Autor Tema: Continuidad

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04 Junio, 2014, 09:16 pm
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Megus

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Si \( f \) es una función con dominio en \( \mathbb R \) tal que \( f \) es continua en \( a=0, \) y \( f(x+y)=f(x)f(y) \) para todo \( x,y\in\mathbb R, \) demostrar que \( f \) es continua para cualquier punto \( a\in\mathbb R. \)

Lo que se me ocurre: como \( f \) es continua en \( 0, \) de la definición de continuidad tenemos que \( \forall\epsilon>0, \) existe \( \delta>0 \) tal que \( |x-0|<\delta\implies |f(x)-f(0)|<\epsilon, \) o sea \( |x|<\delta\implies|f(x)-f(0)|<\epsilon. \) Como \( f(x+y)=f(x)f(y) \) hacemos \( x=y=0 \) y se tiene que \( f(0)=f(0)^2, \) o sea \( f(0)=0, \) luego para \( |x|<\delta\implies |f(x)|<\epsilon. \)

Acá no sé cómo seguir, ahora tengo que demostrar que se sigue que dado \( |x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\epsilon, \) que es para demostrar la continuidad de \( f \) en todo punto \( a\in\mathbb R. \) Utilizando lo anterior tengo que \( |f(x)-f(a)|\le |f(x)|+|f(a)|<\epsilon+|f(a)|, \) pero de ahí no sé cómo seguir. :(

04 Junio, 2014, 09:54 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Otra forma:

Caso 1:
Si \(  f(x) = 0  \) para todo \(  x \in R  \) lo tenemos:

Caso2:

Supongamos que para algún valor de \(  x_0 \in R  \) se tiene que \(  f(x_0) \neq 0  \).

Entonces para todo valor de \(  z \in R  \) tenemos que \(  f(z) \neq 0  \).

Si existiera un \(  z_0 \in R  \) con \(  f(z_0)=0  \) tendríamon:

\(  h = x_0 - z_0  \).

\(  f(x_0) = f(z_0 + (x_0 - z_0)) =f(z_0) \cdot f(x_0 - z_0) = 0 \cdot f(x_0 - z_0) = 0  \) absurdo.

Para todo \(  x \in R  \)  se tiene que \(  f(x) \neq 0 \).

Tenemos que \(  f(0) = f(0+0) = f(0) \cdot f(0)  \) dividimos por \(  f(0)  \) queda \(  f(0) = 1  \).

Entonces \(  lim_{h \to 0 } f(h) =1  \).

Para todo \(  x \in R  \).

\(  lim_{ h \to 0} f(x+h)= lim_{ h \to 0} f(x)\cdot f(h) = f(x) \cdot \lim_{ h \to 0 }f(h) = f(x) \cdot 1 = f(x)  \).

04 Junio, 2014, 11:36 pm
Respuesta #2

Megus

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Muy bueno, me di cuenta que cometí un error poniendo que \( f(0)=0. \)
Gracias por la ayuda!

05 Junio, 2014, 12:14 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Para tu forma de hacerlo:

\(  f(x+h) -f(x) = f(x)\cdot f(h) - f(x) = f(x) \cdot [f(0) - 1]  \).

Como \(   f(x) \neq 0   \).

Dado \(  \dfrac{\epsilon}{|f(x)|} > 0   \) existirá un \(  \tau > 0  \) tal que:

Para todo \(  h  \) cumpliendo \(  0 \leq |h| < \tau  \) se tiene:

\(  |f(h) -1| < \dfrac{\epsilon}{|f(x)|}  \).

Dado \(  \dfrac{\epsilon}{|f(x)|} > 0  \) para todo \(  x'  \) verificando \(  0 \leq |x-x'| < \tau  \).

Se tendrá:

\(  |f(x') - f(x)| = |f(x)|\cdot |f(h') - 1| < \epsilon  \).

Donde \(  |h'| =|x'-x| < \tau  \).

Si es revisado es un gran favor.

05 Junio, 2014, 12:39 am
Respuesta #4

Megus

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Hola gracias, ¿se puede hacer de esta forma?

Hay que probar que \( f(x)\to f(a) \) cuando \( x\to a, \) y esto es lo mismo que poner \( f(x+a)\to f(a) \) cuando \( x\to0, \) entonces \( f(x+a)=f(x)f(a), \) luego tomando límites y usando la continuidad de \( f \) en cero queda \( \displaystyle\lim_{x\to0}f(x+a)=f(0)f(a), \) entonces hay que probar que \( f(0)=1. \) Como \( f(x+y)=f(x)f(y) \) para todo \( x,y\in\mathbb R \) poniendo \( x=y=0 \) queda \( f(0)=0 \) o \( f(0)=1, \) entonces como \( f(x)\ne0 \) (porque el caso \( f(x)=0 \) se cumple), tenemos que \( f(0)=1 \) y \( \displaystyle\lim_{x\to0}f(x+a)=1\cdot f(a)=f(a). \)

05 Junio, 2014, 12:42 am
Respuesta #5

pierrot

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Hola gracias, ¿se puede hacer de esta forma?

Está bien, aunque es esencialmente lo mismo que está escrito en la respuesta #1.
$_="loe  hnachaPkr erttes,urJ";$j=0;for($i=0;s/(.)(.{$j})$//;$i++){$_=$2.$_,$j+=1-$i%2,print$1}print

05 Junio, 2014, 12:59 am
Respuesta #6

Megus

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Sí, gracias!