Autor Tema: Interpretación de un Axioma en forma simbólica

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21 Abril, 2014, 09:43 pm
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arkady-svidrigailov

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Hola,
tengo una duda sobre los conjuntos universales, hablando en teoría de conjuntos, o en lógica de predicados, digamos: cuando tengo el siguiente axioma de la geometría euclidiana: \( \forall P, Q \; \exists ! r : P \neq Q \to P, Q \in r \).
Yo sé que \( P \) y \( Q \) son variables que tienen por universo (del discurso o como quieran llamarle) el conjunto de puntos del plano. Ahora la variable \( r \) tiene por universo el conjunto de las rectas en el espacio, entonces, El conjunto universal, en el sentido del conjunto que contiene a todos los elementos en consideración, ¿es en este caso el conjunto de los puntos y las rectas del espacio? O cada variable tiene su universo y es incorrecto pretender tener uno solo...
Gracias.

22 Abril, 2014, 12:55 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Pues todo depende de qué sistema lógico estés suponiendo. En cualquier caso, para que lo que planteas tenga sentido, tiene que tratarse de una lógica bastante diferente de la que se usa realmente en matemáticas.

Por ejemplo, si hablamos de teoría de conjuntos, simplemente no podrías plantear el axioma como lo planteas. Habría que fijar un conjunto \( \mathcal P \) de puntos y un conjunto \( \mathcal R \) de rectas y el axioma sería:

\( \forall PQ\in \mathcal P(P\neq Q\rightarrow \exists ! r\in \mathcal R\ P, Q\in r) \)

Nota además que, en cualquier caso, sería incorrecto poner el \( \exists !r \) delante de \( P\neq Q \), como tú haces.

En el contexto de la lógica (habitual) de la teoría de conjuntos, el concepto de "universo" que planteas ni siquiera tiene sentido. No hay nada que pueda llamarse "el universo de una variable". Salvo que entiendas que "el universo" de cualquier variable es la clase de todos los conjuntos. Si quieres restringir la variación de una variable, tienes que indicar explícitamente un conjunto, como he hecho yo, con los conjuntos \( \mathcal P \) y \( \mathcal R \).

En el caso más general de la lógica de predicados, podrías definir lenguajes formales con variables de distintos tipos, pero entonces, más que preguntar qué es correcto y qué no, tendrías que definir tú mismo qué tipos de variables estás considerando y, en función de lo que definas, será correcta una cosa u otra. Pero ya estaríamos hablando de un sistema formal definido ad hoc para que tenga sentido lo que planteas. Como ya digo, en la lógica que se usa normalmente en matemáticas (la lógica de la teoría de conjuntos) no tiene cabida el concepto de "universo de una variable".

22 Abril, 2014, 03:43 pm
Respuesta #2

arkady-svidrigailov

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 En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

En lógica, el dominio de discurso, también llamado universo de discurso, o simplemente dominio, es el conjunto de cosas acerca de las cuales se habla en un determinado contexto.1 Dependiendo del dominio de discurso, una misma proposición podrá ser verdadera o falsa.

A estos conceptos me refería, y que no sé si son lo mismo. Por lo que me decís diría que sí, pero que puede variar (el universo) cuando las variables son distintas.
Por otro lado, por qué estaría mal la ubicación del "existe una única recta"?, podría ser porque en el caso en que P sea igual a Q existen más de una recta que hacen verdadera la proposición según el sentido común?
gracias

22 Abril, 2014, 07:51 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

En la teoría de conjuntos, tal y como se concibe hoy en día, no hay nada a lo que se pueda llamar un "conjunto universal". Siempre puedes tomar un conjunto y decir "a esto lo llamo yo conjunto universal", pero será una definición que en un momento dado te pueda convenir a ti, pero no un concepto que forme parte de la lógica de la teoría de conjuntos. Puedes describir a la perfección la lógica de la teoría de conjuntos sin nombrar jamás las palabras "conjunto universal".

En lógica, el dominio de discurso, también llamado universo de discurso, o simplemente dominio, es el conjunto de cosas acerca de las cuales se habla en un determinado contexto.1 Dependiendo del dominio de discurso, una misma proposición podrá ser verdadera o falsa.

Eso suena a teoría de modelos presentada de forma un tanto chapucera. Ahí volvemos a lo mismo que te decía antes: si defines algún lenguaje formal con variables de distintos tipos, puedes asociarles modelos en los que cada tipo de variables se interpretará en un conjunto distinto, pero eso supone trabajar con lenguajes formales definidos ad hoc para que tenga sentido lo que planteas.

A estos conceptos me refería, y que no sé si son lo mismo.

Como te digo, son conceptos bastante atípicos en el desarrollo habitual de la lógica matemática, entendiendo la lógica que subyace en los razonamientos que puedes encontrarte en los libros de álgebra, geometría, etc. Otra cosa es que quieras estudiar lógica y teoría de modelos, pero con eso dejas de estar estudiando las matemáticas "usuales", que consisten en trabajar directa y tácitamente con el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, para pasar a estudiar otros lenguajes formales. Y en tal caso tendrías que precisar qué lenguaje formal estás considerando, ya que no es el que los matemáticos usan normalmente.

Por lo que me decís diría que sí, pero que puede variar (el universo) cuando las variables son distintas.

El problema es que ese "puede" o "no puede" no puede interpretarse en el contexto de la lógica que subyace en los razonamientos matemáticos habituales. Tendrías que precisar tú el lenguaje formal que estás manejando y los modelos que quieres emplear. El problema que veo es que me da la impresión de que crees que estás planteando algo estándar cuando dista mucho de ser así, por lo que no hay una respuesta estándar a lo que preguntas.

Por otro lado, por qué estaría mal la ubicación del "existe una única recta"?, podría ser porque en el caso en que P sea igual a Q existen más de una recta que hacen verdadera la proposición según el sentido común?
gracias

Claro. Si P es igual a Q lo que escribes es falso.