Autor Tema: Abstracción de Implicaciones

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15 Marzo, 2014, 07:48 pm
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flynight

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Hola. :)

Estoy trabajando con implicaciones y necesito una pequeña ayuda. Supongamos que tengo una implicación:

\( p \ \Rightarrow \ q \)

Resulta que estoy comparando otra implicación diferente, de la forma:

\( \neg q \ \Rightarrow \ \neg p \)

La cuál por la Ley del Contrarrecíproco, es cierta. Sucede que los enunciados \( p \) y \( q \) (¿llamarlos "enunciados" es correcto?) son demasiados extensos como para escribir en el papel lo siguiente:

\( \left(p \ \Rightarrow \ q\right) \ \Leftrightarrow \ \left(\neg q \ \Rightarrow \ \neg p\right) \)

Entonces, lo que se me ocurrió es "notar" de forma equivalente la primera y segunda implicación como:

\( \begin{matrix} \mathcal{H}_1 = \left(p \ \Rightarrow \ q\right) & & &  \mathcal{H}_2 = \left(\neg q \ \Rightarrow \ \neg p\right)\end{matrix} \)

Para luego poder escribir, de manera "compacta", que:

\( \mathcal{H}_1 \ \Leftrightarrow \ \mathcal{H}_2 \)

Aquí van mis dudas:
  • ¿Es correcto poder compactar de tal forma las implicaciones en \( \mathcal{H}_1 \) y \( \mathcal{H}_2 \)?
  • De ser así, ¿La simbología utilizada para definir \( \mathcal{H}_1 \) y \( \mathcal{H}_2 \) es correcta?

23 Abril, 2014, 05:47 am
Respuesta #1

arkady-svidrigailov

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no sé si hacés diferencia entre las flechitas \( \to \) y \( \implies \), yo con las cosas que dicen por acá ya no sé ni cómo me llamo; pero te puedo decir que no es que por ley del contrarrecíproco son iguales, sino que son lógicamente equivalentes, resultado de que si una es verdadera (falsa), la otra también lo es.
Y sí es correcto, digamos, definir por \( H_1 \) por ejemplo otra proposición, en este caso \( p \to q \), es lo que se dice una proposición compuesta, y \( p \) y \( q \) serían proposiciones atómicas o primitivas.

23 Abril, 2014, 09:07 am
Respuesta #2

Dani

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Técnicamente tendría que ser \( \mathcal{H}_1 \equiv{} \left(p \ \Rightarrow \ q\right) \) y \( \mathcal{H}_2 \equiv{} \left(\neg q \ \Rightarrow \ \neg p\right)\end{matrix} \). El símbolo \( = \) se reserva para representar un relator diádico que relaciona dos términos (valga la redundancia), es decir, cadenas de caracteres que no representan afirmaciones o fórmulas (como \( p \), \( q \), \( p \Rightarrow{q} \), etc.), como por ejemplo números, mientras que el símbolo \( \equiv{} \) es usado para definir fórmulas. Y sintácticamente sí es correcto compactar una fórmula cualquiera en otra fórmula más corta (esta es la esencia de una definición).

(No sé si existen otros autores que manejen o acepten la notación que tú utilizas; yo me baso en el líbro de Lógica de Carlos Ivorra.)

23 Abril, 2014, 03:20 pm
Respuesta #3

flynight

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no sé si hacés diferencia entre las flechitas \( \to \) y \( \implies \), yo con las cosas que dicen por acá ya no sé ni cómo me llamo;

Hasta donde yo sé, siempre he usado (por lo menos en matemática) el símbolo de doble línea (\( \Rightarrow , \Leftarrow, \Leftrightarrow \)). El símbolo \( \to \) suelo utilizarlo cuando me refiero a cuando una variable tiende hacia algún valor específico, y quedaría confuso si lo utilizara para expresar las implicaciones. Desconozco si el uso que les doy es el correcto, pero asumo que debido a que la tendencia de una variable se denota comúnmente en el ámbito matemático como \( x \to x_0 \), entonces evito usar ese símbolo para expresar las relaciones lógicas. ::)

pero te puedo decir que no es que por ley del contrarrecíproco son iguales, sino que son lógicamente equivalentes, resultado de que si una es verdadera (falsa), la otra también lo es.

Entiendo a que te refieres. En realidad es porque una proposición compuesta implica la otra, y viceversa. Es una tautología.

Técnicamente tendría que ser \( \mathcal{H}_1 \equiv{} \left(p \ \Rightarrow \ q\right) \) y \( \mathcal{H}_2 \equiv{} \left(\neg q \ \Rightarrow \ \neg p\right)\end{matrix} \). El símbolo \( = \) se reserva para representar un relator diádico que relaciona dos términos (valga la redundancia), es decir, cadenas de caracteres que no representan afirmaciones o fórmulas (como \( p \), \( q \), \( p \Rightarrow{q} \), etc.), como por ejemplo números, mientras que el símbolo \( \equiv{} \) es usado para definir fórmulas. Y sintácticamente sí es correcto compactar una fórmula cualquiera en otra fórmula más corta (esta es la esencia de una definición).

(No sé si existen otros autores que manejen o acepten la notación que tú utilizas; yo me baso en el líbro de Lógica de Carlos Ivorra.)

De hecho, me parece mucho más correcta la notación que utilizas. Sin embargo, el problema que tengo es que el símbolo \( \equiv{} \) lo uso para representar congruencias entre números bajo un módulo específico, como por ejemplo:

\( x \equiv a \pmod{b} \)

Y por esta razón no puedo (no "debería") reutilizar el mismo símbolo para representar una "compactación" de una proposición compuesta, dado que el uso que le doy a \( \equiv \) no tiene nada que ver con lógica, y se puede prestar a malas interpretaciones en la notación. De todas formas, el símbolo \( = \) no me convence tampoco, y sobre todo porque lo uso para igualar fórmulas matemáticas. :banghead: Le daré un vistazo al libro de Lógica de Carlos Ivorra.

¿No tienen idea si existe algún estándar de símbolos matemáticos-lógicos, o algo similar? ???

23 Abril, 2014, 10:26 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Hasta donde yo sé, siempre he usado (por lo menos en matemática) el símbolo de doble línea (\( \Rightarrow , \Leftarrow, \Leftrightarrow \)). El símbolo \( \to \) suelo utilizarlo cuando me refiero a cuando una variable tiende hacia algún valor específico, y quedaría confuso si lo utilizara para expresar las implicaciones. Desconozco si el uso que les doy es el correcto, pero asumo que debido a que la tendencia de una variable se denota comúnmente en el ámbito matemático como \( x \to x_0 \), entonces evito usar ese símbolo para expresar las relaciones lógicas. ::)

El uso que haces de \( \Rightarrow \) es correcto. Tampoco pasaría nada si usaras \( \rightarrow \) en su lugar, pero tan lícito es usar uno como otro. De lo que no hay ninguna necesidad es de usar los dos e introducir matices entre usar el uno o el otro.

En cuanto a lo de que si usas \( \rightarrow \) se podría confundir con el uso de este signo en el cálculo de límites, te invito a que muestres un ejemplo donde alguien realmente podría confundir uno y otro uso. Muy rebuscado tendrá que ser. Incluso, puestos a tentar al diablo, si dices \( (x\rightarrow 0)\rightarrow (\cos x\rightarrow 1) \), no creo que nadie pueda dudar que las flechas de los extremos indican convergencia y la del medio es una implicación.

No puedes aspirar a dar un único uso a cada signo: nadie descarta escribir \( p(x)=\sum\limits_{i=0}^5 x^i \) por miedo a que uno pueda pensar que \( i=\sqrt{-1} \).

De hecho, me parece mucho más correcta la notación que utilizas. Sin embargo, el problema que tengo es que el símbolo \( \equiv{} \) lo uso para representar congruencias entre números bajo un módulo específico, como por ejemplo:

\( x \equiv a \pmod{b} \)

Y por esta razón no puedo (no "debería") reutilizar el mismo símbolo para representar una "compactación" de una proposición compuesta, dado que el uso que le doy a \( \equiv \) no tiene nada que ver con lógica, y se puede prestar a malas interpretaciones en la notación. De todas formas, el símbolo \( = \) no me convence tampoco, y sobre todo porque lo uso para igualar fórmulas matemáticas. :banghead: Le daré un vistazo al libro de Lógica de Carlos Ivorra.

Ésa es la cuestión. En mi libro de lógica hay muchos contextos en los que sería peligroso confundir la identidad de dos fórmulas (o "compactación", como dices tú) con el signo =. Por ejemplo, conviene distinguirlos en expresiones como:

\( x\neq y\equiv \lnot (x=y) \),

donde hay que entender que \( x\neq y \) es un convenio para abreviar \( \lnot (x=y) \).

Pero habrá otros contextos en los que no haya riesgo de confusión (por ejemplo, si trabajas con el cálculo proposicional, en el que las fórmulas no contienen nunca el signo =) y puedes sin problema usar = en lugar de \( \equiv \).

El hecho de que la notación se solape con la de las congruencias no debería preocuparte. Si en algún contexto, por raro que sea, pudiera haber riesgo de confusión, se advierte y ya está.

¿No tienen idea si existe algún estándar de símbolos matemáticos-lógicos, o algo similar? ???

El uso de los signos matemáticos es bastante estándar, pero eso no impide que haya pequeñas variantes dialectales. Cuando leas cualquier texto, sólo tienes que preocuparte, si notas algo extraño, de ver si se está usando algún convenio ligeramente distinto de los que estés acostumbrado a usar, pero es difícil que sea nada especialmente traumático. No es raro que veas usar \( \rightarrow \) donde tú usas \( \Rightarrow \), hay quien usa \( \& \) en vez de \( \land \), o incluso he visto usar \( \supset \) en vez de \( \Rightarrow \), pero a todo se acostumbra uno. Incluso algún loco hay que prefiere usar \( \bigvee \) y \( \bigwedge \) en lugar de \( \exists \) y \( \forall \), cuando le dejan.  ;D

24 Abril, 2014, 12:24 am
Respuesta #5

arkady-svidrigailov

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Carlos, mirá esto:
Some logicians (Kenneth Ross, Charles Wright) draw a firm distinction between the conditional connective (the syntactic sign "→"), and the implication relation (the formal object denoted by the double arrow symbol "⇒"). These logicians use the phrase not p or q for the conditional connective and the term implies for the implication relation. Some explain the difference by saying that the conditional is the contemplated relation while the implication is the asserted relation. In most fields of mathematics, it is treated as a variation in the usage of the single sign "⇒," not requiring two separate signs. Not all of those who use the sign "→" for the conditional connective regard it as a sign that denotes any kind of object, but treat it as a so-called syncategorematic sign, that is, a sign with a purely syntactic function. For the sake of clarity and simplicity in the present introduction, it is convenient to use the two-sign notation, but allow the sign "→" to denote the boolean function that is associated with the truth table of the material conditional.
...
P ⇒ Q if and only if the proposition P → Q is a tautology.


si entiendo bien lo que dice, es la distinción que yo hago. fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

24 Abril, 2014, 01:25 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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Carlos, mirá esto:
Some logicians (Kenneth Ross, Charles Wright) draw a firm distinction between the conditional connective (the syntactic sign "→"), and the implication relation (the formal object denoted by the double arrow symbol "⇒"). These logicians use the phrase not p or q for the conditional connective and the term implies for the implication relation. Some explain the difference by saying that the conditional is the contemplated relation while the implication is the asserted relation. In most fields of mathematics, it is treated as a variation in the usage of the single sign "⇒," not requiring two separate signs. Not all of those who use the sign "→" for the conditional connective regard it as a sign that denotes any kind of object, but treat it as a so-called syncategorematic sign, that is, a sign with a purely syntactic function. For the sake of clarity and simplicity in the present introduction, it is convenient to use the two-sign notation, but allow the sign "→" to denote the boolean function that is associated with the truth table of the material conditional.
...
P ⇒ Q if and only if the proposition P → Q is a tautology.


si entiendo bien lo que dice, es la distinción que yo hago. fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

No me fiaría mucho de esa referencia. Parece estar escrita por filósofos (que tienen, por tanto, cierta tendencia a filosofar), están tratando de explicar una paradoja, e introducen una notación atípica que les parece que les ayudará a explicarla, aunque si lees la página de discusión (donde dice Talk, arriba del todo) parece que ellos mismos no acaban de entender la paradoja. La explicación es tan simple como que la tortuga intenta tratar el modus ponens como un axioma en lugar de como una regla de inferencia. De hecho, si la tortuga interviniera en la discusión de la Wikipedia podría repetir la paradoja usando sus \( \Rightarrow \) y la distinción que tratan de hacer no les serviría de nada.

Fíjate que reconocen lo que yo te digo y que he puesto en negrita en tu cita: que en la mayor parte de los campos de las matemáticas \( \rightarrow \) y \( \Rightarrow \) se tratan como sinónimos. Yo me atrevería a decir que en la totalidad de los campos de las matemáticas (entendiendo "matemáticas" como la teoría de conjuntos con la lógica de primer orden subyacente) se tratan como sinónimos. Naturalmente que cualquiera es libre de introducir todos los matices y sutilezas que quiera y acompañarlos de la notación oportuna, pero esa distinción, tal vez la hagan "some logicians", pero no la encontrarás en ningún libro que exponga la lógica de primer orden que se usa habitualmente en matemáticas, al menos si se expone pensando en usarla y no en filosofar sobre ella.

Por ejemplo, aquí

http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic

tienes una panorámica de la lógica de primer orden, y verás que de vez en cuando usan \( \Leftrightarrow \) en vez de \( \leftrightarrow \) sin ninguna razón en particular.

Si miras en

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols

Verás que te presenta \( \Rightarrow, \rightarrow, \supset \) como sinónimos, al igual que lo son \( \lnot,\sim \)

Eso es lo estándar. El matiz al que te refieres no ayuda en nada a entender la lógica matemática tal y como se usa en los textos de matemáticas, más bien tiende a confundir. Según el párrafo que citas habría que distinguir entre "no p o q" y "p implica q", como si fueran cosas distintas. Si la distinción es que \( \lnot p\lor q \) y \( p\rightarrow q \) son fórmulas distintas (aunque equivalentes), eso ya se ve (aunque se puede discutir, si una se define como abreviatura de la otra), pero pretender que sean "esencialmente cosas distintas", pues... no digo que no se pueda filosofar sobre ello, pero a efectos prácticos son ganas de liar.