[lindtaylor]

Hola. Estaba viendo problemas del libro Perko y me topé con el siguiente problema:

Sea A matriz de \( n\times n \) teniendo autovalores reales y distintos. Sea \( \phi(t,x_0) \) la solución del problema de valor inicial \( \dot{x}=Ax, x(0)=x_0 \).
Muestre que para cada t real fijo, \( \lim_{y_0\to x_0} \phi(t,y_0)=\phi(t,x_0). \)

Tengo lo siguiente:
Como A tiene n autovalores distintos reales, entonces es diagonalizable, y el sistema \( \dot{y}=diag[\lambda_1,\ldots, \lambda_n]y \)  tiene solución \(  y(t)=[e^{\lambda_1 t}c_1,\ldots, e^{\lambda_n t}c_n] \) con c_i constantes.
Luego \( x(t) \) está dado por \( x(t)=Pdiag[e^{\lambda_1 t},\ldots, e^{\lambda_n t}]P^{-1}x_0 \).
Antes de todo eso, se hizo el cambio \( y(t)=P^{-1}x(t) \), y de acá veo algo que es extraño. Si \( y_0\to x_0 \), entonces \( P^{-1}\to I \), lo cual no puede pasar, pues \( P^{-1} \) es fijo...

[Fallen Angel]

No es correctoeso que dices al final, lo de que \( P^{-1}\rightarrow I \).
Para el sistema \( x'(t)=Ax(t) \) tienes una familia de soluciones  de la forma \( x(t) \)
Si ahora impones una condición incial, \( x(0)=x_{0} \), de toda esa familia de soluciones existe una única que cumple tu condición, para cualquier \( x_{0}\in \mathbb{R}^{n} \)
De esta forma añadimos otro parámetro a nuestras soluciones, de forma que tenemos  \( \phi (z) \) la función que a cada \( z \)
le asocia la solución del problema \( x'(t)=Ax(t), \ x(0)=z \).
Lo que te piden es que muestres la continuidad de \( \phi \).

Creo que te habías liado un poco con la notación que usan y estabas confundiendo algún significado, espero que esto pueda aclararte algo, si aún así no consigues probarlo no tienes más que seguir preguntando.

Un saludo.