[Piockñec]

En este hilo expondré toda la teoría necesaria para cumplir los objetivos que me propuse: Que sepáis resolver todos los problemas, y que comprendáis todos los conceptos.

Empezaré repasando conceptos previos, cosa que haré rapidito, y pasaré de inmediato al temario mismo de selectividad. De todas formas, conforme avance a buen ritmo, volveré hacia atrás e iré "rellenando" los huecos de conceptos previos y añadiendo ejemplos en cada sección... lo que considere oportuno.

ÍNDICE
Conceptos previos:
-La derivada
-La integral
Temario de Selectividad:
-Análisis de función real en una variable real (Puntos de corte, críticos, optimización, etc.)
-Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones (Teorema de Rouché-Frobenius, operaciones con matrices, etc.)
-Geometría vectorial (Vectores, Rectas en el plano y en el espacio, Planos en el espacio, intersecciones, etc.)

Mucho ánimo, y...
¡Vamos allá!

Para exponer dudas conceptuales, de ejercicios, sugerencias...
Para apuntarse, ver los objetivos del curso, organización...

[Piockñec]

Conceptos previos

La derivada

Supongamos que tenemos una función cualquiera, por ejemplo una recta, la función \( y=x \)
Nos podemos hacer la siguiente pregunta: ¿Cómo va subiendo la función en cada punto? Si pintamos la función \( y=x \) vemos que, en general, cada unidad que avanza en x (por ejemplo, de \( x=2 \) a \( x=3 \)) sube otra unidad (De \( y=2 \) pasa a \( y=3 \)). Decimos entonces que tiene una pendiente de 1, porque la función sube 1 por cada unidad de x.
Esto tiene su forma de calcularlo, muy evidente también: Calculamos f(3), y vemos a qué altura está la función en \( x=3 \). Luego calculamos f(2) y vemos a qué altura está la función en \( x=2 \). Y a continuación, restamos para ver la diferencia de altura: \( f(3)-f(2) \). Si lo dividimos por (3-2), es decir, la unidad que ha recorrido, nos da exactamente su pendiente:

\( \dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}=\dfrac{3-2}{3-2}=1 \)
Por tanto, pendiente 1.
Si uno no lo entiende, puede imaginarse que la recta es una rampa, y creo que queda claro qué significa el 1: Subimos 1 en vertical por cada 1 que avanzamos en horizontal.

Ilustración

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No todas las funciones tienen pendiente 1, es obvio. La función \( y=2x \), si la pintas, tiene pendiente 2, porque en cada punto se cumple que cada unidad que avanza en x (por ejemplo, de \( x=2 \) a \( x=3 \)) sube 2 unidades (De \( y=4 \) pasa a \( y=6 \), ha subido 2 unidades). Entonces tiene pendiente 2, porque la función sube 2 por cada unidad de x.
Esto que en el dibujo se ve tan claro, podemos hacerlo vía matemáticas de la misma forma que antes:

\( \dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}=\dfrac{6-4}{3-2}=2 \)

Ilustración

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Vocabulario: Calcular la pendiente de esa forma, se le llama calcular "la tasa de variación media". En las rectas, la tasa de variación media coincide, evidentemente, con su pendiente.

Sin embargo, nosotros sabemos que hay funciones que no siempre suben 1 por cada unidad de x... o suben 2 por cada unidad de x... sino que su pendiente depende de la región que consideremos. Por ejemplo, la función \( y=x^2 \). Si la pintas, es evidente que al principio la función decrece, luego deja de decrecer (en \( x=0 \)) y comienza a crecer. Así que al principio la pendiente era negativa, porque por cada unidad que avanzas en x, la función decrece "tantas" unidades.

Pero "tantas" no es un número. ¿Cuántas unidades decrece en esa zona? (En \( x<0 \)). Y luego... ¿cuántas unidades crece?

Deduzcámoslo. Sabemos calcular las pendientes de las rectas, de hecho el concepto de pendiente lo extraímos de las rectas.  Vamos a intentar calcular la pendiente en, por ejemplo, x=2 de \( y=x^2 \).

Pintad la función \( y=x^2 \). Ahora vamos a imaginar que en la zona muy cercana a \( x=2 \), la función \( y=x^2 \) es "como una recta", y así calculamos su pendiente en ese punto, porque sabemos calcular pendientes de rectas. Así que en el dibujo de \( y=x^2 \), en el punto \( (x=2,y=2^2=4) \) (En el futuro, escribiré directamente (2,4)), lo pintamos más recto de la cuenta (lo hacemos recto, una recta). Esto es, dibujamos la recta tangente a la función \( y=x^2 \) en \( x=2 \).

Ahora tenemos una recta. Si la alargamos, nos será más fácil ver qué pendiente tiene la recta y, por tanto, qué pendiente tiene la función \( y=x^2 \) en \( x=2 \). Si lo dibujáis, veréis con nitidez que la recta tiene pendiente 4.
La recta tangente que queda al dibujarla, si tratáis de obtener su expresión matemática, queda:
\( y=-4+4x \)
Y si hacéis lo mismo que hemos hecho antes, también da que su pendiente es 4.

Ilustración

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He subido imágenes, pero idlo dibujando paso a paso vosotros también, y así lo aprendéis mejor, que no se tarda nada El programa con el que he dibujado estas funciones se llama graph, su desarrollador se llama Padawan, y es software libre, lo encontraréis rápidamente en internet

Y ahora viene la sorpresa: La "pendiente" de la función en un punto, como la que hemos calculado en \( x=2 \) de la función \( y=x^2 \), es la derivada de la función en ese punto. Sí, es lo mismo. Es lo mismo decir una cosa que otra. La derivada de \( y=x^2 \) en \( x=2 \) vale 4.

La derivada de una función en un punto, se define como la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
La notación que se usa para la derivada es la siguiente: \( f'(x)=y'(x) \)

Así, en el ejemplo, \( y=x^2\Rightarrow{}y'(2)=4 \). También podéis encontrarlo por ahí escrito como \( y'|_2=4 \).

Ahora que habéis comprendido, o eso espero, el concepto en sí mismo de derivada, deduciré la famosa definición matemática:

\( f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}} \)

Por cierto, por curiosidad, podéis volver atrás al primer ejercicio con las rectas, y daros cuenta de que la derivada, la pendiente, es la tangente del ángulo que forma la recta tangente con la horizontal.

[Piockñec]

La derivada (II)

Ahora cojamos \( y=x^2 \) de nuevo. Vamos a calcular la derivada en 2, pero no lo haremos rectificando y aproximando la función por su recta tangente en ese punto (que ya hemos visto que es un método totalmente válido), sino, siendo un poco más cutres, aplicando el método que le aplicábamos a las rectas para obtener su pendiente, a la mismísima función. Es decir, vamos a calcular la pendiente de la función en 2 aplicando lo de:
\( \dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}=\dfrac{9-4}{1}=5 \)
Realmente, ahora lo que hemos hecho es algo parecido a calcular la pendiente de la función en 2.5, parece... pero ni eso, porque nuestro método sirve perfectamente para rectas, que siempre tienen la misma pendiente. Para funciones cualesquiera, como \( y=x^2 \), que su pendiente, el valor de su derivada, varía según el punto, no sirve y se convierte en una simple aproximación.

¡Pues mejoremos la aproximación al máximo!

Como queremos calcular el valor de la derivada en 2, voy a coger el 3 y lo voy a acercar aún más hacia el 2, es decir, voy a tratar de calcular la derivada de \( y=x^2 \) en \( x=2 \) haciendo:

\( \dfrac{f(2.1)-f(2)}{2.1-2}=\dfrac{4.41-4}{2.1-2}=4.1 \)

¡Casi lo conseguimos! Se acerca muchísimo a su valor real, que sabemos que es 4. ¿Cómo mejorar aún más la aproximación? Parece evidente:
\( \dfrac{f(2.0001)-f(2)}{2.0001-2}=\dfrac{4.00040001-4}{2.0001-2}=4.0001 \)

¡Bingo!

Ilustración

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Tenemos el resultado casi exacto. Y ahora viene la gran pregunta: ¿Cuándo tendremos el resultado exacto? Pues en el límite en el que ese número que estamos variando, el que era 3, luego 2.1, y luego 2.0001, se acerce y quede infinitamente próximo a 2. Justo entonces, tendremos la solución exacta: Su derivada. Pues hemos deducido esto, ¿por qué no lo escribimos?

\( y'(2)=\displaystyle\lim_{a \to{2}}\dfrac{f(a)-f(2)}{a-2} \)

Y si escribimos \( a \) como \( 2+h \), para que a tienda a 2, debemos hacer que h tienda a 0, ¿verdad? Sustituyendo, queda:

\( y'(2)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{2+h-2} \)
\( y'(2)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \)

¡¡¡Y así obtendríamos el valor de la derivada en \( x=2 \) de \( y=x^2 \) !!!

Todo esto es muy bonito, pero ¿cómo acercar h infinitamente a 0? La respuesta es: Resolviendo ese límite. Doy por hecho que sabéis resolver (más o menos) límites. Resolveré este por vosotros, para que veais la estrategia.
\( y(x)=x^2 \)
\( y'(2)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{4+h^2+4h-4}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{h^2+4h}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{h+4}{1}=4 \)
Donde la última igualdad es evidente, pues cuando h tiende a 0 en h+4, el resultado de la operación se aproxima cada vez más a 4. Y por tanto, la derivada vale exactamente 4.

¿Y si en vez de en x=2, queremos calcular la derivada en cualquier x? Basta con sustituir en donde ponga 2, ponemos una x, y resolvemos el límite:

\( y'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
\( y'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{h^2+2xh}{h}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{h+2x}=2x \)
Y la derivada de la función \( y=x^2 \) se calcula, tan simplemente, como multiplicar la coordenada x en la que la quieras evaluar, por 2. Unas pruebas, veréis que concuerda:

\( y'(2)=4, y'(0)=0, y'(10)=20, y'(-1)=-2, y'(-5)=-10 \)

En 2 vale 4, como calculamos desde el principio. En 0 vale 0, pues ni crece ni decrece, y la recta tangente tiene pendiente 0 (una línea horizontal). En 10 vale 20, pues sube muchííísimo, y la recta tangente sería muy empinada. En la zona negativa, la función decrece (derivada negativa), y cuanto más nos alejemos de 0, más rápido decrecerá, y más empinada será la recta tangente. Todo concuerda.

Conclusión: Para obtener la derivada en cualquier punto de cualquier función, sólo hay que resolver el siguiente límite:

\( y'(x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

Os propongo que encontréis la derivada para cualquier punto de \( y=e^x \), \( 1/x \), \( log(x) \), \( x^3 \), \( x^a \)...  jajajajajaja a ver si lo conseguís 

Si estudiáis el grado en matemáticas, en el primer curso probablemente tengáis que resolver estos límites. No se hace tan a lo bruto, se deducen primero las propiedades de la derivada y cosas importantes relacionadas, y a continuación se deducen por otros caminos sus derivadas. Pero es tan rollo calcularlo, que todo el mundo se aprende directamente las derivadas de las funciones más usuales, y por medio de unas propiedades que os daré a continuación, podremos calcular la derivada de cualquier función sin aplicar límites ni esas cosas, y las calcularemos en un plis-plás

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Tabla de derivadas

Adjunto a este mensaje, al pie del mismo, se encuentra una tabla de derivadas que encontré en internet y que era de mi gusto.

Al principio se exponen las reglas de las que hablé antes, las así llamadas reglas de derivación.
A continuación, a la izquierda, la derivación de funciones elementales, y a continuación, de funciones compuestas sin más que usar la regla de la cadena, la más importante de todas las propiedades de la derivada (¡rivalizando con la de linealidad!).
Al final del documento, sale la derivación logarítmica. Eso está gracioso, pero poco más, yo no la estudiaría con ahínco, ya que como ahí mismo se ve, se puede deducir de la derivación normal. Así que ni caso.

Podría tirarme varios párrafos hablando de la regla de la cadena, del producto, etc., pero lo mejor es ir directos a ejemplos. Sólo me resta añadir que si uno quiere, puede aprenderse la regla de la cadena y la del cociente. Pero la del cociente se deriva rápidamente de la del producto:

\( (f*g)'=f'g+g'f \)
\( (f*\dfrac{1}{g})'=\dfrac{f'}{g}-\dfrac{fg'}{g^2}=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} \)

Así que no gastéis memoria tontamente

NOTA: Todos los logaritmos, salvo que especifique su base explícitamente, serán neperianos (logaritmos en base e), así que se leerá igual si pongo ln que log, todo será logaritmo neperiano.

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La derivada (III)

Ejercicios resueltos


Ejemplo 1:

\( y=\sen(x) \)
\( \dfrac{dy}{dx}=y'=\cos(x) \)

Ejemplo 2:

\( y=\arctan(x) \)
\( y'=\dfrac{1}{1+x^2} \)
Si no sabes hacer esto, es que no te has dignado siquiera a estudiar. Te preguntarás... ¿Para qué quiero saber la derivada del arcotangente, si no lo voy a usar en la vida? Pues desgraciadamente, sale muchísimo a la hora de integrar, y sí, a nivel de selectividad, así que más te vale saberte toda la tabla entera del anterior post.

Ejemplo 3:

\( y=\arctan(\sin(x)) \)
\( y'=\dfrac{1}{1+(\sin(x))^2}(\sin(x))'=\dfrac{\cos(x)}{1+(\sen(x))^2} \)
He usado la regla de la cadena: \( g(f(x))'=g'(f(x))*f'(x) \)

Ejemplo 4:

\( y=\cos(x)*e^x \)
\( y'=-\sin(x)*e^x+\cos(x)*e^x=e^x(1-\sin(x)) \)
He usado la regla del producto: \( (f*g)'=f'g+fg' \)

Ejemplo 5:

\( y=\dfrac{1}{ln(\tan(x))} \)
\( y'=-\dfrac{1}{(ln(\tan(x)))^2}*\dfrac{1}{\tan(x)}*\dfrac{1}{(\cos(x))^2} \)
He usado la regla de la cadena: \( h(g(f(x)))'=h'(g(f(x)))*g'(f(x))*f'(x) \)

Ejemplo 6:

\( y=5x+7x^3+x^2 \)
\( y'=5*(1)+7*(3*x^{3-1})+(2*x^{2-1})=5+21x^2+2x \)
He usado linealidad \( (a*f(x)+b*g(x))'=a*f'(x)+b*g'(x) \)

Ejemplo 7:

\( y=\dfrac{log(x)}{x} \)
\( y'=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{log(x)}{x^2}=\dfrac{1-log(x)}{x^2} \)
ó
\( y'=\dfrac{\dfrac{x}{x}-log(x)}{x^2}=\dfrac{1-log(x)}{x^2} \)
En la primera he usado la regla del producto, y en la segunda la del cociente. Yo prefiero saberme sólo 1, y si quiero usar la segunda, la deduzco como dije en el anterior post.

Todas las derivadas se calculan así. Creo que la regla "más rara" es la de la cadena. Practicadla mucho, es la única vía.

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La derivada (IV)
Ejercicios propuestos

Estas son funciones que me estoy inventando sobre la marcha. Inventaos funciones vosotros y derivadlas también para practicar. El objetivo de que tengáis mucha destreza a la hora de derivar es que podáis resolver lo más rápidamente posible los problemas en los que haga falta derivar funciones bastante rollo de derivar, y, también, y sobre todo, que seáis capaces de identificar funciones que son la derivada de otra, como el \( -\sin(x) \) es la derivada del \( \cos(x) \), y el \( \dfrac{\cos(x)}{1+(\sin(x))^2} \) es la derivada de \( \arctan(sin(x)) \). Eso último, se llama integración. Por tanto, para integrar hay que ser diestro en la derivación ¡Manos a la obra!

Derivar:
1) \( e^{\arctan(x^2)} \)
2) \( 3^{ln(5)} \)
3) \( 5^{arcsin(x)} \)
4) \( (\cos(\dfrac{1}{x}))^5 \)
5) \( 5+6x+x^3-3x^{50}+\dfrac{1}{x}+x^{-1}+x^{\frac{1}{2}}+\sqrt{x}+x^{\frac{-1}{2}} \)
(Este ejercicio es recomendable. Comprenderéis por qué, personalmente, odio poner "la raíz cuadrada y las fracciones", y lo prefiero todo en formato base y exponente).
6) \( \arcsin(\cos(x)) \)
7) \( \dfrac{ln(x^2-\sqrt{x}+5)}{x^4} \)
8) \( ln(x^2-x^{\frac{1}{2}}+5)*(x^4)^{-1} \)

Resultados

1) \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^{\arctan(x^2)}}{1+x^4}2x \)
2) \( \dfrac{dy}{dx}=0 \)
3) \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-5}{1-x^2} \)
4) \( \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{5(\cos(\dfrac{1}{x}))^4}{x^2} \)
5) \( \dfrac{dy}{dx}=6+3x^2-150x^{49}-\dfrac{1}{x^2}-x^{-2}+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{-1}{2}x^{\frac{-3}{2}} \)
6) \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)
7) \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2-\sqrt{x}+5}(2x-\dfrac{1}{2}x^{\frac{-1}{2}})x^4+ln(x^2-\sqrt{x}+5)4x^3}{x^8} \)
8) \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}x^{\frac{-3}{2}}}{x^2-x^{\frac{1}{2}}+5}x^{-4}-4x^{-3}ln(x^2-x^{\frac{1}{2}}+5) \)

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La integral (I)

La definición típica de la integral de una función es "el área que hay bajo la curva". Y sí, es cierto que si integras una función en un intervalo te da el área bajo la curva. Pero esa interpretación rara vez es utilizada, es lo último que pienso a la hora de pensar en una integración. Veremos cómo se va definiendo la integral, qué motiva la aparición de tal especimen, y lo realmente útil que es.

En primer lugar, supongamos que tengo sólamente la derivada de una función, por ejemplo, \( f'(x)=10e^{-x}(1-x) \). Vamos a tratar de intuir cómo era la función original (que a partir de ahora, llamaremos primitiva).

Gráfica de la función derivada

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Comencemos analizando el comportamiento de la función primitiva desde \( x=0 \) hacia adelante, observando la gráfica de su derivada:

En \( x=0 \), la derivada valía 10. Es decir, la función crecía como crece \( y=10x \). Conforme pasamos del 0 al 1, la función sigue creciendo, pero cada vez con menor intensidad, hasta llegar a \( x=1 \), donde la derivada es 0. Debemos tener presente en estos razonamientos, que la derivada se definía como la pendiente de la recta tangente de la función en el punto considerado. Entonces en \( x=1 \), encontramos el punto en el que la función ha dejado de crecer, para empezar a decrecer, ya que a partir de ese punto, la derivada se vuelve negativa. De hecho, ya en \( x=2 \) la función tiene por derivada el -1.33 (decrece como \( y=-1.33x \), pero a partir de ahí sigue decreciendo, pero menos. Y menos. Y menos... A partir de \( x=1 \), siempre decrece, pero conforme x tiende a infinito, la función se va pareciendo más a una función constante, con derivada 0, es decir, conforme x se va haciendo grande, la recta tangente a la función primitiva va pareciéndose a una horizontal (En próximos episodios, se le llamará asíntota horizontal).

Ya hemos descrito cómo es la función primitiva. Podemos hacer una estimación a mano de cómo es: Empezamos en el origen de coordenadas, y ponemos ahí la recta \( y=10x \), pero en \( x=1 \) ponemos una recta horizontal, porque la derivada vale 0. ¿A qué altura la ponemos? Debemos tener en cuenta los puntos intermedios para mayor precisión (\( x=0.2,0.5,0.7... \)). Pero no pasa nada, más o menos uno intuye cómo irá la función.
A continuación, continúas el trazo de la recta horizontal hasta que adquieres una pendiente de -1 (-1.33) en \( x=2 \), y luego vas reduciendo la pendiente hasta hacerla casi, casi, 0 (recta horizontal). Hazlo en el papel, y luego compara con el resultado exacto, que está en la siguiente ilustración.

Primitiva, pintando desde el origen

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Para dibujarlo, básicamente, nos hemos guiado por el valor de la derivada en 4 puntos: \( x=0,1,2,"+\infty" \). Y nos ha ido bastante bien deduciendo el comportamiento de la primitiva. ¿Y si hubiéramos utilizado (bien utilizado) 10 puntos en vez de 4? ¿Y 100? ¿Y si hubiéramos utilizado todos los que nos ofrece la función derivada, que son prácticamente todos? En este punto, debes darte cuenta, o eso espero, de que toda la información de la primitiva está contenida en la función derivada, y de que podemos mejorar la aproximación teniendo en cuenta más puntos.
¿Cómo tendríamos en cuenta esos puntos?

Vamos al intervalo [0,1], donde la derivada valía 10 y 0 en los extremos, respectivamente. Si tuviéramos en cuenta los valores intermedios de la derivada, y fuéramos acumulándolos, podríamos pintar a la perfección la función primitiva entre 0 y 1. ¿Verdad?

¡Pues acumulemos los valores de la derivada!

En el próximo post, haré lo mismo pero con una función más conocida: \( y=2x \). Y trataré de dibujar la primitiva en el intervalo [0,1] acumulando los valores de la derivada.

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La integral (II)


Ahora vamos a acumular los valores de la función derivada \( y=2x \) entre 0 y 1. ¿Qué es esto de acumular valores, que hemos hecho intuitivamente, pero no matemáticamente? Lo que hemos hecho intuitivamente, se puede expresar de la siguiente forma:

Tomemos: \( x=0,0'2,0'4,0'6,0'8,1 \)

Partimos del (0,0). Su recta tangente será \( y_0=x*0=0 \). Así que estimamos que la primitiva, en \( x=0.2 \), valdrá \( y_0(0.2)=0 \).

En 0.2, la recta tangente la formamos así: \( y_{0.2}=f'(0.2)*(x-0.2)+0=0.4(x-0.2) \). Esta forma de ponerlo nos asegura que en x=0.2, el valor de la función sea 0, justo el que queremos para que la recta tangente "toque" el valor de la función primitiva estimado antes. Entonces, desde 0.2 e \( y_{0.2} \), estimamos que en \( x=0.4 \) la función primitiva valdrá: \( y_{0.2}(0.4)=0.08 \).

Desde x=0.4, la recta tangente valdrá \( y_{0.4}=f'(0.4)*(x-0.4)+0.08=0.8(x-0.4)+0.08 \), y es correcta porque su derivada vale lo que debe valer, y porque en x=0.4 la recta tangente vale 0.08. Con ella, estimamos el valor de la primitiva en 0.6: \( y_{0.4}(0.6)=0.24 \).

Desde x=0.6, la recta tangente vale \( y_{0.6}=f'(0.6)*(x-0.6)+0.24 \). Con ella estimamos el valor en x=0.8, \( y_{0.6}(0.8)=0.48 \)

Desde x=0.8, finalmente, estimamos el valor en 1 con la recta tangente \( y_{0.8}=f'(0.8)*(x-0.8)+0.48 \), \( y_{0.8}(1)=0.8 \)

Ilustración

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En la ilustración se muestra el resultado final de la acumulación de derivadas que hemos hecho. ¿A que parece el famoso x^2? Lástima que hayamos acumulado tanto error que \( 1^2=0.8 \) en vez de 1. Pero apenas hemos dividido el intervalo entre 0 y 1 en 5 puntos. ¿Qué sucede si tomamos 10 puntos? Vamos a comprobarlo, resumiendo primero "las operaciones que hemos hecho" hasta llegar al famoso 0.8 de \( 1^2=0.8 \):
\( f'(0)*(0.2-0)(=0) \) fue la primera operación, para obtener el valor en 0.2. Luego a eso le sumamos un f'(0.2)*(0.4-0.2). Luego le sumamos un f'(0.4)*(0.6-0.4). Luego le sumamos un f'(0.6)*(0.8-0.4). Y por último le sumamos un f'(0.8)*(1-0.8). En total, hicimos la siguiente suma, que en vez de suma total, denomino suma de Riemann:

\( 1^2\approx{}f'(0)*(0.2-0)+f'(0.2)*(0.4-0.2)+...+f'(0.8)*(1-0.8) \)

Altura por base, altura por base, altura por base... ¡Base por altura!

Si uno se da cuenta, lo que estamos haciendo es calcular EL ÁREA BAJO LA CURVA

El Área bajo la Curva

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Entonces, encontrar el valor de la función primitiva desde 0 en 1 es lo mismo que calcular el área de la función derivada que yace entre 0 y 1. ¡Sensacional!

Culminemos el trabajo: Vamos a dividir la región no en 5 puntos, sino en 10, 15, 20, 100, 100.000... en n puntos. Y a ver cuánto da esa integral... digo... suma de Riemann... en función del número de trozos que vayamos partiendo el intervalo [0,1]...

¿Cómo quedaría la suma de Riemann?

\( 1^2\approx{}f'(0)*(\dfrac{1}{n}-0)+f'(\dfrac{1}{n})*(\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n})+...+f'(\dfrac{n-1}{n})*(1-\dfrac{n-1}{n}) \)
Sustituyendo el valor de f'(x), queda:
\( 1^2\approx{}2\dfrac{1}{n}(\dfrac{2}{n}-\dfrac{1}{n})+...+2\dfrac{n-1}{n}*(1-\dfrac{n-1}{n}) \)
Voy a ir simplificando a ver si logro sumar todos los términos de alguna forma. Como siempre, saco primero factor común lo que pueda, el \( \dfrac{2}{n^2} \):
\( 1^2\approx{}\dfrac{2}{n^2}[1(2-1)+2(3-2)+3(4-3)+...+(n-1)(n-(n-1))] \)
Haciendo las operaciones de los paréntesis, queda:
\( 1^2\approx{}\dfrac{2}{n^2}[1+2+3+4+...+n-1] \)
Gauss, a los 7 años, dijo que esa suma valía \( \dfrac{(n-1)(1+n-1)}{2}=\dfrac{n^2-n}{2} \)
Hagámosle caso:
\( 1^2\approx{}\dfrac{2}{n^2}[1+2+3+4+...+n-1]=\dfrac{2*(n^2-n)}{n^2*2}=1-\dfrac{1}{n} \)
Entonces, si partimos el intervalo [0,1] en 5 trozos, ¿cuánto valdrá la suma de Riemann? Evidentemente, \( 1-\dfrac{1}{5}=0.8 \)
¿Y si lo partimos en 10 trozos? 0.9 ¿Y en 100000? 0.99999...
...¿Y en infinitos trozos?
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{1-\dfrac{1}{n}}=1 \)
¡Lo hemos conseguido!

¡Un paso más, que vamos a tope! ¿Y si en vez de poner el intervalo [0,1] ponemos el intervalo [0,X], siendo X un número que podamos manejar (y que puede valer 1, 3, 104,6345...)? Tan sólo hay que hacer una de sustitución:

-Ahora el intervalo no se divide en \( \dfrac{1}{n} \), sino en \( \dfrac{X}{n} \)

Y ya está. Sustituyendo, queda en la suma de Riemann:

\( F(X)\approx{}f'(0)*(\dfrac{X}{n}-0)+f'(\dfrac{X}{n})*(\dfrac{2X}{n}-\dfrac{X}{n})+...+f'(\dfrac{(n-1)X}{n})*(1-\dfrac{(n-1)X}{n}) \)
Haciendo lo mismo que antes (sacando factor común, y robándole a Gauss su formulilla para la suma de la serie aritmética):
\( F(X)\approx{}\dfrac{2X^2}{n^2}[1+2+3+4+...+n-1]=\dfrac{2*X^2(n^2-n)}{n^2*2}=X^2-\dfrac{X^2}{n} \)
Y cuando n tiende a infinito:

\( F(X)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{X^2-\dfrac{X^2}{n}}=X^2 \)

Conclusión: La primitiva de \( f'(x)=2x \) es \( F(x)=x^2 \).

En los siguientes posts, calcularemos la de \( e^x,log(x),\dfrac{1}{x},\arctan(x),x^a... \)
Idlas haciendo vosotros mientras tanto. Ya sabéis, plantead la suma, y ya está, a sumar. Si no sabéis sumar, no sé qué hacéis en bachillerato...

[Piockñec]

La integral (III)
Tabla de integrales

Lo último que mencioné en el anterior post... es broma. Para calcular la integral de las distintas funciones, uno no se pone a hacer sumas de Riemann como hemos hecho en el anterior post. Así es como se calcularon las primeras integrales,  y surgió el concepto de integral que os he explicado. Los matemáticos, según tengo entendido, fueron investigando las propiedades de la integral, y por otras vías consiguieron las expresiones de las integrales de muchas funciones.

Os dejo un resumen de resultados, una tabla de integrales. Os la tenéis que saber de memoria. Buscad analogías entre la tabla de derivadas y la de integrales, buscadlas. Veréis que si os sabéis una de las tablas, la otra en buena parte podréis deducirla. Al final de este post veremos algo muy, muy interesante al respecto.

Una cosa importante sobre la integral. Volved la mirada hacia atrás, cuando trataba de obtener la primitiva de la función \( y=2x \). Si os fijáis, yo partía de que en \( x=0 \), la función valía 0, y sobre el (0,0) colocaba yo mi primera recta tangente, y de ahí ya construía yo mi función primitiva.

¿Por qué dije que la función vale 0 en \( x=0 \)? ¿Será porque sabía que \( x^2 \) en 0 vale 0? Pero eso no vale, porque yo no sabía la primitiva, de hecho mi objetivo era deducirla.

La respuesta es... porque me dio la gana que en \( x=0 \) la primitiva valiera 0. Sí, tal cual. Podría haber decidido que valiera 5. Entonces, pondría mi primera recta tangente (la horizontal...) partiendo de (0,5), y ahí construiría el resto de la función, y la función primitiva resultante sería la misma, la misma que obtuve antes, sólo que situada 5 unidades hacia arriba. Es decir, si hubiera elegido que en \( x=0 \), la función primitiva vale 5, la función primitiva resultante sería \( F=x^2+5 \). Y al derivarla, obtengo \( F'=2x \), porque la derivada de un número (una constante) es 0 (Las constantes no varían por definición).

Así que, conclusión:

La integral de una función es otra función (llamada primitiva) + una constante

A la constante la llamaremos constante de integración, o simplemente constante.

Y no poner la constante tras integrar una función es error grave. Por eso en la tabla salen tantas C.

Llegó el momento de enseñaros un teorema importante. No es sólo importante, es fundamental.

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b) \)
\( \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b)*b'-f(a)*a' \)
Donde \( F \) es la primitiva de \( f \), y \( a \) y \( b \) son los límites de integración.

Viene a decir, básicamente, que si coges una función, la integras, y luego la derivas, obtienes la misma función.

No os preocupéis si lo veis como un galimatías sin sentido. Con la práctica, uno lo llega a entender.

¡Así que vamos a practicar!

[Piockñec]

Integrales (IV)

Antes de nada, unas cuantas propiedades de las integrales:

Linealidad: \( \displaystyle\int_{a}^{b} (\alpha*f(x)+\beta*g(x))dx=\alpha*\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta*\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx \)
Donde \( \alpha \) y \( \beta \) son simples números. No son ni x, ni funciones de x...

Regla de Barrow: \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(a)-F(b) \) (Sí, es el teorema fundamental del cálculo).
Esta regla nos sirve para calcular integrales definidas en un intervalo [a,b]... que da lo mismo que la misma integral definida en el intervalo [a,b),(a,b], y (a,b). Ello es debido a que añadiendo un punto más al intervalo no aumentamos el área nada (porque bajo un punto no hay área, hay longitud). Y eso hace evidente la siguiente propiedad:

\( \displaystyle\int_{1}^{3}f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)dx=F(2)-F(1)+F(3)-F(2)=F(3)-F(1) \)

Y también esta propiedad:

\( \displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int_{2}^{1}f(x)dx=F(2)-F(1)+F(1)-F(2)=0 \)
Con la 3º y la 5º igualdad, igualando, tenemos la siguiente propiedad:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=-\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=-\displaystyle\int_{1}^{0}f(x)dx \)

Y ahora la regla más importantísima de todas que, prácticamente, será la que nos permitirá hacer todas las integrales:

Regla de la cadena: \( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C \)
Para explicarla usaré los ejercicios resueltos.

Ahora un comentario sobre la notación:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|^a _b=F(a)-F(b) \)
Esa barra, como ya ocurría en la derivada, significa "evaluado en". Arriba se pone la parte superior del intervalo, como en la integral, y debajo se pone la parte inferior del intervalo (ahora explicaré qué significa cada cosa en la notación de la integral, un poco tarde jeje).

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)
Se lee: "Integral de f(x) de \( a \) a \( b \) (con respecto a x)".
¿Y por qué esa forma de escribirlo?
La línea retorcida de integral \( \displaystyle\int \) parece una S... se refiere a la suma de Riemann que hicimos antes, y recordándola, uno interpreta lo siguiente: Cada imagen de cada x, es decir, cada f(x), multiplica a una base (base por altura, base por altura, base por altura...). Cada base es una minibase, infinitamente pequeña (eso es el concepto de diferencial. dx es un diferencial) Así que la integral es la suma de todas las imágenes de x por un intervalillo chiquitín dx, dando infinitas áreas chiquitillas, y la suma es el área total con toda precisión. O la primitiva

Hay "dos tipos" de integrales: La integral indefinida, y la integral definida.
\( \displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C \)
Integral indefinida
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \)
Integral definida

La segunda denota el área que yace bajo f(x) entre a y b. La primera es la primitiva de la función, que la derivarla da f(x).
¿Qué relación existe entre ambas?

\( \displaystyle\int_{0}^{x}f(x)dx=F(x)-F(0) \)
Si recordamos lo que yo hice al tratar de conseguir la integral de 2x vía rectas tangentes (que derivó en la suma de Riemann), me inventé que en 0 la función primitiva valía 0. Luego expliqué que realmente, funciones primitivas había infiintas, todas muy parecidas y sólo se diferenciaban en una constante. Pues bien, esa es la constante:
\( C=-F(0) \)
De forma que la integral indefinida queda:
\( \displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C \)

Y con esto y un bizcocho...
termino mi tocho.

Ahora...

¡A integrar!