[aura]

Sea  \( x^{\prime\prime}+bx^{\prime}+cx=0 \) donde \( b \) y \( c \) son constantes.
Si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones de primer orden,

\( x^{\prime} =y \)

\( y^{\prime}=-cx-by \)

demostrar que si \( b^2-4c >0 \) entonces la primera ecuación tiene una única solución \( x(t) \) para cualquier condición inicial de la forma

\( x(0)=u, \ x^{\prime}(0)=v \)

Si \( b^2-4c >0 \) ¿qué condiciones debemos pedir sobre \( b \) y \( c \) para asegurarnos que \( \displaystyle\lim_{t \to \infty}x(t)=0 \) para cualquier solución \( x(t) \)?

[ingmarov]

Considera la solución de la forma \( \displaystyle x=ce^{my} \) donde \( c \) y \( m \) son constantes, encuentra sus derivadas y sustituye en la ecuación diferencial. Verás que es sencillo. 

[aura]

¿ y una vez teniendo eso cómo lo relaciono con las condiciones iniciales?

Aun no sé muy bien manejar ese tema.

[ingmarov]

Primero hazlo y si quieres anota el resultado.

[aura]

Esto es lo que he hecho:

\(  x^{\prime}=cme^{my} \)
\( x^{\prime\prime}=cm^2e^{my} \)

sustituyendo en la ecuación me queda:

\( (cm^2e^{my})+b(cme^{my})+ce^{my}  =  c(m^2+bm+1)e^{my}=0 \)

De aquí ya no sé que hacer. Espero puedas ayudarme.

[ingmarov]

¡Muy bien!, ahora debes notar que la ecuación que te ha resultado sólo se cumple si 
\( (m^2+bm+1)=0 \) ya que \( c \) y \( e^{mx} \) no serán cero.
Por tanto para esta ecuación de orden dos tienes dos soluciones dadas por los dos valores de \( m \).
Para el valor inicial tienes a \( c \), esta condición inicial tendrá solución única. Por dos razones; lo primero es que cuando encontramos los valores de \( m \), solo hemos encontrado una "familia" de funciones que cumplen la ecuación diferencial. Y al calcular \( c \) encontramos una solución en dicha "familia" que cumple con la condición inicial.

[pierrot]

Considera la solución de la forma \( \displaystyle x=ce^{my} \) donde \( c \) y \( m \) son constantes, encuentra sus derivadas y sustituye en la ecuación diferencial. Verás que es sencillo. 

Llamar \( c \) a esa constante genérica es una muy mala idea porque se confunde con la \( c \) de la ecuación \( x^{\prime\prime}+bx^{\prime}+cx=0 \). Ese error ha hecho que aura haya llegado a esto:

\( (cm^2e^{my})+b(cme^{my})+ce^{my}  =  c(m^2+bm+1)e^{my}=0 \)

(Allí ha confundido a las dos \( c \), que como dije, denotan cosas distintas).


Por otra parte, la letra del problema

demostrar que si \( b^2-4c >0 \) entonces la primera ecuación tiene una única solución \( x(t) \) para cualquier condición inicial de la forma

\( x(0)=u, \ x^{\prime}(0)=v \)

es polémica porque, para la existencia y unicidad de solución con esos datos iniciales, es irrelevante que sea \( b^2-4c >0 \) o \( b^2-4c\leq 0 \). Lo que cambia es la forma de las soluciones que conforman la base del espacio de soluciones (recuerda que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden \( n \) es un espacio vectorial de dimensión \( n \)).

Haciendo el cambio de variable \( y=x' \) (que es el que sugería la letra del ejercicio), ocurre que el problema de resolver una ecuación diferencial de orden dos se reduce al de resolver una de orden uno, a costa de aumentar la dimensión. Pero si

\( \begin{pmatrix}{x'}\\{y'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-c}&{-b}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}{x(0)}\\{y(0)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix} \)

la solución es

\( \begin{pmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{pmatrix}=e^{At}\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix} \)

donde \( e^{At} \) es la matriz exponencial de \( At \) siendo

\( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-c}&{-b}\end{pmatrix} \)

Y para determinar \( e^{At} \) hay que saber si \( A \) es diagonalizable o no. Fíjate que el polinomio característico de \( A \) coincide con lo que usualmente se llama ecuación característica de \( x^{\prime\prime}+bx^{\prime}+cx=0 \).

[ingmarov]

Considera la solución de la forma \( \displaystyle x=ce^{my} \) donde \( c \) y \( m \) son constantes, encuentra sus derivadas y sustituye en la ecuación diferencial. Verás que es sencillo. 

Llamar \( c \) a esa constante genérica es una muy mala idea porque se confunde con la \( c \) de la ecuación \( x^{\prime\prime}+bx^{\prime}+cx=0 \). Ese error ha hecho que aura haya llegado a esto:

\( (cm^2e^{my})+b(cme^{my})+ce^{my}  =  c(m^2+bm+1)e^{my}=0 \)

(Allí ha confundido a las dos \( c \), que como dije, denotan cosas distintas).


Por otra parte, la letra del problema

demostrar que si \( b^2-4c >0 \) entonces la primera ecuación tiene una única solución \( x(t) \) para cualquier condición inicial de la forma

\( x(0)=u, \ x^{\prime}(0)=v \)

es polémica porque, para la existencia y unicidad de solución con esos datos iniciales, es irrelevante que sea \( b^2-4c >0 \) o \( b^2-4c\leq 0 \). Lo que cambia es la forma de las soluciones que conforman la base del espacio de soluciones (recuerda que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden \( n \) es un espacio vectorial de dimensión \( n \)).

Haciendo el cambio de variable \( y=x' \) (que es el que sugería la letra del ejercicio), ocurre que el problema de resolver una ecuación diferencial de orden dos se reduce al de resolver una de orden uno, a costa de aumentar la dimensión. Pero si

\( \begin{pmatrix}{x'}\\{y'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-c}&{-b}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}{x(0)}\\{y(0)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix} \)

la solución es

\( \begin{pmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{pmatrix}=e^{At}\begin{pmatrix}{u}\\{v}\end{pmatrix} \)

donde \( e^{At} \) es la matriz exponencial de \( At \) siendo

\( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-c}&{-b}\end{pmatrix} \)

Y para determinar \( e^{At} \) hay que saber si \( A \) es diagonalizable o no. Fíjate que el polinomio característico de \( A \) coincide con lo que usualmente se llama ecuación característica de \( x^{\prime\prime}+bx^{\prime}+cx=0 \).

¡Tienes razón, qué error! Gracias pabloN.

[aura]

Muchas gracias por su ayuda.

Una pregunta más, ¿podrían explicarme acerca de las condiciones para que se cumpla el límite?

[pierrot]

Muchas gracias por su ayuda.

Una pregunta más, ¿podrían explicarme acerca de las condiciones para que se cumpla el límite?

Si \( b^2-4c>0 \), la matriz \( \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-c}&{-b}\end{pmatrix} \) tiene dos valores propios reales y distintos por lo que es diagonalizable. Necesitas garantizar que esos dos valores propios sean negativos (¿por qué?).