Autor Tema: Sobre conjunto de funciones continuas separable. Carothers.

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29 Abril, 2014, 07:30 am
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lindtaylor

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Una consulta, en el archivo adjunto se dice que \( ||f-g||_\infty\leq \epsilon \), lo cual logro ver de forma intuitiva, pero no sé escribirlo formalmente. ¿Cómo se puede demostrar eso?
Desde ya gracias.




Desarrolando llego a lo siguiente:
Sea  \( f\in C[0,1] \) y \( \epsilon>0 \), \( f \) es uniformemente continua en \( [0,1] \), entonces \( \forall\epsilon>0\exists \delta_1>0 \forall x,y\in [0,1], |x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon/2 \).
Por prop. Arquimediana \( \exists N_1\in N, 1/N_1<\delta_1 \), luego \( \forall n>N_1, 1/n<\delta_1. \)

Sea \( D=\left\{g:[0,1]\to R: g\ funcion\ poligonal, g(k/n)=f(k/n), k=0,\ldots, n, \ algun\ n\in N\right\} \)

Observación: Para todo \( g\in D \), \( g \) es uniformemente continua en tex][0,1][/tex], entonces \( \forall \epsilon>0 \exists \delta_2>0\forall x,y\in [0,1], |x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\epsilon/2 \).
Nuevamente por Prop. Arquimediana existe \( N_2\in N, \forall n>N_2, 1/n<\delta_2 \)

Sea \( g\in D \) con \( g(k/n)=f(k/n), k=0,\ldots, n \), tal que \( n>N_1,N_2. \)
Ahora, para \( x\in [0,1] \):

Si \( x=k/n \Rightarrow |f(x)-g(x)|=|f(k/n)-g(k/n)|=|f(k/n)-f(k/n)|=0<\epsilon \).\\

Si \( x\not= k/n \) para todo \( k \), entonces \( x\in (k/n,(k+1)/n) \) algún \( k \).
Ahora \( |f(x)-g(x)|\leq |f(x)-g(k/n)|+|g(x)-g(k/n)|, \) y \( |f(x)-g(k/n)|=|f(x)-f(k/n)| \) y también \( x-k/n<1/n<\delta_1 \), luego \( |f(x)-g(k/n)|<\epsilon/ \)2, además  \( |g(x)-g(k/n)|<\epsilon/2 \), pues \( x-k/n<1/n<\delta_2. \)
Por tanto \( \forall x\in [0,1]\ , |f(x)-g(x)|<\epsilon \). Por tanto \( ||f-g||_\infty<\epsilon. \)

¿Es correcto?
Desde ya gracias.
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