Autor Tema: Sobre serie de potencias de una función compleja. Conway.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Junio, 2014, 06:56 am
Leído 725 veces

lindtaylor

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,342
  • País: cl
  • Karma: +0/-2
  • Sexo: Masculino
Si \( f(z)=\frac{1}{2i}\log(\frac{1+iz}{1-iz}) \), muestre que \( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \) para \( |z|<1. \)

¿Cómo encuentro esa serie de potencias? debe haber algún truco quizás...
Desde ya gracias.
....

02 Junio, 2014, 07:21 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
  • Administrador
  • Mensajes: 11,412
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
¿Cómo encuentro esa serie de potencias? debe haber algún truco quizás...

Expresa el logaritmo del cociente como diferencia de logaritmos y usa el conocido desarrollo de \( \log (1+w) \) en \( \left |{w}\right |<1. \)

02 Junio, 2014, 07:22 am
Respuesta #2

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,058
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
\( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Esta es la serie del Sen(z)
No es le falta el factorial  :banghead:
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Junio, 2014, 07:23 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
  • Administrador
  • Mensajes: 11,412
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
\( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Esta es la serie del Sen(z)

Faltarían los factoriales en el denominador.  :)

02 Junio, 2014, 08:12 am
Respuesta #4

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,058
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ahora sí. Esta serie es la serie del Arctan(z)
\( \displaystyle Arctan(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1} \)

Demostración
Spoiler
Si \(  z=\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\Rightarrow{\theta=\arctan z} \)

\( \displaystyle z=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{j(e^{j\theta}+e^{-j\theta})} \)

\( \displaystyle jz=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{e^{j\theta}+e^{-j\theta}} \)

multiplicando en el lado derecho por \( \frac{e^{j\theta}}{e^{j\theta}} \)

\( \displaystyle jz=\frac{e^{2j\theta}-1}{e^{2j\theta}+1} \)

\( \displaystyle jz(e^{2j\theta}+1)=e^{2j\theta}-1 \)

\( \displaystyle e^{2j\theta}(jz-1)=-1-jz \)

\( \displaystyle e^{2j\theta}=\frac{-1-jz}{jz-1}=\frac{1+jz}{1-jz} \)

aplicando logaritmo a ambos lados
\( 2j\theta}=Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)

\( \theta}=\frac{1}{2j}Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)

\( Arctan(z)=\frac{1}{2j}Log(\frac{1+jz}{1-jz}) \)
[cerrar]
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Junio, 2014, 11:15 am
Respuesta #5

lindtaylor

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,342
  • País: cl
  • Karma: +0/-2
  • Sexo: Masculino
muchas gracias a todos, variable compleja está siendo mi némesis.
....