Autor Tema: Convergencia de serie.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Agosto, 2007, 07:11 am
Leído 1506 veces

Robottero

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 213
  • Karma: +0/-0
¿Para qué valores de \( \alpha \) la siguiente serie converge?
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{{n^{n^{\alpha}}}}-1 \)

Modificado!!

21 Agosto, 2007, 09:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,558
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 ¿Estás seguro de que la serie es esa? El término general nunca converge a 0, ¿no?.

Saludos.

22 Agosto, 2007, 07:36 pm
Respuesta #2

physlord

  • nonses fuf
  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 47
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • My Blog | Un simple blog sobre Mates
Si \( \alpha \leq 1 \) con \( \alpha \) entero, entonces la serie es

\( \begin{displaymath}\sum_{i = 1}^{n} n^{\frac{1}{n^{\alpha}}} \end{displaymath} \)

\( \begin{displaymath}\sum_{i = 1}^{n} \sqrt[n^{\alpha}]{n} \end{displaymath} \)

converge ¿o no?

22 Agosto, 2007, 10:57 pm
Respuesta #3

millo

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 123
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Aún así persiste el problema que menciona el_manco.
Si \( a\geq1, x\geq{0} \), \( a^x\geq{1} \) y en este caso no importa qué valor tome \( \alpha \), \( n^{-\alpha}>0 \).
Lo ves?

Capaz que falta un signo en el exponente o algo así.

23 Agosto, 2007, 06:50 am
Respuesta #4

Robottero

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 213
  • Karma: +0/-0
¿Para qué valores de \( \alpha \) la siguiente serie converge?
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{{n^{n^{\alpha}}}}-1 \)

Modificado!!


En realidad el problema fue planteado con una resta de 1 en cada término... sin embargo pensé que eso no afectaría el tipo de convergencia, pero posiblemente esté equivocado.

¿Ahora sí tiene sentido? ¿Cómo determinarian los valores de \( \alpha \)?

23 Agosto, 2007, 12:52 pm
Respuesta #5

Alex123

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 209
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Lo primero es ver la condición necesaria para la convergencia, así ya se descartan un montón.

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{n^{n^{\alpha}}}-1}=\left\{\begin{matrix} +\infty & \mbox{ si }& \alpha\geq{0}\\0 & \mbox{si}& \alpha<0\end{matrix} \right \)

Para la parte de \( \alpha<0 \) observamos que:\( {n^{n^{\alpha}}}-1=e^{n^{\alpha}\cdot{\ln(n)}}-1 \) que como es menor que 0 escribimos: \( {n^{n^{\alpha}}}-1=e^{\frac{\ln(n)}{n^{\left |{\alpha}\right |}}}-1 \) luego por comparación de infinitos tenemos que: \( \frac{\ln(n)}{n^{\left |{\alpha}\right |}}\rightarrow{0} \)

Hasta ahora sabemos que no puede ser convergente para \( \alpha\geq{0} \)

Para los menores que 0.
Ahora para ver la convergencia usamos el criterio de comparación por paso al límite

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n^{n^{\alpha}}-1}{\displaystyle\frac{\ln(n)}{n^{|\alpha|}}}}=1 \) ( \( e^x-1\sim{x} \) si \( x\rightarrow{0} \))

Y entonces puedes estudiar la convergencia de \( \displaystyle\sum{\displaystyle\frac{\ln(n)}{n^{|\alpha|}}} \)

Saludos

23 Agosto, 2007, 08:00 pm
Respuesta #6

millo

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 123
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Ahora sí, Robottero  :)