones que se puede dar al pequeño teorema de Fermat (PTF) están las relacionadas con la criptografía y que se vinculan con los famosos “test de primalidad”. Sin embargo, para el PTF,  o de forma más general el teorema de Euler (véase entrega anterior), también puede encontrarse otro tipo de aplicación; específicamente, para resolver algunas congruencias binomiales de la forma:

\( x^a\equiv b\pmod {m} \)       (2.11)

Donde,  \( a \) y \( b \) son números enteros positivos dados y \( x \) se llama incógnita.

Antes de dar el método para resolver esta ecuación de congruencias, previamente demostraremos el siguiente teorema:

TEOREMA: Dada una congruencia en la forma: \( A\equiv B\pmod {m} \), se puede elevar ambos miembros de la congruencia a una potencia positiva  “n>1”.

DEMOSTRACIÓN:
Spoiler
Sean, \( A\equiv B\pmod {m} \)  (1), \( A\equiv B\pmod {m} \)  (2).

Por la LEY DE MULTIPLICACIÓN MIEMBRO A MIEMBRO (véase leyes del algebra de congruencias), multipliquemos ambos miembros de ambas congruencias, para obtener:

\( A\cdot {A}\equiv B\cdot {B}\pmod {m} \)       o también:     \( A^2\equiv B^2\pmod {m} \)      (3)

Repitiendo el proceso con (1) y (3), tenemos,

\( A^3\equiv B^3\pmod {m} \)      (3)

Entonces, por inducción,

Supongamos que se verifica para el exponente “k”:

\( A^k\equiv B^k\pmod {m} \)      (4)

Multiplicando miembro a miembro (por la ley citada) las ecuaciones (1) y (4), tenemos:

\( A^{k+1}\equiv B^{k+1}\pmod {m} \)      (5)

Lo cual demuestra y justifica que se puede elevar una congruencia dada a la n-ésima potencia (n>1)
[cerrar]



Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación binomial de quinto grado,

\( x^5\equiv 94\pmod {103} \)            (1)

NOTA: Aunque este método es excelente (para resolver este tipo de ecuaciones de congruencias), no se puede aplicar a todos los casos posibles. Desafiamos al lector a averiguar a partir del siguiente ejemplo por qué ocurre eso).

SOLUCIÓN

Recordemos que el PTF dice:

\( x^{103-1}\equiv 1\pmod {103} \)     o mejor (pos SIMETRÍA)      \( 1\equiv x^{102}\pmod {103} \)               (2)

1) Relacionemos los exponentes de (1) y de (2), o sea, 102 y 5,  para hallar su m.c.d. Dado que el lector ya sabe cómo hacer eso, a continuación escribimos directamente en forma de combinación lineal (Bézout). O sea:

\( (-2)\cdot {102}+(41)\cdot {5}=1 \)                     (3)   

Despejando convenientemente:

 \(  (41)\cdot {5}=(2)\cdot {102}+ 1 \)                     (3) ’

2) Ahora teniendo en cuenta (3) ‘; por el teorema anterior, elevamos ambos miembros de la congruencia (1) a: \( n=41 \). O sea,

\( (x^5)^{41}\equiv 94^{41}\pmod {103} \)            (1) ’

Dado que:  \( (x^5)^{41}= x^{(2)\cdot {102}+ 1}= x^{(2)\cdot {102}}x  \)  . Entonces,         

\(  x^{(2)\cdot {102}}x \equiv 94^{41}\pmod {103} \)            (1) ’’

Análogamente, elevamos ambos miembros de la congruencia (2) a \( n=2 \). O sea,

\(  1\equiv (x^{102})^2\pmod {103} \)               (2) ’

3) Multiplicando miembro a miembro las ecuaciones  (1) ’’  y    (2) ’, resulta,

\(  x^{(2)\cdot {102}}x \equiv 94^{41}(x^{102})^2\pmod {103} \) 

Por la “ley cancelativa del producto” nos deshacemos de: \(  (x^{102})^2  \) , resultando,   
 
\(  x \equiv 94^{41}\pmod {103} \)        (4)

(4) prácticamente es la solución de la ecuación binomial de quinto grado. Sin embargo, podemos simplificar el segundo miembro para que el resto sea menor que el módulo. O sea,

Spoiler
Tengamos en cuenta que:

\(  41=2^5+2^8+1=32+8+1  \)   
 
Entonces procedemos a elevar al cuadrado, y el resultado volvemos a elevar al cuadrado, y así sucesivamente. Tenemos:

Primera potenciación: \(  94^2\equiv 81\pmod {103} \) 

Segunda potenciación: \(  94^4\equiv 81^2\equiv 72\pmod {103} \) 

Tercera potenciación: \(  94^8\equiv 72^2\equiv 34\pmod {103} \) 

Cuarta potenciación: \(  94^{16}\equiv 34^2\equiv 23\pmod {103} \) 

Quinta potenciación: \(  94^{32}\equiv 23^2\equiv 14\pmod {103} \) 

Los restos que nos interesan son de la quinta y de la tercera potenciación. Entonces, tenemos:

\(  94^{41} \equiv 94^{32}\cdot{}94^8\cdot{94}\pmod {103} \)   
   
\(  94^{41} \equiv (14)\cdot{}(34)\cdot{94}\equiv 42\pmod {103} \)   
 
De donde  finalmente,

[cerrar]
\(  x \equiv 42\pmod {103} \)        (5)

Lo cual se puede verificar reemplazando este resultado en la ecuación original (1). O sea,

\( 42^5\equiv 94\pmod {103} \)               (que es cierto)

ACLARACIÓN: Para resolver este ejercicio, hemos justificado cada paso teniendo en cuenta las leyes del algebra de congruencias. Sin embargo, una vez que ya somos conscientes de la veracidad de dichas leyes, el lector podrá agilizar la resolución de ejercicios similares sin tanta justificación (así como cuando se resuelve una ecuación ordinaria de algebra, no hay que justificar cada vez las leyes que están involucradas. Por eso, en adelante vamos a efectuar la resolución de congruencias con la mayor brevedad posible.

EJERCICIO PARA EL LECTOR

Empleando el método descrito en los anteriores párrafos, resolver:

\(  x^{341} \equiv 127\pmod {893} \)   


Sugerencia: 893 no es primo, entonces, emplee el teorema de Euler, en lugar del PTF.

Spoiler
Ayuda:     \( \phi (893)=\phi(19)\cdot {\phi (47)}=18\cdot {46}=828 \) 
 
Respuesta: \(  x \equiv 630\pmod {893} \)
[cerrar]
 

2.8.5. ORDEN (DE UN NÚMERO) CON RESPECTO DEL MÓDULO

Consideremos la siguiente congruencia:

\(  3^x\equiv u\pmod {11} \)          donde     \( 0\leq{}u<11  \)

A medida que damos valores a “x” de la siguiente sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, …

“u” adquiere los siguientes valores

1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1, …

Esto se puede apreciar mejor en la siguiente gráfica:



Podemos observar que en la segunda sucesión están ausentes los valores: 2, 6, 7, 8, 10. Esto reduce la “amplitud del periodo (fundamental)  de la congruencia”. Su valor ya no es como habíamos visto en ocasiones anteriores igual al módulo (recuérdese la LEY PERIODICA). En este caso particular, la amplitud del periodo (fundamental) es igual a \( T_0=5 \). 

O sea, los valores de la ordenada "u" (en la gráfica) se repiten cada vez que la abscisa “x” se ha recorrido en 5 unidades hacia la derecha. Este valor (o amplitud del periodo fundamental de la congruencia) se llama también “orden de 3 con respecto del módulo 11” (donde 3 es el valor de la base de la función exponencial). Vamos a definir esta idea con mejor precisión.

Definición (orden de “a” con respecto del módulo “m”)

Se llama orden de \( a \) con respecto del módulo \( m \) al entero positivo más pequeño \( d \) tal que se verifique la congruencia:

\( a^d\equiv 1\pmod {m} \)       (2.12)

Obsérvese la similitud con el PTF (o con el teorema de Euler). Entonces, se requiere que,

\( 1\leq{}d\leq{}\phi (m) \).

Este valor lo denotaremos del siguiente modo:

\( d=Ord_m(a) \).


que se lee: "d es igual al orden de a, módulo m"

TEOREMA

Sean \( a \) y \( m \) dos enteros positivos tales que, \( mcd(a,m)=1 \). Sea, \( d=Ord_m(a) \).  Entonces, \( a^k\equiv a^l\pmod {m} \), sí y solo sí, \( k\equiv l\pmod {d} \). En particular, \( a^n\equiv 1\pmod {m} \), si y solo si, \( d \) divide a \( n \); y además, \( d \) divide a \( \phi (m) \).

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
PRIMERA PARTE: \( a^k\equiv a^l\pmod {m} \), sí y solo sí, \( k\equiv l\pmod {d} \)

1) Sea \( a \)  de orden  \( d \), módulo  \( m \).  Además, sean  \( a \)    y    \( m \),   coprimos entre sí.  Supongamos además, que tenemos la congruencia: \( k\equiv l\pmod {d} \), luego, por definición:

 \( k=l+d\cdot {M} \) (M  es algún número entero).     (1)

Por otro lado, siempre es posible,  \( a^k\equiv a^k\pmod {m} \)           (reflexividad)      (2)

Podemos reemplazar (1) en (2), para obtener:

\( a^k\equiv a^{ l+d\cdot {M}}\pmod {m} \)   

Expresando esto en forma más conveniente,

 \( \displaystyle{a^k\equiv a^l(a^d)^M\pmod {m}} \)        (3)

Por ser “a” de orden “d”, módulo “m”, tenemos,

 \( a^d\equiv 1\pmod {m} \)

Elevemos a la potencia “M”,

\( \displaystyle{(a^d)^M\equiv 1\pmod {m}} \)                    (4)

Se puede multiplicar (3) y (4) miembro a miembro, para obtener,

\( \displaystyle{(a^k)( a^d)^M\equiv a^l(a^d)^M\pmod {m}} \)   
 
Además, dado que: \( mcd(a, m)=1 \)  en ambos miembros se cancela la expresión: \( \displaystyle{( a^d)^M } \) ,
\( \displaystyle{a^k\equiv a^l\pmod {m}} \)       
   
Lo cual prueba que: \( k\equiv l\pmod {d} \)  implica  \( \displaystyle{a^k\equiv a^l\pmod {m}} \) 
       
2) Recíprocamente, sea

\( \displaystyle{a^k\equiv a^l\pmod {m}} \)          (5)

Sin perder generalidad, podemos suponer que \( k\geq{}l \) , entonces, por el algoritmo de la división (tomando “d” como divisor),

\( k-l=d\cdot {q}+r \)        y donde      \( 0\leq{}r<=d-1 \)          (6)   
   
Podemos reemplazar (6) en (2),

 \( a^k\equiv a^{ l+d\cdot {q}+r}\pmod {m} \) 
 
Que se puede, escribir en esta otra forma:

\( \displaystyle{a^k\equiv a^l(a^d)^qa^r\pmod {m}} \)        (7)

Por ser “a” de orden “d”, módulo “m”, tenemos,

\( a^d\equiv 1\pmod {m} \)

Elevemos a la potencia “q”,

\( \displaystyle{(a^d)^q\equiv 1\pmod {m}} \)                    (8)

Luego de multiplicar (7) y (8), miembro a miembro, podremos cancelar la expresión: \( \displaystyle{( a^d)^q}  \) . Además, por la condición inicial (5), y teniendo en cuenta que “a” y “m” son coprimos entre sí, se podrá cancelar: \( a^k  \) con \( a^l  \), de donde resultará finalmente,

\( 1\equiv a^r\pmod {m} \)     

Pero, habíamos dicho que “a” es de orden “d”, módulo “m”. Luego, por (6), sólo queda una posibilidad. Que sea,

\( r=0 \) 
   
De donde inmediatamente, por definición de congruencia, (6) nos dice que:

       \( k\equiv l\pmod {d} \)     

Lo cual demuestra que:   \( \displaystyle{a^k\equiv a^l\pmod {m}} \)   implica   \( k\equiv l\pmod {d} \)     

De donde, el teorema es cierto (en su primera parte).

SEGUNDA PARTE:       
       
 \( a^n\equiv 1\pmod {m} \), si y solo si, \( d \) divide a \( n \); y además, \( d \) divide a \( \phi (m) \).

3) En efecto, dado que “a” es de orden “d”, módulo “m”; sólo puede darse que n=d o que n>d. Si n=d (no hay nada que probar). Si n>d, entonces por la PRIMERA PARTE, tendríamos: \( \displaystyle\a^n\equiv a^d\equiv 1\pmod {m} \)   si y solo si   \( n\equiv d\pmod {d} \) ; de donde,   \( n\equiv 0\pmod {d} \) que nos dice que “d” es divisor de “n”.

4) Por el teorema de Euler  \( a^{\phi(m)}\equiv a^d\equiv 1\pmod {d} \). Entonces, por el anterior inciso (3), “d” es divisor de  \( \phi (m) \).

Los cuales completan la demostración del teorema dado.
[cerrar]

2.8.6. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE CONGRUENCIAS

En base a los conceptos recien enunciados, se puede resolver una ecuación lineal de congruencias conociendo el ORDEN DE UN NUMERO, MÓDULO M. O en general, conociendo la FUNCIÓN PHI DE EULER.

Supongamos que buscamos resolver la ecuación:

\( ax\equiv b\pmod {m} \)

siendo \( mcd(a,m)=1 \). entonces, existe única solución.

Supongamos que "a" es de orden "d", módulo "m". O sea, \( d=Ord_m(a) \), entonces,

\( a^d\equiv 1\pmod{m} \)   o también,  \( 1\equiv a^d\pmod{m} \)

Multiplicando con la ecuación original, resulta,

\( ax\equiv b\cdot {a^d}\pmod {m} \)

Como a y m son coprimos entre sí y como \( d\geq{1} \), se puede dividir miembro a miembro por "a", resultando,


\( x\equiv b\cdot {a^{d-1}}\pmod {m} \)

Con lo que hemos enconcontrado la solución general de la ecuación de congruencias.

NOTA: A veces, no es fácil conocer el valor \( d=Ord_m(a) \), por eso, en su lugar podemos emplear la función totient de Euler..



Con esto concluimos este breve recorrido a la teoria elemental de números. En el futuro, sólo nos queda analizar los simbolos de Legendre y de Jacobi junto con la ley de reciprocidad cuadrática.

En posteriores entregas realizaremos una introducción al algebra lineal, con principal énfasis en el cálculo matricial.


(continuará)

22 Julio, 2014, 05:09 pm
Respuesta #17

nataivel

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2.9. LIBROS CONSULTADOS POR EL AUTOR

Los siguientes libros han sido consultados por el autor. También pueden servir para que el lector pueda complementar sus conocimientos, con información sobre "teoría elemental de números" en forma de conceptos y ejercicios. El resto de los libros tienen información histórica.



[Bell, ?] Bell, Eric T. Los grandes matemáticos. (Texto descargado de: www.librosmaravillosos.com)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 4 (Pierre de Fermat), Capítulo 14 (Gauss, el príncipe de la matemática)
[cerrar]

[Gauss, 1798?] Gauss, Carl. Disquisitiones Arithmeticae.

Págs. Consultadas:
Spoiler
Sección1 (Congruencias en general), Sección 2 (Congruencias de primer grado), Sección 3 (Residuos de las potencias)
[cerrar]

[Gentile 1, 1985] Gentile, Enzo R. Aritmética elemental. O.E.A. Washington D.C. (1985)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 4 (máximo común divisor), Capítulo 5 (mínimo común múltiplo), Capítulo 6 (Teorema Fundamental de la Aritmética), Capítulos 11, 12 (sobre congruencias), Capítulo 14 (sobre el pequeño teorema de Fermat, PTF)
[cerrar]

[Iborra 1, ?]Iborra Castillo, Carlos. Algebra. España.(e-book).

Págs. Consultadas
Spoiler
(Capítulo 6): 65-67 (sobre ternas pitagóricas), 80-83 (sobre el último teorema de Fermat)
[cerrar]

[Iborra 2, ?]Iborra Castillo, Carlos. Teoría de números. España (e-book)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 1 (sobre una introducción a la teoría de números)
[cerrar]

[Kúrosch, 1976] Kúrosch, A.G. Ecuaciones algebraicas de grados arbitrarios. Moscú. Editorial Mir. 1983

Págs. Consultadas:
Spoiler
22-24 (sobre la resolución de ecuaciones bajo radicales y la existencia de raíces de las ecuaciones)
[cerrar]

[Nathanson, 1999] Nathanson, Melvyn. Elementary Methods in Number Theory. USA. Springer-Verlag. 2000.

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 1 (sobre la divisibilidad y los números primos), Capítulo 2 (sobre las congruencias en general)
[cerrar]

[Niven-Zuckerman, 1969] Niven, I. Zuckerman, H. Introducción a la Teoría de los Números. México, Limusa Wiley S.A 1976 (digitalizado)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 1 (divisibilidad), Capítulo 2 (congruencias)
[cerrar]

[A.V.(Rubiano), 2000] R. Jimenez, E. Gordillo, G. Rubiano. Teoría de Números (para principiantes). Universidad Nacional de Colombia. 2004 (e-book)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 2 (sobre el m.c.d. y el algoritmo de Euclides), 114-117 (sobre los teoremas de Fermat y Euler)
[cerrar]
[Singh, 1998] Singh, Simon. El enigma de Fermat. Barcelona. Ed. Planeta. (1998)

Pág. Consultadas: 23-55 (sobre el teorema de Pitágoras), 74-80 (sobre la raíz cuadrada de 2 y la arithmética de Diofanto)

[Vinogradov, 1977] Vinogradov, Ivan. Fundamentos de la teoría de los números. Moscú. Ed. Mir. Volumen 1. (1977)

Págs. Consultadas:
Spoiler
Capítulo 1 (sobre la teoría de la divisibilidad), Cap. 2: 37-39 (función de Euler), Capítulo 3 (sobre las propiedades relacionadas con las “leyes del algebra de congruencias”), Capítulo 4 (sobre resolución de congruencias mediante fracciones continuadas)
[cerrar]

2.9.1.WEB-GRAFÍA (Sitios y páginas web consultados)

http://scienceworld.wolfram.com/ (Sitio web sobre temas científicos, en inglés)

Secciones consultadas:
Spoiler
Biografía de Diofanto, Ecuaciones diofánticas, Último teorema de Fermat, Ternas pitagóricas
http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia (Sitio web sobre temas diversos expuestos de forma enciclopédica, en español)
[cerrar]

www.librosmaravillosos.com (Sitio web que contiene libros interesantes de lectura accesible a todo público, para leer o descargar)

Secciones consultadas:
Spoiler
Biografía de Diofanto, Biografía de Ramanujan, El pequeño teorema de Fermat
[cerrar]

2.9.2. OTRAS CONSULTAS

Tema: Algoritmo extendido de Euclides (por el_manco)

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26742.0

Tema: Ecuación diofántica lineal: ax+by=c (por el_manco)

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

Tema: Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad (por argentinator)

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=34174.0


LIBROS RECOMENDADOS POR EL AUTOR ACERCA DE LOS TEMAS TRATADOS

Nivel Recreativo: [Bell, ?] (Los grandes matemáticos), [Singh, 1998]

Nivel básico: [Gentile 1, 1985], [Vinogradov, 1977]

Nivel Intermedio: [A.V.(Rubiano), 2000]

Buen Nivel: [Nathanson, 1999]

Nivel Avanzado:

22 Julio, 2014, 05:57 pm
Respuesta #18

nataivel

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2.10. INTRODUCCIÓN A LA TEORIA MATRICIAL

Sea \( \mathbb{K} \) un cuerpo cualquiera. Y si además llamamos ESCALARES a los elementos de \( \mathbb{K} \)  . Entonces, podemos definir la noción de matriz.

2.10.1. Definición (matriz)

Se llama matriz, de orden \( mxn \) (léase: “eme por ene”), definido sobre el cuerpo \( \mathbb{K} \); al conjunto de los “\( mn \)” elementos de \( \mathbb{K} \) dispuestos en “m” filas y “n” columnas.

Usaremos letras mayúsculas y los signos de agrupación (…) ó […], para  simbolizar una matriz; por ejemplo, la matriz genérica A,

\( A=\begin{bmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\cdots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\cdots}&{a_2_n}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\cdots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{a_m_1}&{a_m_2}&{a_m_3}&{\cdots}&{a_m_n}\end{bmatrix} \)       (2.13)
       

EJEMPLOS: Como el sistema de números reales (\( \mathbb{R} \)) es un cuerpo, entonces, las siguientes son matrices:

\( A=\begin{pmatrix} 5 & {\pi} \\ {\sqrt{2}} & {\displaystyle\-\frac {3}{4}} \end{pmatrix} \)           \(  B=\begin{bmatrix}{\sen\displaystyle\frac {\pi}{3}}&{ \cos\displaystyle\frac {\pi}{3}}&{1}\\{1}&{2}&{3}\end{bmatrix} \)   

EJEMPLO: Como el sistema de números complejos (\( \mathbb{C} \)) es un cuerpo, entonces, la siguiente es una matriz:
   
 \( C= \begin{bmatrix}{3+2i}&{5i}&{-3+7i}\\{-5i}&{2}&{i}\\{-3-7i}&{-i}&{3}\end{bmatrix} \)   

2.10.1.1. Filas, columnas y elementos de una matriz

1) Sea \( i \) (“i”) el índice que nos muestra la FILA donde se encuentra un elemento específico, en la matriz.

2) Sea \( j \) (“jota”) el índice que nos muestra la COLUMNA donde se encuentra un elemento específico, en la matriz.

3) Entonces, diremos que: \( a_i_j \) es el ELEMENTO DE LA MATRIZ que se encuentra en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Escrito en la forma: \( a_i_j \) se llama un “elemento genérico” de la matriz A.

Teniendo en cuenta el elemento genérico, una matriz A también se puede escribir:

\( A=(a_i_j) \)       (2.14)


2.10.1.2. Tamaño de una matriz


El término “tamaño” de una matriz hace referencia al número de filas (m) y el número de columnas (n) de una matriz. Aunque intuitivamente es correcta esta noción (de tamaño de una matriz), es preferible hablar de “orden de una matriz” en lugar de tamaño.

Así, en adelante se dirá, por ej.: Matriz de orden 2x3 (“dos por tres”) para referirnos a una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas, etc.

A veces, usaremos la siguiente notación: \( A_m_x_n \)  que se lee: “matriz de orden mxn.

2.10.1.3. Igualdad de matrices

Dos matrices A y B, se dicen iguales únicamente si ambas tienen el mismo orden y sus correspondientes elementos genéricos son iguales entre sí. O sea, si \( a_i_j=b_i_j \)   

 
PROBLEMA:
Determine los valores de x, y, z para que las matrices A y B sean iguales.

\( A=\begin{bmatrix}{x^2+1}&{2y}\\{3}&{x+y}\\{7}&{z-3}\end{bmatrix} \) \( B=\begin{bmatrix}{-x^2+3}&{6}\\{3}&{2}\\{7}&{x+y}\end{bmatrix} \)

SOLUCIÓN:
Spoiler
En la primera fila, primera columna igualamos: \(  x^2+1=-x^2+3 \)
De donde x=1 ó x=-1.

En la primera fila, segunda columna igualamos: \( 2y=6 \). De donde, y=3.

En la segunda fila, primera columna igualamos: \(  3=3 \) (ya está igualado)

En la segunda fila, segunda columna igualamos: \(  x+y=2 \). Pero y=3, de donde, x=-1.

En la tercera fila, primera columna igualamos: \( 7=7 \) (ya está igualado)

En la tercera fila, segunda columna igualamos: \( z-3=x+y \). Pero, y=3, x=-1, de donde: z=5.

En resumen: x=-1, y=3, z=5. Con estos valores obtenemos las matrices A y B,

\( A=\begin{bmatrix}{2}&{6}\\{3}&{2}\\{7}&{2}\end{bmatrix} \) \( B=\begin{bmatrix}{2}&{6}\\{3}&{2}\\{7}&{2}\end{bmatrix} \)

O sea, A=B (como se buscaba).
[cerrar]

2.9.1.4. Suma de matrices

2.9.1.4.1. Definición

Dadas dos matrices del mismo orden: \( A_m_x_n=(a_i_j) \)  y \( B_m_x_n=(b_i_j) \) . Entonces, la suma de ambas matrices es otra matriz C (del mismo orden). O sea,

\( C_m_x_n=A_m_x_n + B_m_x_n  \)  o más brevemente, \( C=A + B \) 

Tal que:  \( C_m_x_n=( a_i_j + b_i_j) \)

EJEMPLO: 

\( \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\{e}&{f}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{u}&{v}\\{w}&{x}\\{y}&{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{a+u}&{b+v}\\{c+w}&{d+x}\\{e+y}&{f+z}\end{bmatrix} \)

PROBLEMA: Halar C=A+B, donde,

\( A_3_x_3=(a_i_j) \)   tal que:  \( a_i_j= \left \{ \begin{matrix} i & \mbox{si }i \le j
\\ j & \mbox{si } i>j\end{matrix}\right  \) 

\( B_3_x_3=(b_i_j) \)   tal que:  \( b_i_j= \left \{ \begin{matrix} i+j & \mbox{si }i \le j
\\ i-j & \mbox{si } i>j\end{matrix}\right  \) 

SOLUCIÓN

Spoiler
Primero, debemos interpretar los terminos genéricos (en ambas matrices),

Matriz A: Primera fila, primera columna (i=1, j=1, son iguales i=j. Luego, el elemento \( a_1_1=1 \)

Primera fila, segunda columna (i=1, j=2, es i<j. Luego, el elemento \( a_1_2=1 \)

Primera fila, tercera columna (i=1, j=3, es i<j. Luego, el elemento \( a_1_3=1 \)

Segunda fila, primera columna (i=2, j=1, es i>j. Luego, el elemento \( a_2_1=1 \)

Segunda fila, segunda columna (i=2, j=2, es i=j. Luego, el elemento \( a_2_2=2 \)

Segunda fila, tercera columna (i=2, j=3, es i<j. Luego, el elemento \( a_2_3=2 \)

Tercera fila, primera columna (i=3, j=1, es i>j. Luego, el elemento \( a_3_1=1 \)

Tercera fila, segunda columna (i=3, j=2, es i>j. Luego, el elemento \( a_2_1=2 \)

Tercera fila, tercera columna (i=3, j=3, es i=j. Luego, el elemento \( a_3_3=3 \)

Luego, la matriz buscada es: \( A=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{2}&{2}\\{1}&{2}&{3}\end{bmatrix} \)

Matriz B: Primera fila, primera columna (i=1, j=1, son iguales i=j. Luego, por suma de indices se obtiene el elemento:
\( a_1_1=2 \)

Primera fila, segunda columna (i=1, j=2, es i<j. Luego, suma de indices: \( a_1_2=3 \)

Primera fila, tercera columna (i=1, j=3, es i<j. Luego, suma de indices: \( a_1_3=4 \)

Segunda fila, primera columna (i=2, j=1, es i>j. Luego, resta de índices \( a_2_1=1 \)

Segunda fila, segunda columna (i=2, j=2, es i=j. Luego, suma de indices:  \( a_2_2=4 \)

Segunda fila, tercera columna (i=2, j=3, es i<j. Luego, suma de indices:  \( a_2_3=5 \)

Tercera fila, primera columna (i=3, j=1, es i>j. Luego, resta de indices: \( a_3_1=2 \)

Tercera fila, segunda columna (i=3, j=2, es i>j. Luego, resta de indices: \( a_2_1=1 \)

Tercera fila, tercera columna (i=3, j=3, es i=j. Luego, suma de indices:  \( a_3_3=6 \)

Luego, la matriz buscada es: \( B=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{4}\\{1}&{4}&{5}\\{2}&{1}&{6}\end{bmatrix} \)
Finalmente, la suma matricial es:

\( \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{2}&{2}\\{1}&{2}&{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{2}&{3}&{4}\\{1}&{4}&{5}\\{2}&{1}&{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{4}&{5}\\{2}&{6}&{7}\\{3}&{3}&{9}\end{bmatrix}  \)

NOTA: Debemos recordar que el índice “i” representa siempre a las filas y el índice “j” representa a las columnas. Es muy importante tener en cuenta esto ya que muchos alumnos suelen confundir estos índices (de donde los resultados son nefastos).
[cerrar]

2.10.1.4. Producto de una matriz por un escalar

2.10.1.4.1. Definición

El producto de una matriz \( A=( a_i_j)  \)  por un escalar “k” es otra matriz cuyos elementos son iguales a: \( k\cdot {}a_i_j \) . Esta nueva matriz se denota por:   \( k\cdot {}A=A\cdot {}k \)   
 
EJEMPLO:

\( k\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\{e}&{f}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ka}&{kb}\\{kc}&{kd}\\{ke}&{kf}\end{bmatrix} \)

Con base en la definición anterior, podemos definir la MATRIZ OPUESTA de A, como: \( -A=-1( a_i_j)=(- a_i_j) \); con lo cuál estamos preparados para hablar de “sustracción de matrices” como un caso especial de la adición (matricial).

Hasta ahora, hemos considerado matrices con elementos “no nulos”. Una matriz donde todos sus elementos son nulos (o sea, iguales a cero) se llama MATRIZ CERO. Por ejemplo, la matriz cero de orden 3x2 tiene la forma:

\(  0_3_x_2=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

NOTA:
Cuando se sobreentiende de qué orden se trata, no es necesario utilizar los subíndices (salvo que pueda generarse alguna ambigüedad).

2.10.1.5. TEOREMA:
 
Sea \(  \mathbb{K}^{mxn} \) el conjunto de todas las matrices de orden mxn, sobre el cuerpo \(  \mathbb{K} \).  Sean \( A,B,C\in{}\mathbb{K}^{mxn} \) tres matrices arbitrarias y sean \(  k_1,k_2\in{}\mathbb{K} \) dos escalares. Entonces,

P.1. Propiedad asociativa

\(  (A+B)+C= A+(B+C) \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
\(  A+B= (a_i_j)+(b_i_j)=(a_i_j+b_i_j) \), entonces, \(  (A+B)+C= (a_i_j+b_i_j)+(c_i_j)=( a_i_j+b_i_j+c_i_j) \)      (1)

De otro lado,

\(  B+C= (b_i_j)+(c_i_j)=(b_i_j+c_i_j) \), entonces, \(  A+(B+C)= (a_i_j)+(b_i_j+c_i_j)=( a_i_j+b_i_j+c_i_j) \)      (2)

Despues de igualar (1) y (2) se concluye,

\(  (A+B)+C= A+(B+C) \)
[cerrar]

Se deja al lector demostrar las restantes propiedades,

P.2. Elemento neutro aditivo

\(  A+0= A \)

P.3. Opuesto aditivo

\(  A+(-A)= 0 \)

P.4. Propiedad conmutativa

\(  A+B= B+A \)

P.5. Propiedad distributiva (respecto de un escalar)

\(  k_1(A+B) = k_1A+k_1B \)

P.6. Propiedad distributiva (respecto de una matriz)

\(  (k_1+k_2)A = k_1A+k_2A \)

P.7. Asociatividad en el producto por escalares

\(  (k_1k_2)A = k_1(k_2A) \)

P.8 El escalar: 1, y el escalar: 0 en el producto por una matriz

\(  1\cdot {} A= A \)         \(  0\cdot {} A= 0_m_x_n \)
 
2.10.1.6. Transpuesta de una matriz

Dada una matriz \( A\in{\mathbb{K}}^{mxn} \), su transpuesta es otra matriz \( B\in{\mathbb{K}}^{nxm} \), tal que, \( b_i_j=a_j_i \). Y se escribe: \( B=A^t \).

Observesé que la matriz \( A \) y su transpuesta \( A^t \), pertenecen a diferentes conjuntos de matrices. Por ejemplo,

\(  A=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}\\{x}&{y}&{z}}\end{bmatrix}  \)   entonces, su transpuesta será  \(  \begin{bmatrix}{a}&{x}\\{b}&{y}\\{c}&{z}\end{bmatrix}  \)

Insinuamos al lector que demuestre las siguientes propiedadades:

1) \( (A+B)^t=A^t+B^t \)

2) \( (kA)^t=kA^t \)

2.10.1.7. Producto de dos matrices

Primero definimos el producto de una matriz fila (orden 1xn) por otra matriz columna (orden nx1), que es igual a la suma de los productos de sus elementos correspondientes. O sea,

\( \begin{bmatrix}{a_1}&{a_2}&{a_3}&{\ldots}&{a_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\\{b_3}\\{\vdots}\\{b_n}\end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n  \)

O abreviando la notación (de la suma de productos),

\( \begin{bmatrix}{a_1}&{a_2}&{a_3}&{\ldots}&{a_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{b_1}\\{b_2}\\{b_3}\\{\vdots}\\{b_n}\end{bmatrix}=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kb_k} \)       (2.15)

OBSERVACIÓN: Con el producto de dos matrices (matriz fila y matriz columna) hemos obtenido un número, es decir, un escalar. Por eso, a veces, el anterior producto se llama también producto escalar.

Ahora, ya podemos generalizar la definición del producto de dos matrices, que como podemos ver se trata de obtener los productos escalares de la i-esima fila (de la primera matriz A) con respecto a la j-ésima columna de la (segunda matriz B) para obtener el elemento \( c_i_j \) de la matriz resultante C.

O sea,

\( C=AB \) tal que  \( C=(c_i_j)=( }\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_j}) \)       (2.16)

Para que esta fórmula tenga total validez es necesario observar que la PRE-MATRIZ: A, hade contener tantas COLUMNAS ("P columnas") como FILAS ("p filas") tenga la POST-MATRIZ: B. Asi, la pre-matriz A es de orden mxp; y la post-matriz B es de orden pxn. De donde, la matriz resultante C será de orden mxn.

PROBLEMA: Construya una matriz C de orden 3x3, obtenida del producto de dos matrices, tales que la post-matriz es la transpuesta de la pre-matriz A (\( A_{3x2}=(i^3-j^3) \))

SOLUCIÓN:
Spoiler
Primero construimos la matriz A

Primera fila, primera columna: \( a_1_1=1^3-1^3=0 \)

Primera fila, segunda columna: \( a_1_2=1^3-2^3=-7 \)

Segunda fila, primera columna: \( a_2_1=2^3-1^3=7 \)

Segunda fila, segunda columna: \( a_2_2=2^3-2^3=0 \)

Tercera fila, primera columna: \( a_3_1=3^3-1^3=26 \)

Tercera fila, segunda columna: \( a_3_2=3^3-2^3=19 \)

Resulta: \(  A=\begin{bmatrix}{0}&{-7}\\{7}&{0}\\{26}&{19}\end{bmatrix} \)

Ahora, obtenemos su transpuesta: \( B=A^t=\begin{bmatrix}{0}&{7}&{26}\\{-7}&{0}&{19}}\end{bmatrix}  \)

Entonces, se pide calcular el producto,

\( C=\begin{bmatrix}{0}&{-7}\\{7}&{0}\\{26}&{19}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{7}&{26}\\{-7}&{0}&{19}}\end{bmatrix} \)

CALCULOS AUXILIARES:

El producto escalar de la primera fila (pre-matriz A) por la primera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=0\cdot {}0+(-7)\cdot{}(-7)=49 \)

El producto escalar de la primera fila (pre-matriz A) por la segunda columna (post-matriz B) es: \( c_1_2=0\cdot {}7+(-7)\cdot{}0 = 0  \)

El producto escalar de la primera fila (pre-matriz A) por la tercera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=0\cdot {}26+(-7)\cdot{}19=-133  \)

El producto escalar de la segunda fila (pre-matriz A) por la primera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=7\cdot {}0+0\cdot{}(-7)=0 \)

El producto escalar de la segunda fila (pre-matriz A) por la segunda columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=7\cdot {}7+0\cdot{}0=49 \)

El producto escalar de la segunda fila (pre-matriz A) por la tercera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=7\cdot {}26+0\cdot{}19=182 \)

El producto escalar de la tercera fila (pre-matriz A) por la primera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=26\cdot {}0+19\cdot{}(-7)=-133 \)

El producto escalar de la tercera fila (pre-matriz A) por la segunda columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=26\cdot {}7+19\cdot{}0=182 \)

El producto escalar de la tercera fila (pre-matriz A) por la tercera columna (post-matriz B) es: \( c_1_1=26\cdot {}26+19\cdot{}19=1037  \)

De aquí resulta finalmente,

\( C=\begin{bmatrix}{49}&{0}&{-133}\\{0}&{49}&{182}\\{-133}&{182}&{1037}\end{bmatrix} \)
[cerrar]

(En la próxima entrega: Matrices cuadradas)

(continuará...)

22 Julio, 2014, 06:11 pm
Respuesta #19

nataivel

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2.10.1.8. Teorema

Sea \( k  \) un escalar y sean \( A, B, C  \) tres matrices, de ordenes diferentes, tales que los productos están definidos. Entonces,

P.1. Propiedad asociativa (producto)

\( (AB)C =A(BC) \)

DEMOSTRACIÓN

Spoiler
Para que el producto esté definido, consideremos los siguientes órdenes de las matrices: \( A_m_x_p, B_p_x_q, C_q_x_n  \)

PRIMERA PARTE:

Por definición del producto de dos matrices, tenemos:

\( (AB)_m_x_q=( \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_j}) \)  (Esta matriz resultante tiene “m filas y q columnas”).

Multiplicamos la anterior matriz (AB) por C

Para esto, tengamos en cuenta que la i-ésima fila de (AB) está dada por la sucesión,

 ,\( \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_1}, \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_2} , \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_3}, \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_4}, \ldots, \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_q}  \)     (es decir, hay “q” elementos en dicha fila, porque la matriz tiene “q” columnas)

Asimismo, la j-ésima columna de C consta de los siguientes elementos:

\( c_1_j, c_2_j, c_3_j, \idots, c_q_j  \)  (es decir, hay “q” elementos en dicha columna, porque la matriz C, tiene “q” filas)

Haciendo el producto escalar, tenemos:

\( \begin{bmatrix}{\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_1}}&{\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_2}}&{\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_3}}&{\ldots}&{\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_q}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{c_1_j}\\{c_2_j}\\{c_3_j}\\{\vdots}\\{c_q_j}\end{bmatrix}=  \)

\(  =\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_1}\cdot { c_1_j }+\displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_2}\cdot { c_2_j }+  \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_3}\cdot { c_3_j }+ \ldots + \displaystyle\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_q}\cdot { c_q_j }  \)   

O escribiendo abreviadamente,

 \( =\displaystyle\sum_{h=1}^q (\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_h}\cdot { c_h_j }) \)   
 
O sea,

\( [(AB)C]_m_x_n=(\displaystyle\sum_{h=1}^q (\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_h}\cdot { c_h_j })) \)       (1)

SEGUNDA PARTE:

También por definición de producto matricial.Tener en cuenta que:\( A_m_x_p, B_p_x_q, C_q_x_n  \)

\( (BC)_p_x_n=( \displaystyle\sum_{K=1}^q{b_i_Kc_K_j}) \)  (Esta matriz tiene “p filas y n columnas”).

Multiplicamos la matriz A por (BC), para esto tengamos en cuenta la i-ésima fila de A. O sea:

\( \begin{bmatrix}{a_i_1}&{a_i_2}&{a_i_3}&{\ldots}&{a_i_p}\end{bmatrix}  \)

(Esta fila tiene “p” elementos, porque la matriz A tiene “p columnas”)

Ahora, obtengamos la j-ésima columna de (BC), o sea,

\( \begin{bmatrix}{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_1_Kc_K_j}}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_2_Kc_K_j}}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_3_Kc_K_j}}\\{\vdots}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_p_Kc_K_j}}\end{bmatrix}  \)

(Esta columna tiene “p” elementos, porque la matriz (BC) tiene “p filas”)

Entonces, haciendo el producto escalar, tenemos:

\( \begin{bmatrix}{a_i_1}&{a_i_2}&{a_i_3}&{\ldots}&{a_i_p}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_1_Kc_K_j}}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_2_Kc_K_j}}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_3_Kc_K_j}}\\{\vdots}\\{\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_p_Kc_K_j}}\end{bmatrix}=  \)

\( = a_i_1\cdot {\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_1_Kc_K_j}} + a_i_2\cdot {\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_2_Kc_K_j}}+ a_i_3\cdot {\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_3_Kc_K_j}} + \ldots+ a_i_p\cdot {\displaystyle\sum_{K=1}^q{b_p_Kc_K_j}} = \displaystyle\sum_{H=1}^p (a_i_H\cdot {}\sum_{K=1}^q{b_H_Kc_K_j})  \)   
 
En resumen,

\(  [A(BC)]_m_x_n=(\displaystyle\sum_{H=1}^p (a_i_H\cdot {}\sum_{K=1}^q{b_H_Kc_K_j}))  \)       (2)

Comparando ambas sumatorias dobles, en (1) y (2), vemos que existe diferencia en los índices. Sin embargo, nos damos cuenta que: K=h , H=k  (3)

Poniendo (3) en (2) tenemos:

\(  [A(BC)]_m_x_n=(\displaystyle\sum_{k=1}^p (a_i_k\cdot {}\sum_{h=1}^q{b_k_hc_h_j}))  \)       (2’)

TERCERA PARTE:

Comparando ambas sumatorias dobles (1) y (2’). O sea,

\( [(AB)C]_m_x_n=(\displaystyle\sum_{h=1}^q (\sum_{k=1}^p{a_i_kb_k_h}\cdot { c_h_j })) \)       (1)

\(  [A(BC)]_m_x_n=(\displaystyle\sum_{k=1}^p (a_i_k\cdot {}\sum_{h=1}^q{b_k_hc_h_j}))  \)       (2’)

En ambas sumatorias dobles, vemos que el elemento (\( a_i_k \)) depende solamente del índice sumatorio “k” que varía de K=1 hasta k=p. Esto sucede en ambas sumatorias dobles.

El elemento: \( b_k_h \) depende solamente de los índices sumatorios “k y h”. Donde “k” varía desde k=1 hasta k=p. Y donde “h” varía desde h=1 hasta h=q. Esto sucede en ambas sumatorias dobles, (1) y (2’).

El elemento: \( c_h_j \), depende del índice sumatorio “h”. Donde “h” varía desde h=1 hasta h=q. esto sucede en ambas sumatorias dobles.

De este análisis de desprende que: “Ambas sumatorias dobles, en (1) y en (2’), son iguales en magnitud”. De donde, se concluye inmediatamente que debe ser:

(AB)C=A(BC)

Que demuestra la propiedad asociativa (P1).
[cerrar]

El lector puede demostrar las propiedades restantes,

P.2. Propiedad distributiva (por la izquierda)

\( A(B+C )=AB+AC) \)

P.3. Propiedad distributiva (por la derecha)

\(  (B+C )A=BA+CA) \)

P.4. Asociatividad respecto de un escalar

\(  k(AB)=(kA)B=A(kB) \)


2.10.2. MATRICES CUADRADAS

A partir de ahora, vamos a enfatizar nuestro estudio en las matrices cuadradas (matrices con la misma cantidad de filas y columnas), debido a que sobre ellas se fundamenta el resto del contenido de este “breve estudio”.

2.10.2.1. Definición

El conjunto de las matrices que tienen la misma cantidad de filas y de columnas se llaman matrices cuadradas. Si la matriz A tiene “n filas” y “n columnas”, se dice que es de orden nxn (que se lee: “matriz ene-cuadradada” o bien, “matriz cuadrada de orden n”).

Una matriz genérica de orden nxn se puede escribir así:

\( A=\begin{bmatrix}{a_1_1}&{a_1_2}&{a_1_3}&{\cdots}&{a_1_n}\\{a_2_1}&{a_2_2}&{a_2_3}&{\cdots}&{a_2_n}\\{a_3_1}&{a_3_2}&{a_3_3}&{\cdots}&{a_3_n}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\{a_n_1}&{a_n_2}&{a_n_3}&{\cdots}&{a_n_n}\end{bmatrix}  \)       (2.17)

2.10.2.2. Diagonal y traza de una matriz cuadrada

2.10.2.2.1. La diagonal principal

La sucesión de los elementos de una matriz cuadrada tales que sus índices son iguales se llama “diagonal principal”. O sea, se llama diagonal principal a la sucesión,

\( a_1_1, a_2_2, a_3_3, a_4_4, \ldots, a_n_n \)       (2.18)

2.10.2.2.2. La diagonal secundaria

Intuitivamente, la diagonal secundaria es la otra diagonal que se puede formar dibujando una línea imaginaria desde el extremo inferior izquierdo hasta la esquina superior derecha (en la matriz dada).

EJEMPLO:  En la matriz,

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{4}&{5}&{6}\\{7}&{8}&{9}\end{bmatrix} \)

La diagonal principal es: 1, 5, 9

La diagonal secundaria es: 7, 5, 3

2.10.2.2.3. La traza

Se llama traza de la matriz A, y se simboliza: \( tr(A) \) o simplemente\( tr A \)  , a la suma de todos los elementos de la diagonal principal. O sea:

\( tr(A)=a_1_1+a_2_2+a_3_3+a_4_4+\ldots+a_n_n \)

O en notación abreviada:

\( tr(A)= \displaystyle{\sum_{k=1}^n{a_k_k}}  \)       (2.19)

En el ejemplo anterior, la diagonal principal (en la matriz A) es: 1, 5, 9. Luego, tr A=15

2.10.3. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES (PARTE 1)

2.10.3.1. La matriz identidad

Sea (\( \delta_i_j  \)), la función DELTA DE KRONECKER, que se define:

\( \delta_i_j= \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }i=j\\0 & \mbox{si } i\neq j\end{matrix}\right  \) 

Entonces, la matriz identidad (I) es aquella cuyo elemento genérico es la función delta de Kronecker.

\( I= (\delta_i_j) \)

A veces, es necesario explicitar el orden de la matriz. Si es de orden nxn, se puede escribir:

\( I_n= (\delta_i_j) \)

Intuitivamente, la matriz identidad es aquella en que los elementos de la diagonal principal son todas iguales a 1; y el resto de sus elementos es igual a 0 (cero).

Por ejemplo:   

\( I_3=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}  \)

Una de las propiedades fundamentales de la matriz identidad (I) es que se asemeja al escalar: 1 (en los números reales). Así se verifica que para toda matriz cuadrada A,

\( IA=AI=A \)

2.10.3.2. La matriz escalar

Si k es un escalar cualquiera, entonces, se llama matriz escalar (o también matriz constante), a la matriz cuadrada que verifica:

 \( K=(k_i_j) \)   tal que:    \( k_i_j= \left \{ \begin{matrix} k & \mbox{si }i=j\\0 & \mbox{si } i\neq j\end{matrix}\right  \) 

Nótese que la matriz constante (o escalar) se obtiene multiplicando un escalar “k” por la matriz identidad. O sea,
\( K=kI \)

2.10.3.3. Matrices diagonales

Se llama matriz diagonal (D), aquella en que todos sus elementos son nulos excepto (tal vez) los de la diagonal principal.
 
Por ejemplo, \( \begin{bmatrix}{x}&{0}&{0}\\{0}&{y}&{0}\\{0}&{0}&{z}\end{bmatrix}  \)

Es una matriz diagonal.

2.10.3.4. Matrices triangulares

Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior, si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son cero (0). Se dice que una matriz es triangular inferior, si todas las entradas por encima de la diagonal principal son cero (0).

EJEMPLO: La primera matriz es triangular superior y la segunda es triangular inferior.

\( \begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}\\{0}&{e}&{f}\\{0}&{0}&{i}\end{bmatrix}  \)

\(  \begin{bmatrix}{a}&{0}&{0}\\{d}&{e}&{0}\\{g}&{h}&{i}\end{bmatrix}  \)

2.10.4. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES (PARTE 2)

2.10.4.1. Potencias de matrices

Se define, para toda matriz A (cuadrada) y “n” natural,

\(  A^0=I \)   ,  \(  A^1=A \)    ,  \(  A^{n+1}=A^nA=AA^n \)       (2.20)

2.10.4.2. Matriz periodica (respecto de su exponente)

Una matriz cuadrada A, es periódica (respecto de su exponente), si existe un número entero “p”, tal que,

\(  A^{p+1}=A \)

Al número “p” llamaremos PERIODO DE LA MATRIZ.

PROBLEMA: Determine el periodo de la siguiente matriz,

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{0}&{-3}\end{bmatrix}  \)

SOLUCIÓN

Spoiler
Multiplicando sucesivamente la misma matriz, tenemos:

\(  A^2=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{0}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{0}&{-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-5}&{-6}&{-6}\\{9}&{10}&{9}\\{-4}&{-4}&{-3}\end{bmatrix}  \)

\( A^2A=\begin{bmatrix}{-5}&{-6}&{-6}\\{9}&{10}&{9}\\{-4}&{-4}&{-3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{0}&{-3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{-6}\\{-3}&{2}&{9}\\{2}&{0}&{-3}\end{bmatrix}=A  \)

Hemos obtenido: \( A^2A=A  \)

De donde el periodo de la matriz A es, p=2. En conclusión, la matriz A es periodica de periodo p=2.
[cerrar]

2.10.4.2.1. Matriz idempotente

Una matriz cuadrada A y periódica, se llama IDEMPOTENTE si su periodo es P=1. Es decir, si se verifica que:

\( A^2=A \)

2.10.4.2.2. Matriz tripotente

Una matriz cuadrada A y periódica, se llama TRIPOTENTE si su periodo es P=2. Es decir, si se verifica que:

\( A^3=A \)

2.10.4.3. Matriz involutiva

Una matriz cuadrada A, se dice que es INVOLUTIVA, si al multiplicarse consigo misma se obtiene la matriz identidad. Es decir,

\( A^2=I \)

2.10.4.4. Matriz nilpotente

Una matriz cuadrada \( A\neq 0  \), se llama NILPOTENTE (o NULPOTENTE) si existe un número natural \(  h\neq 0 \), tal que se verifica,

\( A^h=0 \)

2.10.5. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES (PARTE 3)

2.10.5.1. Matrices simétricas y antisimétricas


Una matriz cuadrada es SIMÉTRICA cuando es igual a su transpuesta. O sea,

\( A =A^t \)

Una matriz cuadrada es ANTISIMÉTRICA cuando es igual al opuesto de su transpuesta. O sea,

\( A =-A^t \)

NOTA: Los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos iguales a cero (0).

EJEMPLO: Las siguientes matrices son, respectivamente, simétrica y antisimétrica.

\( \begin{bmatrix}{x}&{a}&{b}\\{a}&{y}&{c}\\{b}&{c}&{z}\end{bmatrix}  \)

\( \begin{bmatrix}{0}&{-a}&{b}\\{a}&{0}&{-c}\\{-b}&{c}&{0}\end{bmatrix}  \)

Spoiler
Para reconocer por simple inspección una matriz simétrica trazamos una línea imaginaria por su diagonal principal y vemos que los elementos están distribuidos de forma equidistante. Por ejemplo “a” con “a”, “b” con “b”, “c” con “c”.

Para reconocer por simple inspección una matriz antisimétrica, vemos que todos los elementos de la diagonal principal son cero (0). Además, sus elementos están distribuidos de froma equidistante pero con signo cambiado. Por ejemplo: “a” con “-a”, “-b” con “b” y “c” con “-c”.
[cerrar]

2.10.5.2. Matrices normales

Una matriz cuadrada A, es NORMAL, si en el producto, conmuta con su transpuesta. O sea:

\( A A^t=A^tA \)

2.10.5.3. Matrices ortogonales

Una matriz cuadrada A, es ORTOGONAL, si el producto por su transpuesta es igual a la matriz identidad (I). O sea:

\( A A^t=A^tA= I \)

NOTA:
Spoiler
A veces se define de la siguiente forma: “Una matriz cuadrada A, es ORTOGONAL, si su inversa es igual a su transpuesta”. Sin embargo, para dicha definición necesitamos conocer el significado de INVERSA DE UNA MATRIZ que se dará más adelante. Por ahora, nos quedamos con la definición 2.10.5.2
[cerrar]

2.10.6. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES (PARTE 4)

2.10.6.1. Matrices complejas

Una matriz compleja es aquella cuyos elementos son números complejos. Los números complejos son aquellos que tienen la forma:

\( z=a+bi \)  (donde \( a, b \) son números reales y donde \( i \) es la unidad imaginaria (\( i=\sqrt[ ]{-1} \))

Al número real "a" se llama PARTE REAL del número complejo. El número real "b" se llama PARTE IMAGINARIA del número complejo.

Se llama CONJUGADA de un número complejo a aquel numero complejo cuya PARTE IMAGINARIA es de signo opuesto (al del número complejo dado). O sea,

Si \( z=a+bi \) (es un número complejo) entonces \( \bar{z}=a-bi \)(es su conjugada)

2.10.6.2. Matrices conjugada

Se llama así a una matriz compleja \( B \) tal que todos sus elementos son los conjugados de los elementos de una matriz dada A. se simboliza: \( B=\bar{A} \) (se lee: matriz conjugada de A)

2.10.6.3. Matriz conjugada de la transpuesta o transpuesta de la conjugada

Si obtenemos la transpuesta de la conjugada de una matriz A, representaremos ese hecho mediante el superíndice (\( * \))

Es decir,

\( A^*=(\overline{A})^t=\overline{(A^t)} \)       (2.21)

NOTA: Algunos autores suelen emplear el superíndice \( H \) en lugar de \( * \) (En este trabajo, no estudiaremos matrices complejas, por tanto estas notaciones son solo de caracter informativo).

2.10.6.4. Matrices hermitianas

Una matriz A, se llama HERMITIANA si es igual a la transpuesta de su conjugada. O sea,

\( A=(\overline{A})^t \)  (entonces, A es hermitiana)

También se puede escribir:  \( A=A^* \)   (entonces, A es hermitiana)

OBSERVACIÓN: Para reconocer por simple inspección si una matriz es hermitiana, debe darse que la matriz es simétrica respecto de las partes reales (de sus elementos). Al mismo tiempo, la matriz es antisimétrica respecto de sus partes imaginarias (de sus elementos).

PROBLEMA: La siguiente matriz ¿es hermitiana o no?

\( A=\begin{bmatrix}{1}&{-i}&{2+i}\\{i}&{-2}&{-3-2i}\\{2-i}&{-3+2i}&{3}\end{bmatrix} \)

SOLUCIÓN:

Spoiler
Analicemos,

PRIMERO: Si no existiera partes imaginarias tendríamos:

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{0}&{-2}&{-3}\\{2}&{-3}&{3}\end{bmatrix} \) (una matriz simétrica)

SEGUNDO: Si no existiera partes reales, tendríamos,

\( A=\begin{bmatrix}{0}&{-i}&{i}\\{i}&{0}&{-2i}\\{-i}&{+2i}&{0}\end{bmatrix} \) (una matriz antisimétrica)

Luego, la matriz dada es hermitiana.
[cerrar]

2.10.6.5. Matrices antihermitianas

Una matriz se llama antihermitiana o antihermítica si se verifica,

\( A=-(\overline{A})^t \)   o también  \( A=-A^* \)


2.10.6.6. Matrices complejas normales

Una matriz compleja A se llama normal, si se verifica la conmutatividad de matrices:

\( AA^*=A^*A \)

2.10.6.7. Matriz unitaria

Una matriz compleja A es unitaria si se verifica,

\( AA^*=A^*A=I \)

En otras palabras, \( A^* \) es igual a la matriz inversa de A.

Spoiler
(Nuevamente, estos conceptos son de caracter informativo. Por esa razón no ampliaremos otras posibles propiedades que puedan derivarse de estas definiciones. esos afanes corresponderan a un curso completo de Algebra Lineal, no aquí)
[cerrar]

Hasta aquí, hemos definido una gran parte de las matrices cuadradas especiales que aparecen en muchos problemas. En las próximas entregas estudiaremos la función determinante y posteriormente la inversión de matrices.

(continuará)