Autor Tema: Ecuación hiperbólica

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Marzo, 2014, 09:41 pm
Leído 1601 veces

nanelito

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Dónde puedo encontrar un artículo completo sobre la ecuación de onda unidimensional?

28 Marzo, 2014, 10:15 pm
Respuesta #1

Piockñec

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda#Ecuaci.C3.B3n_de_onda_escalar_en_un_espacio_de_una_sola_dimensi.C3.B3n
Aquí, y si cuando llegas a la fórmula de D'Alembert pinchas, completarás tu formación sobre su resolución (ya verás que es sencillísimo).

Si pretendes hacer métodos numéricos sobre la ecuación, te invito a que te hagas un esquema en diferencias finitas con condiciones de contorno dirichlet y una inicial en valor y en derivada.

Las aproximaciones pueden ser así:
\( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\approx{}\dfrac{f_{i+1,j}-2f_{i,j}+f_{i-1,j}}{Dx^2} \)
\( \dfrac{{\partial^2 f}}{{\partial t^2}}\approx{}\dfrac{f_{i,j+1}-2f_{i,j}+f_{i,j-1}}{Dt^2} \)

Basta sustituir en la ecuación de ondas y obtienes un sistema de ecuaciones, en el que tienes que resolver del tirón todos los i para cada j, empezando por conseguir los j=2 (primer sistema de ecuaciones), luego el j=3, etc. Supongo que sabes de lo que te hablo.

El sistema de ecuaciones no es completo: Se añaden las ecuaciones de contorno, y se completan (discretizadas):
\( u_{0,j}=G_1(j*Dt) \) Condición dirichlet a la izquierda
\( u_{L,j}=G_2(j*Dt) \) Condición dirichlet a la derecha
Siendo Dx y Dt el paso en espacio y tiempo del mallado, y yendo i desde 0 hasta L (en números naturales), y j desde 0 hasta T.
Estas dos ecuaciones las añades al sistema de arriba.

Las condiciones iniciales serían:
\( u_{i,0}=F_1(i*Dx) \) Condición en valores iniciales.
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2Dt}=F_2(i*Dx) \) Condición en valores iniciales de la derivada.
Ese -1 es un punto imaginario. Si quieres dejarte de rollos, como suelo hacer yo, aunque es menos correcto, puedes aproximar la derivada como "derivada hacia delante" y en vez de eso poner:
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,0}}{Dt}=F_2(i*Dx) \)
Que es válido, hasta que no se diga lo contrario (es decir, que no te converja hahaha)

Y agrupas todas las ecuaciones en una matriz, y a resolver un sistema tras otro para conseguir cada tiempo... (Estoy hablando siempre de un recinto en forma de cuadrado. Sino, puedes mapearlo a un cuadrado hahahaha)

P.D.:
Todo esto es un esquema para:
\( \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=c^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)
\( f(x,0)=F_1(x) \)
\( f_t(x,0)=F_2(x) \)
\( f(0,t)=G_1(t) \)
\( f(x_f,t)=G_2(t) \)
\( x\in{[0,x_f]},y\in{[0,t_f]} \)

Si no entiendes algo, dímelo, que he dado por sentado que has hecho algún que otro esquema de diferencias finitas, como para la ecuación de Burgers, calor...

29 Marzo, 2014, 12:02 am
Respuesta #2

nanelito

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 126
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Siendo sincero, es mi primer trabajo numerico  ??? ???... me perdi a la hora de "completar" el sistema?? Si me puedes detallar como queda el sistema lineal?

29 Marzo, 2014, 03:08 am
Respuesta #3

Piockñec

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Sí, claro :) Aquí son las 3 de la mañana. Te respondo mañana, es decir, hoy jajaja buenas noches :D

31 Marzo, 2014, 01:13 am
Respuesta #4

Piockñec

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Ups, me olvidé completamente de ti! Lo siento!!!
Dime si ya resolviste tu duda, sino te detallo más el procedimiento y razonamiento.

25 Septiembre, 2014, 02:35 am
Respuesta #5

trollano

  • $$\Large \color{red}\pi$$
  • Mensajes: 4
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
podrias detallar el procedimiento y razonamiento?

25 Septiembre, 2014, 12:23 pm
Respuesta #6

Piockñec

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,259
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola trollano. ¿Qué has intentado y qué paso no entiendes? Sólo tienes que sustituir las derivadas por esas dos aproximaciones en la ecuación diferencial, y reordenar términos. Salen ecuaciones algebraicas. Luego haces lo mismo con el contorno, como he explicado, y obtienes ecuaciones adicionales, que junto a las otras, forman un sistema completo de ecuaciones algebraicas. Y ya lo resuelves como tú quieras: Con Gauss, Gauss-Seidel... etc

Te saldrán tantas ecuaciones como trocitos partas el dominio (si el dominio iba de 0 a 1, y lo cortas en trocitos con un \( Dx=0.01 \), te saldrán alrededor de 100 ecuaciones). Y acerca de lo siguiente, que entonces no lo sabía y ahora sí:

Las condiciones iniciales serían:
\( u_{i,0}=F_1(i*Dx) \) Condición en valores iniciales.
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,-1}}{2Dt}=F_2(i*Dx) \) Condición en valores iniciales de la derivada.
Ese -1 es un punto imaginario. Si quieres dejarte de rollos, como suelo hacer yo, aunque es menos correcto, puedes aproximar la derivada como "derivada hacia delante" y en vez de eso poner:
\( \dfrac{u_{i,1}-u_{i,0}}{Dt}=F_2(i*Dx) \)
Que es válido, hasta que no se diga lo contrario (es decir, que no te converja hahaha)

Al "dejarse uno de rollos" y poner esa aproximación más facilita, pierde precisión. En concreto, la precisión de la aproximación facilona es \( O(Dx) \) y la de la no-facilona (que igualmente es facilita) \( O(Dx^2) \). Y la precisión de las aproximaciones de las derivadas segundas de la ecuación diferencial es \( O(Dx^2) \). Así que lo suyo es que uses el que es menos fácil, porque así no pierdes precisión. Pero vamos, si estás empezando, con que te converja va que chuta :) Cuando le cojas el truquillo, ya puedes ir pensando en formas de mejorar la precisión...