Autor Tema: Continuidad de la solución del problema de valor inicial. Valor inicial.

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14 Mayo, 2014, 04:35
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lindtaylor

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Hola. Estaba viendo problemas del libro Perko y me topé con el siguiente problema:

Sea A matriz de \[ n\times n \] teniendo autovalores reales y distintos. Sea \[ \phi(t,x_0) \] la solución del problema de valor inicial \[ \dot{x}=Ax, x(0)=x_0 \].
Muestre que para cada t real fijo, \[ \lim_{y_0\to x_0} \phi(t,y_0)=\phi(t,x_0). \]

Tengo lo siguiente:
Como A tiene n autovalores distintos reales, entonces es diagonalizable, y el sistema \[ \dot{y}=diag[\lambda_1,\ldots, \lambda_n]y \]  tiene solución \[  y(t)=[e^{\lambda_1 t}c_1,\ldots, e^{\lambda_n t}c_n] \] con c_i constantes.
Luego \[ x(t) \] está dado por \[ x(t)=Pdiag[e^{\lambda_1 t},\ldots, e^{\lambda_n t}]P^{-1}x_0 \].
Antes de todo eso, se hizo el cambio \[ y(t)=P^{-1}x(t) \], y de acá veo algo que es extraño. Si \[ y_0\to x_0 \], entonces \[ P^{-1}\to I \], lo cual no puede pasar, pues \[ P^{-1} \] es fijo...
....

14 Mayo, 2014, 10:09
Respuesta #1

Fallen Angel

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No es correctoeso que dices al final, lo de que \[ P^{-1}\rightarrow I \].
Para el sistema \[ x'(t)=Ax(t) \] tienes una familia de soluciones  de la forma \[ x(t) \]
Si ahora impones una condición incial, \[ x(0)=x_{0} \], de toda esa familia de soluciones existe una única que cumple tu condición, para cualquier \[ x_{0}\in \mathbb{R}^{n} \]
De esta forma añadimos otro parámetro a nuestras soluciones, de forma que tenemos  \[ \phi (z) \] la función que a cada \[ z \]
le asocia la solución del problema \[ x'(t)=Ax(t), \ x(0)=z \].
Lo que te piden es que muestres la continuidad de \[ \phi \].

Creo que te habías liado un poco con la notación que usan y estabas confundiendo algún significado, espero que esto pueda aclararte algo, si aún así no consigues probarlo no tienes más que seguir preguntando. :)

Un saludo.
La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré