[fjramirez]

Hola,

parece mentira, pero he hecho un montón de ejercicio y en este estoy dudando. La serie es:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{n+1}{n}} \)

y me piden calcular el caracter de la serie y sumarla si es posible.

Yo he calculado el limite, y me da 1. (Hasta el momento yo sabia que si sale infinito no converge directamente, y si sale 0 se debe estudiar por algún criterio. ¿Si sale otro valor que quiere decir?

He usado el criterio del cociente y me sale 1, no decide y luego el criterio de Raabe donde me sale 0, divergente. ¿Es correcto esto?

Lo que me descuadra es que hasta el momento al calcular el limite me salia infinito o 0, nunca me había salido 1

Saludos y gracias

[ingmarov]

\( \displaystyle\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \)
Si sumas \( 1+1+1+... \) infinitamente, la suma tenderá a infinito.
Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.

[fjramirez]

\( \displaystyle\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \)
Si sumas \( 1+1+1+... \) infinitamente, la suma tenderá a infinito.
Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.

Gracias, no lo había visto así, \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \) es la serie armónica que es divergente.

[ingmarov]

ok

[Fallen Angel]

Es condición necesaria (pero no suficiente) que el término general tienda a 0 para que la suma sea convergente

[fjramirez]

ok

Me a surgido ahora una duda  si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)  es divergente; tego en mis apuntes que
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n^2}} \) es convergente. ¿Esto es correcto? Esta suma tiende a infinito no? igual que la otra.

[mathtruco]

Si separas las sumatorias.
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 1+\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)
Tendrás la suma de dos series divergentes.

Cuidado con eso. Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \)   y   \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n \) divergen, entonces no es cierto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \).

Usando dicho argumento se podría llegar a cosas como:

   \( 0=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 0=\sum_{n=1}^\infty (1-1)=\sum_{n=1}^\infty 1-\sum_{n=1}^\infty (-1) \)

lo cual es una contradicción.


Como dice Fallen Angel, sabemos que:

    Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \) converge, entonces \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0 \),

o equivalentemente (el contrarecíproco)

    Si \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\neq 0 \) entonces \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \) diverge.

En tu caso \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=1\neq 0 \) y por tanto diverge.

[mathtruco]

Me a surgido ahora una duda  si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n}} \)  es divergente; tego en mis apuntes que
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\displaystyle\frac{1}{n^2}} \) es convergente. ¿Esto es correcto? Esta suma tiende a infinito no? igual que la otra.

    \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} \) diverge.

    \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} \) converge.

Supongo que en tus apuntes tienes alguna justificación (demostración) para esto.

Concuerdo que suena raro, porque ambas parece que se comportaran de forma similar. Pero en el infinito pasan cosas raras (como lo que expliqué en mi respuesta anterior), y por eso hay que ser cuidadosos con los resultados que utilizamos.

[fjramirez]

Cuidado con eso. Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty x_n \)   y   \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty y_n \) divergen, entonces no es cierto que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \).

y cuando es cierto \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (x_n+y_n)=\sum_{n=1}^\infty x_n+\sum_{n=1}^\infty y_n \)

[Juan Pablo Sancho]

Cuando \(  \sum_{n=1}^{+\infty} x_n  \) y \(  \sum_{n=1}^{+\infty} y_n  \) convergen.


\(  {\red Editado }  \).

Spoiler

Más en general dados \(  \alpha , \beta \in R  \).

\(  \sum_{n=1}^{+\infty} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) = \alpha \cdot \sum_{n=1}^{+\infty}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} y_n  \).

Prueba:

Para todo \(  m \in N  \) tenemos:


\(  \sum_{n=1}^{m} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) = \alpha \cdot \sum_{n=1}^{m}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{m} y_n  \).

\(  Lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^{m} (\alpha \cdot x_n + \beta \cdot y_n) =  \)

\(  Lim_{m \to +\infty} (\alpha \cdot \sum_{n=1}^{m}  x_n + \beta \cdot \sum_{n=1}^{m} y_n) =  \)

\(  = \alpha \cdot Lim_{m \to +\infty} \sum_{n=1}^m x_n + \beta \cdot lim_{m \to  +\infty} \sum_{n=1}^m y_n  \).

[cerrar]