Autor Tema: Aplicación dual

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28 Marzo, 2014, 08:01 pm
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nanelito

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¿Cómo demuestro que la aplicación dual es inyectiva?

28 Marzo, 2014, 11:09 pm
Respuesta #1

soneu

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Sea \(  f:V\rightarrow W  \) una aplicación lineal. La aplicación dual es \( f^*:W^*\rightarrow V^* \) definida por \( f*(g)=g\circ f, \) donde  \(  g:W\rightarrow \mathbb{R}  \) es lineal.

Supongamos que la aplicación dual que asigna a \(  f:V\rightarrow W  \) su dual \( f^*:W^*\rightarrow V^* \)  no es inyectiva. Entonces su núcleo es distinto de cero, es decir, existe \(  f\neq 0 \) tal que  \(  f^*=0. \)

¿Qué significa esto?

Spoiler

Si \(  f^*=0 \) entonces \( f*(g)=g\circ f=0 \) para toda \(  g:W\rightarrow \mathbb{R}  \) lineal, de donde se deduce que \( f=0, \)
 lo que supone una contradicción.
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De todos modos, el mejor método para aprender, es escribir los intentos que has hecho para resolver el problema y escribir lo que has intentando para resolverlo. La idea del foro es ayudar en los pasos para llegar a la solución y no dar la solución completa.

Un saludo

17 Mayo, 2014, 05:48 pm
Respuesta #2

nanelito

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El detalle es que eso depende del axioma de elección, y yo me preguntaba si eso se puede evitar; pero creo que no... igual gracias por la aclaración...