Autor Tema: Sobre distancia de un elemento a un conjunto igual a cero.

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16 Marzo, 2014, 04:53 am
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lindtaylor

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Hola, me topé con el siguiente enunciado.
Sea \( F=M\setminus B(a,r) \), el complemento de una bola abierta en el espacio métrico \( M \). Si \( d(x,F)=0 \) entonces \( x\in F. \)
La demostración que se me ocurre es la siguiente:
Supongamos que \( x\not\in F \), ahora si \( d(x,F)=0 \), sea \( d(x,f_0)=d(x,F)=0 \), luego \( x=f_0 \), luego \( x\in F \) un absurdo.

Ahora si tengo \( M=\mathbb{R} \), y \( B(0,1)=]-1,1[ \), me cuesta creer que con la distancia usual dada por el valor absoluto, se cumple el enunciado, pues si tengo un \( x\in ]-1,1[ \) muy cercano a 1, entonces creo ver que \( d(x, F)=0 \) aún cuando \( x\not\in F \). Qué veo mal? La demostración está bien?
Desde ya gracias.
....

16 Marzo, 2014, 05:08 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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No ves nada mal sí tenemos que \(  A = ]0,1[  \) y \(  x=1 \) entonces \(  d(A,x)=d(A,\{1\}) = 0 \).
Y tú ves que \(  1 \notin A  \).
En conjuntos tienes la inclusión o no inclusión de un elemento.
Sí tenemos \(  C = ]5,6[  \) tenemos que \(  6 ,444 , 267 \notin C  \).
Pero con la toplogía usual el \(  6  \) se dieferencia de los demás sí no sólo hablamos de pertenencia sinó tambíen de cercanía.

16 Marzo, 2014, 10:18 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( F=M\setminus B(a,r) \), el complemento de una bola abierta en el espacio métrico \( M \). Si \( d(x,F)=0 \) entonces \( x\in F. \)
La demostración que se me ocurre es la siguiente:
Supongamos que \( x\not\in F \), ahora si \( d(x,F)=0 \), sea \( d(x,f_0)=d(x,F)=0 \), luego \( x=f_0 \), luego \( x\in F \) un absurdo.

La demostración no está bien. Que \( d(x,F)=0 \) no signfica que exista un \( f_0\in F \) tal que \( d(x,f_0)=0 \). Significa que:

\( inf\{d(x,f)|x\in F\}=0 \)

De ahí es fácil ver que existe una sucesión de puntos \( \{f_n\}\in F \) tal que\(  \{f_n\}\to x \). Como \( F \) es cerrado por ser el complementario de un abierto (en otro caso el resultado no sería cierto) el límite \( x\in F \).

Saludos.