Autor Tema: ¿ Es correcto definir raiz(-1)=i ?

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31 Mayo, 2014, 07:56 pm
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pililo

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Hola.

Me surgió una duda, lo que pasa es que he visto que en algunas bibliografías aparece que

\( i=\sqrt{-1} \),

¿por qué esto está incorrecto?. Entiendo el por qué pero a medias, ya que si ocurriera eso, tendríamos lo siguiente
\( i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 \)
lo cual contradice que \( i^2=-1 \), pero veo un problema en las igualdades anteriores, porque uno puede usar las propiedades de raiz(de índice par), siempre que la cantidad subradical sea no negativa y este no es el caso.
Saludos.

01 Junio, 2014, 12:06 am
Respuesta #1

argentinator

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Lo incorrecto es que hayas aplicado la propiedad distributiva con radicandos que contienen números negativos.

No es incorrecto definir \( i = \sqrt{-1} \).

 

01 Junio, 2014, 12:42 am
Respuesta #2

feriva

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Hola.

Me surgió una duda, lo que pasa es que he visto que en algunas bibliografías aparece que

\( i=\sqrt{-1} \),

¿por qué esto está incorrecto?. Entiendo el por qué pero a medias, ya que si ocurriera eso, tendríamos lo siguiente
\( i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 \)
lo cual contradice que \( i^2=-1 \), pero veo un problema en las igualdades anteriores, porque uno puede usar las propiedades de raiz(de índice par), siempre que la cantidad subradical sea no negativa y este no es el caso.
Saludos.

Hola.

\( i^{2}=((-1)^{1/2})^{2}=(-1)^{1/2}\cdot(-1)^{1/2}=(-1)^{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=(-1)^{1}=-1 \)

 Saludos.

01 Junio, 2014, 01:00 am
Respuesta #3

argentinator

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Feriva: es que es lo mismo.
Operando de una forma se obtiene una cosa, y operando de otra forma se obtiene otra cosa.

Las propiedades que estás aplicando no son válidas en este contexto.
Sólo son válidas para números reales positivos, y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

01 Junio, 2014, 01:36 am
Respuesta #4

feriva

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Las propiedades que estás aplicando no son válidas en este contexto.
Sólo son válidas para números reales positivos, y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

Hola. Pero, entonces, si convenimos definir concretamente, por ejemplo

\( a\in\mathbb{Z};b\in\mathbb{Q};c\in\mathbb{N} \)

Esto no parece que pueda salir mal

\( (a^{b})^{c}=a^{bc} \)

¿Qué es lo que pasa para que no pueda servir en general esta otra regla de las potencias?

\( (a^{b})^{c}\cdot(a^{b})^{c}=(a^{b})^{c+c}=(a^{b})^{2c}=a^{2bc} \)

Saludos.

01 Junio, 2014, 02:25 am
Respuesta #5

ingmarov

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..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

01 Junio, 2014, 02:31 am
Respuesta #6

argentinator

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¿Qué es lo que pasa para que no pueda servir en general esta otra regla de las potencias?

\( (a^{b})^{c}\cdot(a^{b})^{c}=(a^{b})^{c+c}=(a^{b})^{2c}=a^{2bc} \)
 

La "raíz" es la operación inversa de la potencia.
Como tal, hay muchas soluciones posibles.
Dada una ecuación \( z^c=A \), con c entero, tiene c soluciones complejas distintas.
Sólo una de ellas se elige cuando definimos \( \sqrt[c] A \), cuando A es real y positivo.
La solución elegida es, en los textos de matemática, la solución real y positiva.

Cuando nos restringimos a los reales positivos, hay siempre una y sólo una solución.
Con esa solución, valen sin problemas las leyes distributivas de los exponentes.
Pero si no, no.

La razón de que no pueda usarse la ley distributiva con valores que no son reales positivos, es que allí ya entran en juego todas las soluciones posibles de la raíz. Como uno puede poner cualquiera de esas soluciones, el resultado puede dar cualquier cosa que a uno le guste.
Eso lleva a contradicciones.

Por ejemplo, da que 1 = -1, o cosas por el estilo, como en el post original de este hilo.

Ese tipo de absurdos se obtiene al utilizar la propiedad distributiva.
Pero entonces esto significa que la propiedad distributiva no puede usarse.
En otras palabras: ES FALSA.

Sólo es verdadera si convenimos en referirnos todo el tiempo a las raíces reales positivas.

Puedo ser más explícito con los cálculos, pero no quiero volverme engorroso innecesariamente.
Quiero saber si esto que dije se entiende, o si hacen falta otro tipo de aclaraciones.

Saludos

01 Junio, 2014, 02:35 am
Respuesta #7

argentinator

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..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)

No entiendo tu comentario, pero el hecho de que eso sea una convención no tiene relación con lo que yo dije, porque lo que yo dije se refiere a la propiedad distributiva aplicada a raíces, cosa que estoy discutiendo con feriva.
La convención de que \( i^2=-1 \) no convalida en ningún momento el uso de la propiedad distributiva en raíces con números negativos.

De hecho, hasta diría que la notación \( i=\sqrt{-1} \) es la fuente de la confusión.
No habría que escribir el signo de raíz cuadrada con un radicando negativo, porque lo usual es que se defina el símbolo \( \sqrt x \) sólo cuando \( x\geq 0 \).



01 Junio, 2014, 02:59 am
Respuesta #8

ingmarov

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..., y sólo tras haber especificado algunos convenios.

Saludos.

i es una convención, y se ha convenido que \( i^2=-1 \)

No entiendo tu comentario, pero el hecho de que eso sea una convención no tiene relación con lo que yo dije, porque lo que yo dije se refiere a la propiedad distributiva aplicada a raíces, cosa que estoy discutiendo con feriva.
La convención de que \( i^2=-1 \) no convalida en ningún momento el uso de la propiedad distributiva en raíces con números negativos.

De hecho, hasta diría que la notación \( i=\sqrt{-1} \) es la fuente de la confusión.
No habría que escribir el signo de raíz cuadrada con un radicando negativo, porque lo usual es que se defina el símbolo \( \sqrt x \) sólo cuando \( x\geq 0 \).
Perdón, saque de contexto una palabra que escribiste para recordar que i surgió como una necesidad, y que debido a esa necesidad fue aceptada por la sociedad de matemáticos desde ese tiempo. Y que por convención se aceptan dos cosas:
\( i=\sqrt{-1} \) y que \( i^2=-1 \).Me imagino que en el tiempo en que surgió esta unidad imaginaria también se dieron este tipo de discusiones.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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01 Junio, 2014, 03:03 am
Respuesta #9

argentinator

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Bueno, no sé cómo fue esto históricamente.

Pero lo concreto sería estudiar bien la potencia fraccionaria de números complejos, y con un poco de práctica y ejemplos, llegar a convencerse de cómo son las cosas, y por qué no pueden usarse alegremente algunas propiedades algebraicas.