[nanelito]

¿Dónde puedo encontrar un artículo completo sobre la ecuación de onda unidimensional?

[Piockñec]

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda#Ecuaci.C3.B3n_de_onda_escalar_en_un_espacio_de_una_sola_dimensi.C3.B3n
Aquí, y si cuando llegas a la fórmula de D'Alembert pinchas, completarás tu formación sobre su resolución (ya verás que es sencillísimo).

Si pretendes hacer métodos numéricos sobre la ecuación, te invito a que te hagas un esquema en diferencias finitas con condiciones de contorno dirichlet y una inicial en valor y en derivada.

Las aproximaciones pueden ser así:
\( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\approx{}\dfrac{f_{i+1,j}-2f_{i,j}+f_{i-1,j}}{Dx^2} \)
\( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial t^2}}\approx{}\dfrac{f_{i,j+1}-2f_{i,j}+f_{i,j-1}}{Dt^2} \)

Basta sustituir en la ecuación de ondas y obtienes un sistema de ecuaciones, en el que tienes que resolver del tirón todos los i para cada j, empezando por conseguir los j=2 (primer sistema de ecuaciones), luego el j=3, etc. Supongo que sabes de lo que te hablo.

El sistema de ecuaciones no es completo: Se añaden las ecuaciones de contorno, y se completan (discretizadas):
\( u_{0,j}=G_1(j*Dt) \) Condición dirichlet a la izquierda
\( u_{L,j}=G_2(j*Dt) \) Condición dirichlet a la derecha
Siendo Dx y Dt el paso en espacio y tiempo del mallado, y yendo i desde 0 hasta L (en números naturales), y j desde 0 hasta T.
Estas dos ecuaciones las añades al sistema de arriba.

Las condiciones iniciales serían:
\( u_{i,0}=F_1(i*Dx) \) Condición en valores iniciales.
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2Dt}=F_2(i*Dx) \) Condición en valores iniciales de la derivada.
Ese -1 es un punto imaginario. Si quieres dejarte de rollos, como suelo hacer yo, aunque es menos correcto, puedes aproximar la derivada como "derivada hacia delante" y en vez de eso poner:
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,0}}{Dt}=F_2(i*Dx) \)
Que es válido, hasta que no se diga lo contrario (es decir, que no te converja hahaha)

Y agrupas todas las ecuaciones en una matriz, y a resolver un sistema tras otro para conseguir cada tiempo... (Estoy hablando siempre de un recinto en forma de cuadrado. Sino, puedes mapearlo a un cuadrado hahahaha)

P.D.:
Todo esto es un esquema para:
\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)
\( f(x,0)=F_1(x) \)
\( f_t(x,0)=F_2(x) \)
\( f(0,t)=G_1(t) \)
\( f(x_f,t)=G_2(t) \)
\( x\in{[0,x_f]},y\in{[0,t_f]} \)

Si no entiendes algo, dímelo, que he dado por sentado que has hecho algún que otro esquema de diferencias finitas, como para la ecuación de Burgers, calor...

[nanelito]

Siendo sincero, es mi primer trabajo numerico  ... me perdi a la hora de "completar" el sistema?? Si me puedes detallar como queda el sistema lineal?

[Piockñec]

Sí, claro Aquí son las 3 de la mañana. Te respondo mañana, es decir, hoy jajaja buenas noches

[Piockñec]

Ups, me olvidé completamente de ti! Lo siento!!!
Dime si ya resolviste tu duda, sino te detallo más el procedimiento y razonamiento.

[trollano]

podrias detallar el procedimiento y razonamiento?

[Piockñec]

Hola trollano. ¿Qué has intentado y qué paso no entiendes? Sólo tienes que sustituir las derivadas por esas dos aproximaciones en la ecuación diferencial, y reordenar términos. Salen ecuaciones algebraicas. Luego haces lo mismo con el contorno, como he explicado, y obtienes ecuaciones adicionales, que junto a las otras, forman un sistema completo de ecuaciones algebraicas. Y ya lo resuelves como tú quieras: Con Gauss, Gauss-Seidel... etc

Te saldrán tantas ecuaciones como trocitos partas el dominio (si el dominio iba de 0 a 1, y lo cortas en trocitos con un \( Dx=0.01 \), te saldrán alrededor de 100 ecuaciones). Y acerca de lo siguiente, que entonces no lo sabía y ahora sí:

Las condiciones iniciales serían:
\( u_{i,0}=F_1(i*Dx) \) Condición en valores iniciales.
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2Dt}=F_2(i*Dx) \) Condición en valores iniciales de la derivada.
Ese -1 es un punto imaginario. Si quieres dejarte de rollos, como suelo hacer yo, aunque es menos correcto, puedes aproximar la derivada como "derivada hacia delante" y en vez de eso poner:
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,0}}{Dt}=F_2(i*Dx) \)
Que es válido, hasta que no se diga lo contrario (es decir, que no te converja hahaha)

Al "dejarse uno de rollos" y poner esa aproximación más facilita, pierde precisión. En concreto, la precisión de la aproximación facilona es \( O(Dx) \) y la de la no-facilona (que igualmente es facilita) \( O(Dx^2) \). Y la precisión de las aproximaciones de las derivadas segundas de la ecuación diferencial es \( O(Dx^2) \). Así que lo suyo es que uses el que es menos fácil, porque así no pierdes precisión. Pero vamos, si estás empezando, con que te converja va que chuta Cuando le cojas el truquillo, ya puedes ir pensando en formas de mejorar la precisión...