Autor Tema: Integral complicada

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08 Agosto, 2007, 04:45 pm
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Leonardog

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Buenas, tengo la siguiente integral:
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} (x^2+3y^2)dxdy \)
Donde el dominio de integracion es \( x^2 + y^2 \leq{1} \)

En coordenadas polares sale relativamente fácil, y me da el resultado: \( \pi \)

El tema es que sale en un apunte antes de tratar el tema de cambio de coordenadas, por lo cual entiendo que pide que se resuelva sin hacer el cambio. Llego a unas integrales que se me complican! Usando una tabla de integrales llego al resultado, pero estoy tratando de hacer todo el desarrollo.
Alguna sugerencia?
Salu2,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

08 Agosto, 2007, 05:11 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Teniendo en cuenta la simetría de la función respecto a los ejes x e y. Basta calcular:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}(x^2+3y^2)dxdy \)

 Una vez hecha la integral respecto a x, que es fácil. Para la otra utiliza el cambio de variable:

\(  y=sin(t) \)

 Luego con las identidades trigonométricas:

\(  2Cos^2(A)=1+Cos(2A) \)

\(  2Sin^2(A)=1-Cos(2A) \)

\(  Sin(2A)=2sin(A)Cos(A) \)

 la cosa sale fácil.

Saludos.

08 Agosto, 2007, 05:45 pm
Respuesta #2

Leonardog

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Gracias por la respuesta, apenas pueda lo pruebo. Creo que me faltaba la sustitución correcta (\( y=\sen t \)).
Salu2,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

09 Agosto, 2007, 03:39 am
Respuesta #3

Leonardog

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Hola. Me queda algo así

\( \displaystyle\int_{0}^{1}( \displaystyle\frac{(1-y^2)^(3/2)}{3} + 3 y^2 \sqrt[ ]{1-y^2}) dy \)

Resolviendo las 2 integrales por separado llego al resultado, pero ninguna de las 2 me parece fácil. En ambas uso la sustitución \( y=\sen t  \). ¿Hay una forma más sencilla? (sin usar coordenadas polares...)
Salu2,
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!

09 Agosto, 2007, 08:42 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 La primera tras el cambio se reduce a la integral de \( Cos^4(t). \)

 Pero por las fórmulas trigonométricas que te dije:

\(  cos^4(t)=(1+cos(2t))^2/4=1/4+cos(2t)/2+cos^2(2t)/4=1/4+cos(2t)/2+1/8+cos(4t)/8 \)

 y todas estas integrales son (casi) inmediatas.

 La otra se reduce a integrar:

\(  sin^2(t)cos^2(t)=sin^2(2t)/4=1/8-cos(4t)/8 \)

 Seguro que hay otras formas. Pero tan dificil esta no me parece.

Saludos.

09 Agosto, 2007, 01:14 pm
Respuesta #5

Leonardog

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Sip, no son tan difíciles, pero son largas... jeje y es muy fácil comerse alguna cosita por ahí. Definitivamente creo que la mejor forma es con coordenadas polares.
Gracias por la ayuda.
Salu2.
Hey, no le avisen a Bush que está usando números arábigos!!