Autor Tema: Norma inducida

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28 Marzo, 2014, 09:28 pm
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nanelito

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¿Cómo demuestro que si una norma en un espacio real cumple la ley del paralelogramo, entonces viene de un producto interno??

28 Marzo, 2014, 10:15 pm
Respuesta #1

numbsoul

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Si proviene de un producto interno \( <,> \), se tiene en virtud de la identidad de polarización que \( <x,y>=\dfrac{\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4} \).

Lo que debes probar, usando la identidad del paralelogramo, es que la expresión de la derecha define un producto interno.

28 Marzo, 2014, 11:29 pm
Respuesta #2

nanelito

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Tengo problemas con la identidad homogenea :
\( (\epsilon x,y) = \epsilon(x,y) \)

30 Marzo, 2014, 05:32 am
Respuesta #3

mathtruco

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Hola,

 seguramente sabes de donde sale la expresión que presenta numbsoul (no sale del sombrero de un mago   :D).

Llamemos \( \langle\cdot,\cdot\rangle =f(\cdot,\cdot) \) y \( H \) al espacio vectorial.

Probemos que \( f(\lambda x,y)=\lambda\,f(x,y) \) para todo \( \lambda\in\mathbb{R} \) y todo \( x,y\in H \). Sean \( x,y\in H \).

Supongo que ya probaste que \( f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z) \), no es difícil. Con esto, mediante inducción es fácil probar que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i,z)=f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i,z\right) \).

Se sigue que

\( f(nx,y)=f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x,y\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^nf(x,y)=n\,f(x,y)\,. \)

Además, de la definición de \( f \) se fácil probar que \( f(-x,y)=-f(x,y)\,. \), y con esto

  \( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y)\qquad\forall\lambda\in\matjbb{Z}\,. \)

(Nota que el caso \( \lambda=0 \) se prueba trivialmente)

Sea ahora \( \lambda=\dfrac{p}{q} \) con \( p,q\in\mathbb{Z} \) y \( q\neq0 \).

 \( q\, f(\lambda x,y)
=q\, f\Big(\frac{p}{q}x,y\Big)
=q\, f\Big(p\,\frac{x}{q},y\Big)
=pq\, f\left(\frac{x}{q},y\right)
=p\, f\left(q\frac{x}{q},y\right)
=p\, f\left(x,y\right) \)

y dividiendo por \( q \) se obtiene

\( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y)\qquad\forall\lambda\in\mathbb{Q}\,. \)

Utilizando la densidad de los racionales en los reales obtienes

\( f(\lambda x,y)=\lambda\, f(x,y) \)  para todo \( \lambda\in\mathbb{R} \).