[Raúl Aparicio Bustillo]

Está claro que toda teoría de primer orden que contenga la aritmética es incompleta. Cualquier teeoría de conjuntos completita la puede emular (vamos con ZFC directamente que sí puede) Tenemos el teorema de completitud que nos dice que hay modelos numerables. Según eso, por diagonalización, podemos encontrar un elemento que no está en cualquier modelo numerable. Luego quizás haya modelos no numerables ¿Quizás no? Bueno, ¿por qué hay incompletitud? Hemos cogido un conjunto de axiomas ZFC que razonablemente podrían representar a algunos conjuntos puros (los suficientes hasta ahora para hacer matemáticas) El problema es que hay cuestiones indecidibles que deberíamos añadir como axiomas para quitarnos elementos sobrantes. Pero el problema es que por diagonalización podemos añadir, no sólo quitar, eso no se justifica añadiendo axiomas, que restringen los elementos del modelo.

¿Cómo se demuestra que el argumento obtenido por diagonalización no pertenece al modelo? No vale decir que no pertenece porque no está, hay que demostrar que esa función que lo define no pertenece a las funciones del modelo explícitamente.


Ahora, pertenezca o no a ese modelo, ha de pertenecer a otro, luego por fuerza ha de haber modelos no numerables metamatemáticamente, tenga eso la importancia matemática que tenga, aunque sea irrelevante
 

[Carlos Ivorra]

Está claro que toda teoría de primer orden que contenga la aritmética es incompleta.

Si es recursiva sí. Si no, no necesariamente. Y está claro después de conocer el teorema de Gödel, que no es trivial.

Tenemos el teorema de completitud que nos dice que hay modelos numerables. Según eso, por diagonalización, podemos encontrar un elemento que no está en cualquier modelo numerable. Luego quizás haya modelos no numerables ¿Quizás no?

Quizá no.

Bueno, ¿por qué hay incompletitud?

Por el argumento del teorema de incompletitud de Gödel, que es puramente sintáctico, no tiene nada que ver con modelos ni con las características particulares de la lógica considerada.

Hemos cogido un conjunto de axiomas ZFC que razonablemente podrían representar a algunos conjuntos puros (los suficientes hasta ahora para hacer matemáticas) El problema es que hay cuestiones indecidibles que deberíamos añadir como axiomas para quitarnos elementos sobrantes.

Tan pronto quieres quitar elementos sobrantes como quieres incluir a "todos" los conjuntos.

Pero el problema es que por diagonalización podemos añadir, no sólo quitar, eso no se justifica añadiendo axiomas, que restringen los elementos del modelo.

Esto no lo entiendo. Hay axiomas que exigen que los modelos tengan elementos que sin ellos no tendrían por qué estar. Por ejemplo, el axioma de infinitud obliga a que haya conjuntos infinitos, sin el cual podrían no estar presentes.

¿Cómo se demuestra que el argumento obtenido por diagonalización no pertenece al modelo? No vale decir que no pertenece porque no está, hay que demostrar que esa función que lo define no pertenece a las funciones del modelo explícitamente.

Habría que concretar de a qué te refieres concretamente, pero si entiendo por dónde vas, es mucho más simple que eso: si partes de una enumeración de todos los conjuntos de un modelo y encuentras uno que no está en esa enumeración, entonces no hay nada más que demostrar: como no está en la enumeración de todos los elementos del modelo, no está en el modelo.

Ahora, pertenezca o no a ese modelo, ha de pertenecer a otro,

Eso ya depende de en qué contexto estemos hablando. En muchos casos la respuesta es afirmativa, pero no veo por qué lo afirmas así de categóricamente sin más.

luego por fuerza ha de haber modelos no numerables metamatemáticamente, tenga eso la importancia matemática que tenga, aunque sea irrelevante

No veo la fuerza por ninguna parte. No veo que nada de lo que has dicho implique la existencia de modelos no numerables. De hecho, yo no creo que estemos en condiciones de justificar tal cosa.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Habría que concretar de a qué te refieres concretamente, pero si entiendo por dónde vas, es mucho más simple que eso: si partes de una enumeración de todos los conjuntos de un modelo y encuentras uno que no está en esa enumeración, entonces no hay nada más que demostrar: como no está en la enumeración de todos los elementos del modelo, no está en el modelo.

Pero, ¿cómo lo encuentras?

Eso ya depende de en qué contexto estemos hablando. En muchos casos la respuesta es afirmativa, pero no veo por qué lo afirmas así de categóricamente sin más.

Porque , bueno, pensemos en un número real creado cambiando como es el argumento diagonal de Cantor los números de la diagonalización de un modelo numerable de los números reales, cambiando cada cifra por la siguiente, y el 9 por el 0 dejando los elementos que no son números reales cómo están. El número de la diagonalización no estará en el modelo, pero , ¿me vas a decir que esa combinación de cifras no constituye un número real? ¿Va a a haber números reales que no están en ningún modelo de ZFC? Pues ya sólo con los números reales tenemos un modelo no numerable, o en cualquier modelo numerable nos faltan cifras
 

[Carlos Ivorra]

Pero, ¿cómo lo encuentras?

No entiendo la pregunta. A partir de una enumeración de números reales (todos los de un cierto modelo numerable M) construyes un número real del que puedes razonar que no es ninguno de ellos. ¿Qué tengo que encontrar?

Porque , bueno, pensemos en un número real creado cambiando como es el argumento diagonal de Cantor los números de la diagonalización de un modelo numerable de los números reales, cambiando cada cifra por la siguiente, y el 9 por el 0 dejando los elementos que no son números reales cómo están. El número de la diagonalización no estará en el modelo, pero , ¿me vas a decir que esa combinación de cifras no constituye un número real?

No. Te digo que no es un número real de ese modelo.

¿Va a a haber números reales que no están en ningún modelo de ZFC?

No necesariamente. Un número real que no esté en un modelo, puede estar en otro modelo.

Pues ya sólo con [todos] los números reales tenemos un modelo no numerable, o en cualquier modelo numerable nos faltan cifras

Te he añadido en rojo un "todos" que estaba implícito en tu frase, porque ahí está el problema. Yo no soy capaz de asignar significado alguno en ninguna frase que escribas en la que aparezca la expresión "todos los números reales". Yo no sé qué es eso. Y lo digo de verdad, no es que me haga el tonto. Yo puedo reconocer algunos números reales, pero no tengo ningún criterio para atribuir una interpretación a una afirmación sobre una presunta totalidad de los números reales. A lo sumo, podré razonar que ciertos hechos se van a cumplir para cualquier número real que pueda considerar, pero si no tengo un razonamiento que pruebe que todos los números reales deben cumplir algo u otro que pruebe que existe uno que no lo cumpla, no sé qué sentido tiene decir que "todo número real cumple la propiedad en cuestión" es una afirmación verdadera o falsa.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero ese número de la diagonal que tú dices que no está en los modelos, se puede sumar, restar, multiplicar y dividir con el resto de números, luego sí pertenecería a un modelo, luego cualquier número creado por diagonalización se lo puedes añadir al modelo sin problemas

[Carlos Ivorra]

Pero ese número de la diagonal que tú dices que no está en los modelos, se puede sumar, restar, multiplicar y dividir con el resto de números, luego sí pertenecería a un modelo, luego cualquier número creado por diagonalización se lo puedes añadir al modelo sin problemas

Yo no he dicho que ese número no esté en los modelos, sino que no está en el modelo que diagonalizas. Lo de que se pueda añadir no lo veo trivial en absoluto. Desde luego, lo que no puedes decir es "añado este número y ya está", porque si metes un nuevo número real tienes que meter también todos los conjuntos que pueden definirse a partir de él, que pueden ser muy sofisticados. Yo no sé si podría demostrar eso así, en general. En muchos casos particulares sí, pero en general... ¿Sabrías determinar exactamente qué conjuntos tendrías que añadir a un modelo para que la presencia de un nuevo número real no permita construir un conjunto ausente de hecho en el modelo extendido?

Pero, de todos modos, aunque en efecto pudieras añadir un número real a un modelo, o incluso infinitos de ellos (cosa que yo no estoy negando) eso no justifica la existencia de un presunto modelo que contuviera a "todos" los números reales.

[Raúl Aparicio Bustillo]

  Pero, de todos modos, aunque en efecto pudieras añadir un número real a un modelo, o incluso infinitos de ellos (cosa que yo no estoy negando) eso no justifica la existencia de un presunto modelo que contuviera a "todos" los números reales.

Adoptas una postura muy conservadora y constructivista en lo que he citado, pero no te la puedo rebatir con argumentos lógicos o metamatemáticamente sensatos Sobre lo de que al añadir un número real  al modelo implique añadir más conjuntos no lo veo claro, pero bueno, tampoco es necesario para tu argumento o sea que no es necesaria la aclaración (aunque no digo que no sea bienvenida y me pueda ayudar a entender esta cosa tan compleja llamada ZFC, es curioso que cuando haces matemáticas sin conocer lógica matemática piensas que estás razonando sobre cosas muy simples y es algo complejísimo, creo que es casi imposible que alguien que trabaje en una carrera de ciencias con matemáticas sepa las "piezas" con las que está jugando realmente. Ahora, lo que yo no tengo claro es que Cantor cuando hizo su argumento de diagonalización, tuviera clara la existencia de la paradoja de Skölem, y no pensará que sus cardinalidades fueran absolutas, de la misma forma que no tenía ni idea de que su hipótesis del continuo fuera indecidible y perdiera gran parte de su vida intentanto demostrarla. Nunca he leído nada sobre eso al respecto, o sobre las famosas paradojas, tú siempre dices que la idea de conjunto de Cantor viene a ser la que propone ZFC, pero mucha gente no comparte nada esa idea y la asocia a las ideas de Frege, y sobre eso sí he leído. Pero bueno, eso ya es historia de la matemática, y se sale un poco de lo que es este hilo

[Carlos Ivorra]

Adoptas una postura muy conservadora y constructivista en lo que he citado, pero no te la puedo rebatir con argumentos lógicos o metamatemáticamente sensatos

No creo ser constructivista. Nunca he hablado de que me indiques una forma efectiva de construir modelos de ZFC, entre otras cosas porque eso no existe, ni creo que tenga sentido hablar de conservadurismo, como si estuviéramos valorando un riesgo. Por el contrario, me parece muy poco sólida tu actitud de dar por hecho que "algún modelo existirá" sin aportar un criterio de lo que supone, no digo construir efectivamente ese modelo, sino de especificar cuáles se supone que serán sus elementos, aunque sea de forma no constructiva.

Sobre lo de que al añadir un número real  al modelo implique añadir más conjuntos no lo veo claro,

Pues eso es indudable (y aquí no estoy dando opiniones personales, sino que lo que te digo es objetivo). Para empezar, si añades un número real, tienes que añadir también todos los números reales que pueden formarse a partir de él. Si no estaba \( x \) en el modelo, tampoco podía estar \( x^2 \), ni \( x^3+1 \), ni \( e^x \), etc.

Pero no sólo eso. Un número real puede almacenar mucha información. Por ponerte un caso extremo, existe algo llamado \( 0^\sharp \):

http://en.wikipedia.org/wiki/Zero_sharp

Su definición es muy técnica, pero no es relevante aquí. El caso es que se define como un cierto conjunto de fórmulas del lenguaje de ZFC extendido con infinitas constantes, pero como toda fórmula está determinada por su número de Gödel, también puedes considerar que \( 0^\sharp \) es un cierto subconjunto de \( \mathbb N \), pero todo subconjunto de \( \mathbb N \) puede codificarse como una sucesión de ceros y unos o, equivalentemente, como un número real.

Así pues, a efectos prácticos podríamos considerar que \( 0^\sharp \) es un número real o, mejor dicho, es una propiedad que puede tener o no un número real (pero si existe es único). La existencia de un número real que cumpla la definición de \( 0^\sharp \) no puede demostrarse ni refutarse en ZFC, y tiene numerosas implicaciones, como puedes ver en la página que te he citado.

Por lo tanto, si a un modelo M en el que no existe \( 0^\sharp \) le quieres añadir un número real que cumpla la definición de \( 0^\sharp \), necesariamente tienes que añadirle los conjuntos necesarios para que se cumplen todas las consecuencias de la existencia de \( 0^\sharp \) y para que se dejen de cumplir todas las consecuencias de su no existencia, y dichas consecuencias afectan a la existencia de conjuntos no constructibles, la existencia de modelos de ZFC con cardinales fuertemente inaccesibles, e incluso débilmente compactos, la medibilidad Lebesgue de ciertos subconjuntos de \( \mathbb R \), etc.

Así pues, incorporar un único número real a un modelo puede obligar a alterar radicalmente las características de ese modelo.

Ahora, lo que yo no tengo claro es que Cantor cuando hizo su argumento de diagonalización, tuviera clara la existencia de la paradoja de Skölem, y no pensará que sus cardinalidades fueran absolutas, de la misma forma que no tenía ni idea de que su hipótesis del continuo fuera indecidible y perdiera gran parte de su vida intentanto demostrarla.

Sin duda alguna Cantor no conocía la paradoja de Skolem y creía que sus cardinales eran absolutos.

Nunca he leído nada sobre eso al respecto, o sobre las famosas paradojas, tú siempre dices que la idea de conjunto de Cantor viene a ser la que propone ZFC, pero mucha gente no comparte nada esa idea y la asocia a las ideas de Frege, y sobre eso sí he leído. Pero bueno, eso ya es historia de la matemática, y se sale un poco de lo que es este hilo

Hablamos de cosas distintas. La lógica de primer orden que usa ZFC podría remontarse a los trabajos de Frege, y podría considerarse una simplificación drástica de éstos. Desde luego, Cantor no tuvo nada que ver con ello, ni siquiera Zermelo. Pero eso no tiene nada que ver con lo que te digo de que la idea de conjunto de Cantor (al menos, la idea menos ingenua que se formó a partir del momento en que se dio cuenta de que había que distinguir las "multiplicidades inconsistentes" para evitar paradojas) se corresponde yo diría que casi con total exactitud con la que propone ZFC en el sentido de que cualquier afirmación que Cantor admitiera como demostrada puede demostrarse en ZFC y cualquier afirmación demostrable en ZFC sería aceptada por Cantor.

Eso no tiene nada que ver con los aspectos técnicos de la lógica de ZFC ni con las características metamatemáticas de ZFC en particular y la lógica de primer orden en general. Más concretamente: ponme un ejemplo de teorema de ZFC que consideres que Cantor no aceptaría como válido en su teoría de conjuntos. Pero es importante que hablo de teoremas y no de metateoremas, es decir, no me saques el hecho de que ZFC admite modelos numerables, porque eso no es un teorema de ZFC, sino sobre ZFC (es cierto que puede formalizarse en ZFC, pero eso es otro asunto).

[Raúl Aparicio Bustillo]

No creo ser constructivista. Nunca he hablado de que me indiques una forma efectiva de construir modelos de ZFC, entre otras cosas porque eso no existe, ni creo que tenga sentido hablar de conservadurismo, como si estuviéramos valorando un riesgo. Por el contrario, me parece muy poco sólida tu actitud de dar por hecho que "algún modelo existirá" sin aportar un criterio de lo que supone, no digo construir efectivamente ese modelo, sino de especificar cuáles se supone que serán sus elementos, aunque sea de forma no constructiva.

Tienes razón, ha sido una percepción poco afortunada, básicamente porque yo mismo lo he estado razonando después, no es una disculpa de cortesía para nada:
Además, el proceso de diagonalización se puede aplicar a listas de conjuntos no numerables, siempre y cuando el universo sea bien ordenado, que lo es por el axioma de elección, ¿no? para crear un conjunto nuevo distinto de todos los demás. Luego, el "todos" los conjuntos no puede tener un caracter absoluto. Lo que no termino de entender yo es la postura finitista de Hilbert, ¿por qué rechaza el infinito cuando en el mundo real hay entidades que lo son? Por ejemplo, el tiempo, que no tiene ni principio ni fin.  Pudo haber un Big Bang en Física y quizás antes nada, pero el tiempo es inmutable e imperdurable tal como nosotros podemos percibirlo. Tampoco entiendo como no se dió cuenta Cantor de que su argumento de diagonalización se podía aplicar también a colecciones no numerables, y por lo tanto, la totalidad de los conjuntos era algo que carecía de sentido en un sentido absoluto

[Carlos Ivorra]

Además, me acabo de dar cuenta de una cosa, aunque existieran modelos no numerables en sentido absoluto, el argumento de diagonalización siempre se podría emplear para crear un conjunto nuevo distinto de todos los demás.

Eso no lo veo claro.

Lo que no termino de entender yo es la postura finitista de Hilbert, ¿por qué rechaza el infinito cuando en el mundo real hay entidades que lo son?

Hilbert no rechaza el infinito. Sólo dice que para tratar con el infinito es necesario apoyarse en una teoría forma, mientras que para analizar si una teoría formal cumple los requisitos deseables para que sea apropiada a la hora de hacer matemáticas (y en particular, para hablar de todos los infinitos del "paraíso de las matemáticas", que es como Hilbert llamó a la teoría cantoriana de conjuntos) es necesario restringirse a técnicas finitistas.

Lo de si dichas técnicas tienen que ser estrictamente finitistas o si es posible tratar en cierta medida con conjuntos infinitos es algo que no tiene sentido analizar en el pensamiento de Hilbert, pues simplemente él creía que las técnicas finitistas podrían ser suficientes para ese propósito. No creo que exigiera el finitismo estricto pensando que ir más allá era inadmisible, sino más bien porque pensaba que no hacía falta ir más allá para el fin concreto de fundamentar la matemática.

Por ejemplo, el tiempo, que no tiene ni principio ni fin.  Pudo haber un Big Bang en Física y quizás antes nada, pero el tiempo es inmutable e imperdurable tal como nosotros podemos percibirlo.

No veo por qué habría uno de tener eso en cuenta a la hora de determinar qué es un argumento riguroso en ausencia de un sistema axiomático formal.

Tampoco entiendo como no se dió cuenta Cantor de que su argumento de diagonalización se podía aplicar también a colecciones no numerables, y por lo tanto, la totalidad de los conjuntos era algo que carecía de sentido en un sentido absoluto

Esto es lo mismo que has dicho antes y sigo sin entender a qué te refieres exactamente.