\( (\mathbb{Z},+,\cdot) \), donde + y · son las operaciones habituales de suma y producto es un anillo conmutativo con unidad.
Todo ideal en este anillo es principal , es decir, es un dominio de ideales principales.(Probarlo es un ejercicio típico cuando uno comienza a estudiar anillos e ideales)
Además, se cumple que \( (a) \ es \ maximal \ \Leftrightarrow \ (a) \ es \ primo, \ a\neq 0 \ \Leftrightarrow \ a \ es \ primo \ no \ nulo \).
Por tanto dado \( p\in \mathbb{Z} \) un primo, el cociente de \( \mathbb{Z} \) con el ideal generado por p es cuerpo.
El cociente \( \mathbb{Z}/(p) \) (también denotado \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ó \( \mathbb{Z}_{p} \)) es el conjunto de clases de equivalencia donde dos elementos son equivalentes si, y sólo si, son iguales módulo p.
Esto es, \( \mathbb{Z}/(p)\cong \{1,\ldots ,p-1\} \)
En el ejemplo que puse, p=3 , que es primo , luego el cociente es cuerpo y por tanto podemos hablar de espacios vectoriales sobre él (que no son más que módulos totalmente de torsión cuando son de dimensión finita, pero eso ya es un poco más avanzado) y demás construcciones asociadas a cuerpos.
Además \( 2+2=4\equiv 1 \ (m\acute{o}d \ 3) \).
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