Autor Tema: Cuenca de atracción

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Abril, 2014, 07:08 pm
Leído 3718 veces

hector

  • Novato
  • Mensajes: 195
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy buenas, antes de formular mi duda al respecto colocare la teoría previa de ta forma que manejemos todos un mismo lenguaje.

Definición 1.  Sea \( f:X\rightarrow{X} \) continua (\( X \) es un espacio métrico). Un punto fijo \( p \in X \) de \( f \) se dice atractor, si existe un abierto \( U\subset{X} \)
con \( p\in U \), tal que, \( f^n(x)\rightarrow{p} \), \( n\rightarrow{+\infty} \), para todo \( x\in U \).


Definición 2. Se llama cuenca de atracción de \( p \) a \( B=\{x\in X : f^n(x)\rightarrow{p}, cuando n\rightarrow{+\infty}\} \).

Ejercicio: Demostrar \( B=\cup_{n\geq{1}}f^{-n}(U) \)

21 Abril, 2014, 07:34 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,060
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Si \( x\in B \), existe un \( n \) tal que \( f^n(x)\in U \), por definición de convergencia, luego \( x\in f^{\red -n}[U] \).

Recíprocamente, si \( x\in f^{-n_0}[U] \), para un \( n \), entonces \( f^{n_0}(x)\in U \), luego la sucesión \( f^{n_0+m}(x) \) converge a \( p \), luego \( f^n(x) \) también.

21 Abril, 2014, 09:00 pm
Respuesta #2

hector

  • Novato
  • Mensajes: 195
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias Carlos Ivorra.

Saludos,

22 Abril, 2014, 04:55 am
Respuesta #3

hector

  • Novato
  • Mensajes: 195
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
De nuevo, solo alguna cosas que aun no veo-

Citar
Si\(  x\in B \), existe un \( n \) tal que \( f^n(x)\in U \), por definición de convergencia, luego \( x\in f^{-1}[U] \).

En esta linea en vez de ir \( x\in f^{-1}[U] \), debe ir \( x\in f^{-n}[U] \).

Cuando tu dices por definición de convergencia, si \( f^n(x)\rightarrow{p} \), puedo afirmar que \( f^n(x)\in U \) ¿Por qué?

Citar
Recíprocamente, si \( x\in f^{-n_0}[U] \), para un \( n \), entonces \( f^{n_0}(x)\in U \), luego la sucesión \( f^{n_0+m}(x)  \)converge a \( p \), luego \( f^n(x) \) también.

Básicamente entiendo que \( f^{n_0}(x)\in U \) para algún \( n_0 \) implica que \( f^m(f^{n_0}(x))\rightarrow{p} \) es porque si a cualquier elemento de \( U \) lo itero entonces este converge a p.

Si no me equivoco lo que hiciste fue \( m+n_0=n \), caso contrario podrías aclararme. Muchísimas gracias de antemano.

22 Abril, 2014, 12:30 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,060
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
En esta linea en vez de ir \( x\in f^{-1}[U] \), debe ir \( x\in f^{-n}[U] \).

Era una errata.

Cuando tu dices por definición de convergencia, si \( f^n(x)\rightarrow{p} \), puedo afirmar que \( f^n(x)\in U \) ¿Por qué?

Por la definición de convergencia: una sucesión converge a un punto si, dado cualquier entorno U del punto, todos los términos de la sucesión están en el entorno, a partir de uno dado.

Si no me equivoco lo que hiciste fue \( m+n_0=n \), caso contrario podrías aclararme.

Así es. En el fondo la idea es que una sucesión converge a un punto si y sólo si una cualquiera de sus colas converge a ese punto.

23 Abril, 2014, 01:59 am
Respuesta #5

hector

  • Novato
  • Mensajes: 195
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias Carlos Ivorra, ahora si tengo armada la demostración y creo que sin huecos (Gracias a ti)

Saludos..!