Autor Tema: Sobre un conjunto que no es completo, con una métrica definida en él.

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11 Mayo, 2014, 12:38 pm
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lindtaylor

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Tengo el siguiente problema y me gustaría ver si al idea está bien.


Considere \( E=\left\{x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}: \frac{|x(n)|}{\sqrt{n}}\ acotada\ \forall n\in\mathbb{N}\right\} \) dotado de la métrica \( d(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{|x(i)-y(i)|}{i^2} \).

a) Sea \( B=\left\{\sqrt{i}e_i\right\}_{i=1}^\infty \) (donde \( e_i=(0,0,\ldots, 1,0,0,\ldots )  \) sólo en la i-ésima posición) Decida si B es totalmente acotado.
b) Demuestre que E no es completo.

Para (a) Tengo que la sucesión \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}=(\sqrt{n}e_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es de Cauchy, pues con \( n\not=m \), \(  d(x_n,x_m)=\frac{\sqrt{n
}}{n^2}+\frac{\sqrt{m}}{m^2}<\epsilon \) si \( n,m \) son suficientemente grandes, luego B es totalmente acotado.

Para (b), tengo que la sucesión anterior es de Cauchy, pero no converge, luego B no es completo.
¿Está bien?
Pd: Creo que para (b) lo que usé no sirve, pues converge a cero...
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