Autor Tema: Problema Septiembre

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21 Diciembre, 2002, 12:57 am
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carsecor

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Veamos, PARA FIJAR IDEAS, f´(x)>=0  y f(x)>=0 (se razonaría de modo análogo para f´(x)<0) .Entonces:

Tomemos el intervalo [0,x] con x<=1 ---> Aplicando el T. de Lagrange --> Existe c perteneciente a ]0,x[ / f(x)-f(0)=f´(c)*x --> f(x)=f´(c)*x como f´(c)<=f(c)  ---> f(x)<=f(c)*x de donde se deduce que f(x)<=f(c) y por otro lado que f(x)>=f(c) al ser f (x) creciente (hipotesis)y c<x. Por lo tanto , para que esto se cumpla, f(x)=f(c) , 0=<x<=1,por lo que f(x) constante en [0,1] y como f(0)=0 --> f(x)=0 para todo x en [0,1] . Ahora tomamos el intervalo [1,x] con x<=2 --> Existe k perteneciente a ]1,x[ / f(x)- f(1)=f´(k)(x-1) ---> f(x)=f´(k)*(x-1) --> igual que antes f(x)<=f(k) y f(x)>=f(k) -->f(x)=f(k) para todo x perteneciente a [1,2] --> f(x) constante en [1,2]---> f(1)=0 ---> f(x)=0 para todo x perteneciente a [1,2]. Si razonamos igual,es fácil  ver que f(x)=0 para todos los intervalos [z,z+1] con z enteros, es decir, será igual a cero para su unión, R, por lo tanto ---> f(x)=0 para todo x perteneciente a R.  

05 Julio, 2003, 12:07 am
Respuesta #1

Leibniz

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Lím h-->0 f(x+h) - f(x)/h

Lím h-->0 F(h)/h = Lím h -->0 f'(h)/1= 0/1 =0

=> f'(x)=0 => f(x)=0