Autor Tema: Implicación lógica (en la definición de límite de una función y general)

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08 Febrero, 2014, 01:27 pm
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arkady-svidrigailov

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Hola, tengo una pequeña duda en algo: cuando uno define el límite de una función lo hace a través de la siguiente proposición
\( [  \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \to |f(x)-L| < \epsilon  ] (0) \)
Ahora, si es verdadera se puede escribir
\( [  \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon  ] (1) \) ya que es una tautología, pero podría decir que (1) es una proposición falsa? es decir, una expresión \( A \implies B \) es una proposición? (tanto así como con la equivalencia lógica), porque si no no sabría qué diferencia hay entre (1) y (0). Saludos.

08 Febrero, 2014, 02:03 pm
Respuesta #1

luis

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antes de intentar responder, voy a poner un ejemplo. tomemos la definición de "ser par": un número es par si es múltiplo de 2. lo voy a escribir así.

n es par   :=   hay un m tal que n = 2m

o mejor,

\( Par(n) \qquad   := \qquad  (\exists m :: n = 2 \times m) \)

observa que la expresión \( (\exists m :: n = 2 \times m) \) no es ni verdadera ni falsa, porque depende de \( n \). Si la frase \( Par(2) \) es verdadera, quiere decir que 2 es par, y si fuera falsa querría decir que no es par.

Lo más parecido a decir que \( (\exists m :: n = 2 \times m) \) es una tautología (aunque no es técnicamente exacto) sería decir que la frase es verdadera independientemente del \( n \) elegido. O sea, sería una definición que definiría a todos los números, y no solamente a los pares.

Las definiciones que no permiten discriminar pueden aparecer en argumentaciones o conjeturas, pero por lo general no tienen sentido en contextos en que se usan con un sentido técnico ya conocido; ese es el caso de "ser par" que define un subconjunto de naturales.

Así que mi primera observación es que habitualmente no queremos que las definiciones sean tautologías. Escribimos las definiciones usando expresiones incompletas que pueden ser verdaderas, y que definen aquellas cosas que precisamente completan las oraciones de forma que sean verdaderas, como lo hace el 2 en Par(n).

Ahora sí,
\( [\lim f = L   :=     \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon  ]  \)
es una oración incompleta; cuando colocas una función f y un número L que completan esa oración y la hacen verdadera, es cuando dices que "el límite de f es L"; y si al completarla la oración queda falsa, dices que "no es cierto que el límite de f sea L". no hay tautologías en juego, ni proposiciones falsas; solamente oraciones incompletas, que recién al completarse pueden volverse verdaderas y falsas. Si no fuera así, la definición sería muy extraña: definiría todo, o no definiría nada.

saludos

luis

08 Febrero, 2014, 03:37 pm
Respuesta #2

arkady-svidrigailov

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mmmm, pensándolo más...
\( \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \to |f(x)-L| < \epsilon \) es una fórmula libre en las variables c y L, cuyo univero son los reales; sea p(c,L).
Se define al límite de una función como lógicamente equivalente a esta fórmula
\( \displaystyle\lim_{x \to c}{f(x)}=L :\iff \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \to |f(x)-L| < \epsilon = p(c, L) \)
De manera que, que el límite de f (bla bla) sea L, es verdadero sólo si p(c, L) es verdadero, para c y L fijos, ahora sí una proposición.
Decir que p(c, L) es una tautología es decir que tal proposición es verdadera para cualquier par de elementos c y L. Tal cosa no es posible y por lo tanto no podría escribirse \( \forall \varepsilon > 0 \;\, \exists \delta > 0 \;\, \forall x \in A : 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon \)... digamos que esto último es una proposición falsa? o simplemente no es correcto escribirlo? está bien esto?

08 Febrero, 2014, 04:00 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Igual me equivoco, pero da la impresión de que piensas que los cuantificadores sólo afectan a la primera parte de la implicación. En realidad es:

\( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A \Bigl(0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon\Bigr) \)

Las variables libres son cuatro: A, c, f y L, y, como los cuantificadores van fuera, esa fórmula es correcta en la medida en que lo es por sí misma la que queda dentro del paréntesis:

\( 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon \)

Parece también que quieres establecer alguna clase de diferencia entre esto y

\( 0 < |x-c| < \delta \rightarrow |f(x)-L| < \epsilon \)

y por tus palabras me hago una idea ligera de en qué pretendes que consiste, pero no estoy muy seguro de que, al menos en este contexto, la diferencia que pretendes establecer pueda tener un significado preciso. Me da la sensación de que tratas de tomar una distinción que (aunque inútil) puede tener sentido en el cálculo proposicional y tratas de aplicarla en el contexto del cálculo de primer orden.

En la práctica, lo único relevante en todo esto es que

\( 0 < |x-c| < \delta \rightarrow |f(x)-L| < \epsilon \)

(sin que poner una flecha u otra signifique nada) es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos, al igual que lo es

\( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A \Bigl(0 < |x-c| < \delta \rightarrow |f(x)-L| < \epsilon\Bigr) \).

Como te dice luis, una fórmula con variables libres no es verdadera ni falsa, y una fórmula sin variables libres, en general, tampoco, salvo que se fije un modelo de su lenguaje al cual hacer referencia. Ningún teorema (no trivial) de la teoría de conjuntos en verdadero ni falso en sí mismo. Lo máximo que podemos decir es que los teoremas de la teoría de conjuntos son verdaderos en los modelos de la teoría de conjuntos.
 

08 Febrero, 2014, 04:32 pm
Respuesta #4

arkady-svidrigailov

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Claro sí, son cuatro las variables (yo me lo imaginaba en un contexto donde la función ya esté dada, en cuyo caso ya no serían variables f(x) y A).

Citar
Me da la sensación de que tratas de tomar una distinción que (aunque inútil) puede tener sentido en el cálculo proposicional y tratas de aplicarla en el contexto del cálculo de primer orden.
No entiendo bien, ¿se podría hacer una distinción válida en el calculo de primer orden que no sea válida en el cálculo proposicional?

¿Me decís implícitamente que una expresión de la forma \( (q \implies w) \), con \( q, w \) fórmulas libres, es una fórmula libre? ¿no debería ser una proposición en todo caso, que para que \( q \implies w \) debe ser w verdadero siempre que q lo sea, para cualquier universo y cualquier objeto tomado de este?

08 Febrero, 2014, 05:01 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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No entiendo bien, ¿se podría hacer una distinción válida en el calculo de primer orden que no sea válida en el cálculo proposicional?

Yo te decía justo lo contrario, pero me lo pones más fácil: por ejemplo, en el cálculo de primer orden puedes distinguir entre fórmulas con variables libres y sentencias (donde no hay variables libres), y esta distinción no tiene sentido en el cálculo proposicional, donde no hay variables (o, mejor dicho, donde las variables representan afirmaciones y, por lo tanto, no pueden dividirse en libres y ligadas).

¿Me decís implícitamente que una expresión de la forma \( (q \implies w) \), con \( q, w \) fórmulas libres, es una fórmula libre? ¿no debería ser una proposición en todo caso, que para que \( q \implies w \) debe ser w verdadero siempre que q lo sea, para cualquier universo y cualquier objeto tomado de este?

No entiendo tu lenguaje. ¿A qué llamas fórmulas libres y a qué llamas proposiciones?

08 Febrero, 2014, 05:35 pm
Respuesta #6

arkady-svidrigailov

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yo manejo esta información:
fórmula libre: fórmula donde hay variables que no están afectadas por un cuantificador (están libres)
proposición o enunciado (o sentencia ahora que me decís): fórmula donde no hay variables libres

Yo lo que pienso es que si uno escribe \( p \implies q \) siendo \( p, q \) fórmulas libres (no estoy especificando en qué variables para hacerlo más general), entonces todas las posibles proposiciones que puedan tener lugar para estas fórmulas evaluadas en los valores del universo donde se mueven las variables (sea cualquiera este universo), son tales que siempre que q es verdadero p lo es.
Considero entonces que \( p \implies q \) no podría ser una fórmula libre porque no hay ambiguedad, y es lo que tengo la impresión que me estabas diciendo acá:
Citar
esa fórmula es correcta en la medida en que lo es por sí misma la que queda dentro del paréntesis

Pero tampoco sé si sería una proposición.

Y tendría un par de preguntas más pero como no estudié eso, sería sacarles tiempo al pedo, algún día trataré de informarme mejor.

08 Febrero, 2014, 06:30 pm
Respuesta #7

arkady-svidrigailov

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...por otro lado sin dejar de lado el tema anterior...
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de manera errónea (más bien pregunto si es así  ;D), podría pensarse en la fórmula libre \( m(\varepsilon, \delta) = \forall x \in A ( 0 < |x-c| < \delta \to |f(x)-L| < \epsilon) \), con \( c, L \) fijos y universo los reales positivos, donde ahí sí sería válido el límite si \( m(\varepsilon, \delta) \) es una tautología, es decir si es verdad que \( \forall x \in A ( 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon) \) (la estoy tratando como proposición), pero en realidad sólo para el universo de los números reales positivos y no para cualquiera.
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Estoy tomando una definición de implicación lógica de un apunte que encontré en internet de la universidad de cádiz:
Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 implica lógicamente A2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo, A2 es verdad cuando A1 lo sea.
El predicado vendría a ser una fórmula abierta supongo.

08 Febrero, 2014, 06:44 pm
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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yo manejo esta información:
fórmula libre: fórmula donde hay variables que no están afectadas por un cuantificador (están libres)
proposición o enunciado (o sentencia ahora que me decís): fórmula donde no hay variables libres

Vale, llamas proposiciones a lo que yo llamo sentencias.

Yo lo que pienso es que si uno escribe \( p \implies q \) siendo \( p, q \) fórmulas libres (no estoy especificando en qué variables para hacerlo más general), entonces todas las posibles proposiciones que puedan tener lugar para estas fórmulas evaluadas en los valores del universo donde se mueven las variables (sea cualquiera este universo), son tales que siempre que q es verdadero p lo es.

Esto ya no lo entiendo. ¿A qué proposiciones te refieres?

de manera errónea (más bien pregunto si es así  ;D), podría pensarse en la fórmula libre \( m(\varepsilon, \delta) = \forall x \in A ( 0 < |x-c| < \delta \to |f(x)-L| < \epsilon) \), con \( c, L \) fijos y universo los reales positivos,

Pero pareces olvidar que la fórmula que llamas \( m(\varepsilon,\delta) \) tiene más variables libres, c, L, f. Por que digas que son "fijos" no dejan de ser tres variables libres en la fórmula.

donde ahí sí es válido el límite si \( m(\varepsilon, \delta) \) es una tautología, es decir si es verdad que \( \forall x \in A ( 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon) \) (la estoy tratando como proposición),

Pero si dices que una proposición es una fórmula sin variables libres, entonces no puedes tratar esa fórmula como proposición porque tiene variables libres, te guste o no. Y no es una tautología porque según qué valores le des a c, L, f podrá ser verdadera o falsa. No le veo sentido que digas que son "fijos" cuando quieras o no son tres variables.

Estoy tomando una definición de implicación lógica de un apunte que encontré en internet de la universidad de cádiz:
Sean A1 y A2 dos afirmaciones que contienen predicados. Diremos que A1 implica lógicamente A2 si para cualquier universo del discurso que elijamos y para cualquier valor de las variables en el mismo, A2 es verdad cuando A1 lo sea.
El predicado vendría a ser una fórmula abierta supongo.


Pero entonces lo que llamas "implicación lógica" no es una fórmula del lenguaje formal que estás considerando, sino una relación metamatemática entre dos fórmulas de dicho lenguaje. Y esto confirma mi impresión de que lo que decías en tu primer mensaje no tiene sentido porque la \( \implies \) no divide la fórmula en dos partes, sino que los cuantificadores envuelven a ambas partes, por lo que la definición que das aquí no encaja.

08 Febrero, 2014, 08:52 pm
Respuesta #9

arkady-svidrigailov

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Cuando uno liga las variables en una fórmula con variables libres (revisé y me di cuenta que no aparece el término "fórmula libre" jaja), ¿no se transforma en una proposición? Al adquirir un valor de verdad.
Si uno tiene la fórmula con una variable libre \( p(x)= \exists y \in \mathbb{Z} \, (x = 2 \cdot y) \) (que describe la propidad de paridad de los números), con universo para \( x \) los números enteros por ejemplo; cuando se considera \( p(4) \), ésta es una proposición, porque resulta que es verdadera, no?
Y todas las proposiciones posibles son \( p(0), p(1), p(-1), p(2)... \) que son verdadera, falsa, falsa, verdadera, etc. En ese sentido estaba considerando lo que me señalás acá:
Citar
Yo lo que pienso es que si uno escribe [p \implies q] siendo [p, q] fórmulas libres (no estoy especificando en qué variables para hacerlo más general), entonces todas las posibles proposiciones que puedan tener lugar para estas fórmulas evaluadas en los valores del universo donde se mueven las variables (sea cualquiera este universo), son tales que siempre que q es verdadero p lo es.

Esto ya no lo entiendo. ¿A qué proposiciones te refieres?

Está mal?

Cuando me decís:
Citar
Pero pareces olvidar que la fórmula que llamas [m(\verepsilon,\delta)] tiene más variables libres, c, L, f. Por que digas que son "fijos" no dejan de ser tres variables libres en la fórmula.

En una fórmula \( k(t)= (5+t=6) \) con universo los números reales, el 5 no es una variable; ese mismo sentido tiene cuando dije que c está fijo en \( m(\varepsilon, \delta) \)

08 Febrero, 2014, 09:05 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Cuando uno liga las variables o se les das un valor, en una fórmula con variables libres (revisé y me di cuenta que no aparece el término "fórmula libre" jaja), ¿no se transforma en una proposición? Al adquirir un valor de verdad.

Si llamas proposiciones a las fórmulas sin variables libres, entonces obviamente sí, aunque lo de adquirir un valor de verdad no tiene nada que ver. Si ligas las variables de una fórmula, obtienes una fórmula sin variables libres, luego una proposición. Por otro lado, la fórmula \( x=x \) tiene una variable libre y eso no impide que sea verdadera en cualquier modelo.

Si uno tiene la fórmula con una variable libre \( p(x)= \exists y \in \mathbb{Z} \, (x = 2 \cdot y) \) (que describe la propidad de paridad de los números), con universo los números enteros por ejemplo; cuando se considera \( p(4) \), ésta es una proposición, porque resulta que es verdadera, no?

Es una proposición porque no tiene variables libres, pero también sería una proposición \( p(5) \). Que sea verdadera o falsa da igual y, como te decía, \( x=x \) también es verdadera y no es una proposición (según tu definición).

Y todas las proposiciones posibles son \( p(0), p(1), p(-1), p(2)... \) que son verdadera, falsa, falsa, verdadera, etc. En ese sentido estaba considerando lo que me señalás acá:
Citar
Yo lo que pienso es que si uno escribe [p \implies q] siendo [p, q] fórmulas libres (no estoy especificando en qué variables para hacerlo más general), entonces todas las posibles proposiciones que puedan tener lugar para estas fórmulas evaluadas en los valores del universo donde se mueven las variables (sea cualquiera este universo), son tales que siempre que q es verdadero p lo es.

Esto ya no lo entiendo. ¿A qué proposiciones te refieres?

Está mal?

Ese ejemplo no explica el caso general. Toma en su lugar \( p(x)= \forall pq\in \mathbb Z\ p x\neq q \). ¿Cuáles son ahora "todas las proposiciones posibles", si entiendes que \( x \) puede variar en los números reales? No tienes un nombre para cada número real. No puedes definir cada uno de los números reales (al contrario de lo que sucede con los enteros). Por lo tanto, no entiendo cuál es son todas las proposiciones que puedes formar sustituyendo \( x \) por valores concretos.

Cuando me decís:
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Pero pareces olvidar que la fórmula que llamas [m(\verepsilon,\delta)] tiene más variables libres, c, L, f. Por que digas que son "fijos" no dejan de ser tres variables libres en la fórmula.

En una fórmula \( k(t)= (5+t=6) \) con universo los números reales, el 5 no es una variable; ese mismo sentido tiene cuando dije que c está fijo en \( m(\varepsilon, \delta) \)

Pero de nuevo ese ejemplo no es general. Ahí 5 es una constante que puedes definir y sustituir por la fórmula que la define, pero si \( c \) pretende representar un número real, esa c no es como el 5, no es una constante definida, es una letra, una variable, la mires como la mires. Y por decir que "está fija" no dejas de tener ahí una variable. Y además, no tienes una "totalidad de constantes definibles concretas" que puedan colocar en lugar de esa c para abarcar todas las posibilidades que expresa esa fórmula.

Aun suponiendo que consideraras a la c como una constante y no una variable, cuando se habla de tautologías, se entiende que han de serlo para todas las interpretaciones posibles de las constantes, con lo que "fijarlas" no aporta nada, ya que la definición de tautología (yo diría de fórmula lógicamente válida) exige hacerlas variar, exactamente igual que si fueran variables.

08 Febrero, 2014, 10:28 pm
Respuesta #11

arkady-svidrigailov

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Por otro lado, la fórmula [x=x] tiene una variable libre y eso no impide que sea verdadera en cualquier modelo.
Yo más bien diría que uno toma un elemento \( c \) dentro del universo de \( x \), hace \( c=c \) y después adquiere un valor de verdad (la fórmula libre no tiene un valor de verdad). Y que el hecho de que sea cierto o verdadero para cualquier objeto presupone otras consideraciones.

Citar
Es una proposición porque no tiene variables libres, pero también sería una proposición [p(5)] . Que sea verdadera o falsa da igual y, como te decía, [x=x] también es verdadera y no es una proposición (según tu definición).

Sí también considero que es p(5) una proposición, y en cualquier número entero en ese caso; a lo que me refiero es que tiene un valor de verdad (verdadero o falso); y que \( x=x \) no es verdadera o falsa hasta que un elemento sustituya a \( x \).

Citar
Toma en su lugar [p(x)= \forall pq\in \mathbb Z\ p x\neq q] . ¿Cuáles son ahora "todas las proposiciones posibles", si entiendes que
  • puede variar en los números reales? No tienes un nombre para cada número real. No puedes definir cada uno de los números reales (al contrario de lo que sucede con los enteros). Por lo tanto, no entiendo cuál es son todas las proposiciones que puedes formar sustituyendo
  • por valores concretos.
Y bueno en ese caso todas las proposiciones posibles no son contables, son infinitas no numerables! Está mal? Siendo todas las proposiciones falsas porque en el caso en que \( p=q=0 \) se confirma la igualdad \( \forall x \in \mathbb{R} \), es decir es una contradicción.

Citar
Pero de nuevo ese ejemplo no es general. Ahí 5 es una constante que puedes definir y sustituir por la fórmula que la define, pero si [c] pretende representar un número real, esa c no es como el 5, no es una constante definida, es una letra, una variable, la mires como la mires. Y por decir que "está fija" no dejas de tener ahí una variable. Y además, no tienes una "totalidad de constantes definibles concretas" que puedan colocar en lugar de esa c para abarcar todas las posibilidades que expresa esa fórmula.

Aun suponiendo que consideraras a la c como una constante y no una variable, cuando se habla de tautologías, se entiende que han de serlo para todas las interpretaciones posibles de las constantes, con lo que "fijarlas" no aporta nada, ya que la definición de tautología (yo diría de fórmula lógicamente válida) exige hacerlas variar, exactamente igual que si fueran variables.

Pero como \( c \) representa un valor fijo que no está como variable libre en la proposición, no se está teniendo en cuenta la variación de \( c \) en los reales, no estoy dando explícitamente cuáles son todas aquellas proposiciones que se logran de la sustitución de las variables por elementos de sus respectivos universos (siendo \( c \) tal o tal valor).
Cuando tengo \( u(a)= \exists b \in \mathbb{Z} (d = a \cdot b) \) (*) con universo los reales para \( a \), y \( d \) un valor fijo, estoy expresando (cuando verifican la fórmula) todos los número múltiplos de \( d \), y el conjunto de todas las proposiciones que tengo de remplazar \( a \) por los elementos del universo no son todas las proposiciones (que son verdaderas o falsas) para todos los valores de \( c \) real, sino de un \( c \) particular, no va a haber para \( c=3 \) una proposición \( u(6) \) verdadera y otra \( u(6) \) falsa (para \( c=4 \) por ejemplo).

Por lo menos es lo que yo entiendo de lo que leí jeje

(*) perdón, es \( u(a)= \exists b \in \mathbb{Z} (a = d \cdot b) \)

08 Febrero, 2014, 11:01 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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Por otro lado, la fórmula [x=x] tiene una variable libre y eso no impide que sea verdadera en cualquier modelo.
Yo más bien diría que uno toma un elemento \( c \) dentro del universo de \( x \), hace \( c=c \) y después adquiere un valor de verdad (la fórmula libre no tiene un valor de verdad). Y que el hecho de que sea cierto o verdadero para cualquier objeto presupone otras consideraciones.

Bueno, eres libre de adoptar las definiciones que consideres oportuno, pero deberías concretarlas. Considerar que \( x=x \) es verdadera en cualquier modelo es algo bastante estándar.

Citar
Es una proposición porque no tiene variables libres, pero también sería una proposición [p(5)] . Que sea verdadera o falsa da igual y, como te decía, [x=x] también es verdadera y no es una proposición (según tu definición).

Sí también considero que es p(5) una proposición, y en cualquier número entero en ese caso; a lo que me refiero es que tiene un valor de verdad (verdadero o falso); y que \( x=x \) no es verdadera o falsa hasta que un elemento sustituya a \( x \).

Es una forma de plantearlo, aunque no es la más práctica. Si quieres admitir que en una demostración aparezcan variables libres (cosa habitual en la mayoría de cálculos deductivos) y quieres justificar que las deducciones conservan la verdad de las premisas, necesitas asignar valores de verdad a las fórmulas con variables libres.

Citar
Toma en su lugar [p(x)= \forall pq\in \mathbb Z\ p x\neq q] . ¿Cuáles son ahora "todas las proposiciones posibles", si entiendes que
  • puede variar en los números reales? No tienes un nombre para cada número real. No puedes definir cada uno de los números reales (al contrario de lo que sucede con los enteros). Por lo tanto, no entiendo cuál es son todas las proposiciones que puedes formar sustituyendo
  • por valores concretos.
Y bueno en ese caso todas las proposiciones posibles no son contables, son infinitas no numerables! Está mal? Siendo todas las proposiciones falsas porque en el caso en que \( p=q=0 \) se confirma la igualdad \( \forall x \in \mathbb{R} \), es decir es una contradicción.

No es relevante para el caso, pero debí añadir \( q\neq 0 \), pues lo que quería expresar es que \( x \) es irracional, pero da igual.

En este punto, para entendernos, deberías aclarar de qué estamos hablando. Lo que dices puede ser coherente en el contexto de la teoría de modelos, siempre y cuando fijes un determinado lenguaje formal, que puede ser no numerable, pero tengo dudas de que realmente sea eso lo que estás pensando. Más bien me parece que tiendes a mezclar fórmulas con objetos que interpretan las variables de las fórmulas. Parece que creas que tiene sentido cambiar una variable por un objeto en una fórmula y así tienes otra fórmula, lo cual no tiene sentido. Podrías tener un lenguaje con una cantidad no numerable de constantes susceptibles de tener una cantidad no numerable de interpretaciones, pero la impresión que me da lo que escribes es que no estás pensando en algo así.

¿Podrías aclarar qué lenguaje formal estás considerando, qué signos tiene concretamente? Porque, salvo que estemos hablando de un contexto muy específico de la teoría de modelos, los lenguajes formales que se usan habitualmente en matemáticas son numerables (incluso para hablar de números reales, o de conjuntos en general), y no tiene sentido entonces hablar de una cantidad no numerable de fórmulas.

Pero como \( c \) representa un valor fijo que no está como variable libre en la proposición, no se está teniendo en cuenta la variación de \( c \) en los reales, no estoy dando explícitamente cuáles son todas aquellas proposiciones que se logran de la sustitución de las variables por elementos de sus respectivos universos (siendo \( c \) tal o tal valor).

Frases como ésta me resultan totalmente incomprensibles. O bien tienes una idea precisa de lo que quieres decir, pero no la haces explícita, o más bien me parece que hablas de conceptos lógicos sin ningún rigor (ya digo, igual me equivoco), pero es importante, porque, al contrario de lo que sucede con cualquier otra disciplina matemática, donde se puede trabajar perfectamente a distintos niveles de rigor, la lógica matemática es absolutamente inútil (e incluso contraproducente) si se usa sin rigor, pues así sólo puede dar lugar a un equívoco tras otro.

Cuando tengo \( u(a)= \exists b \in \mathbb{Z} (d = a \cdot b) \) con universo los reales para \( a \), y \( d \) un valor fijo, estoy expresando (cuando verifican la fórmula) todos los número múltiplos de \( d \), y el conjunto de todas las proposiciones que tengo de remplazar \( a \) por los elementos del universo

Pero es que eso no tiene ningún sentido. No puedes reemplazar una variable en una fórmula por un elemento de un universo. Eso es como si pretendes hacer un agujero a un mapa donde está el nombre de una ciudad y poner en ese lugar la ciudad misma. Los mapas hablan de ciudades, pero no puedes meter una ciudad de verdad en un mapa. Sólo un nombre de una ciudad.

A lo sumo podrías considerar un lenguaje (tal vez no numerable según los casos) que contuviera una constante para cada objeto de un universo dado, pero eso es una situación que sólo tiene interés en contextos muy técnicos de la teoría de modelos.

no son todas las proposiciones (que son verdaderas o falsas) para todos los valores de \( c \) real, sino de un \( c \) particular, no va a haber para \( c=3 \) una proposición \( u(6) \) verdadera y otra \( u(6) \) falsa (para \( c=4 \) por ejemplo).

Por lo menos es lo que yo entiendo de lo que leí jeje

Pues yo no te entiendo. Para tratar de entendernos, te pregunto una cosa: ¿a dónde quieres llegar con todo esto? Porque hay dos casos muy distintos:

1) Si pretendes explorar algunos conceptos de la teoría de modelos, lo que dices podría tener sentido, pero sólo en un contexto que sería muy artificial para un matemático no interesado especialmente en la teoría de modelos.

2) La impresión que yo tengo es que lo que intentas es analizar y comprender la lógica subyacente a concepto de límite tal y como lo usan los matemáticos. Si es así, todo lo que dices está fuera de lugar. Si es ése tu propósito, no puedes ir por ahí eligiendo lenguajes ni universos. Lo estándar sería que te restringieras al lenguaje de la teoría de conjuntos, que es un lenguaje numerable en el que no tiene sentido hablar de una cantidad no numerable de proposiciones, como pretendes, y donde todas las variables recorren todos los conjuntos posibles (y no vale decir, "con universo los números enteros", ni cosas así).

A lo sumo, podrías (aunque no es habitual y, desde luego, no tendría nada que ver con lo que cotidianamente hace un matemático, por riguroso que fuera) elegir un lenguaje específico para hablar de números reales, pero aun así, salvo que, en lugar de precisar lo que hacen los matemáticos cuando hablan de límites quisieras hacer algo radicalmente distinto, ese lenguaje formal tendría que ser numerable, y nuevamente no tendrían sentido tus consideraciones sobre conjuntos no numerables de proposiciones.

En resumen: si vas por el camino que estás siguiendo, aunque se podría dar definiciones rigurosas que se ajustaran a lo que pretendes, debes ser consciente de que así no vas a acabar entendiendo lo que hacen los matemáticos que trabajan con límites, porque este camino te lleva a un contexto relativamente exótico de la teoría de modelos que nada tiene que ver con lo que (creo que) estás buscando.

Por el contrario, si lo que pretendes es entender la lógica subyacente al concepto de límite o al razonamiento matemático que en general emplean los matemáticos, nada de lo que dices en este hilo es procedente. Lo que tendrías que entender es la lógica y la axiomática de la teoría de conjuntos y el cálculo deductivo de primer orden, donde tus proposiciones no numerables no tienen cabida, ni tus intentos de asignar valores de verdad, pues precisamente la lógica matemática ha sido cuidadosamente diseñada con la intención expresa de que nada de lo que pretendes decir pueda estar bien. Porque la lógica matemática que usan los matemáticos ha sido diseñada expresamente para que todo intento de hablar de valores de verdad sea algo complementario y marginal que nunca sea necesario para fundamentar el rigor formal. El concepto de rigor formal en un enunciado o en una demostración matemática no tiene nada que ver con valores de verdad. En todo caso, hay resultados teóricos que garantizan que si existe algo que pueda considerarse un valor de verdad, será acorde con el rigor formal, pero el primer paso para reducir un argumento matemático a su máximo nivel de rigor es comprometerse a no tener en cuenta para nada los posibles valores de verdad de las afirmaciones consideradas. Tú, en cambio, pretendes reducirlo todo a ellos.

Los (posibles) valores de verdad sólo pueden tenerse en cuenta para justificar que, en el hipotético supuesto de que tenga sentido tal concepto, será acorde al razonamiento formal riguroso.

Así pues, para que este hilo no sea una "jaula de grilos" en la que cada uno hable de sus cosas sin saber de qué habla el otro, sería imprescindible que centraras en tema: ¿estás hablando de teoría de modelos con posibles lenguajes formales no numerables (que es una teoría matemática bastante técnica muy alejada de la matemática (rigurosa) cotidiana) o pretendes analizar con rigor el razonamiento matemático real que usan cotidianamente los matemáticos?

08 Febrero, 2014, 11:53 pm
Respuesta #13

arkady-svidrigailov

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Parece que creas que tiene sentido cambiar una variable por un objeto en una fórmula y así tienes otra fórmula, lo cual no tiene sentido.
Eso es lo que pienso!

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Podrías tener un lenguaje con una cantidad no numerable de constantes susceptibles de tener una cantidad no numerable de interpretaciones, pero la impresión que me da lo que escribes es que no estás pensando en algo así.
Es que no separo lo que es la constante y la interpretación, sino que lo tomo como un signo (en el sentido que la da saussure) y si fuera una variable, de significado incierto.

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¿Podrías aclarar qué lenguaje formal estás considerando, qué signos tiene concretamente? Porque, salvo que estemos hablando de un contexto muy específico de la teoría de modelos, los lenguajes formales que se usan habitualmente en matemáticas son numerables (incluso para hablar de números reales, o de conjuntos en general), y no tiene sentido entonces hablar de una cantidad no numerable de fórmulas.

No sé jaja no conozco sobre teoría de modelos, más que nada estoy lucubrando para ver si entiendo la cosa, estoy por rendir álgebra 1.
Sí debe ser que no logro expresarme, pero hay cosas que decís que no me cierran.


Pienso que la matemática tiene sentido sólo cuando se corresponde con la realidad, y que el determinar tal y tal ley según las cuales es correcto proceder sólo tiene sentido cuando se le da una interpretación que resulta acorde a lo que se experimenta. etc. (no estoy muy inspirado)

En en sentido más profundo lo que me pasa es que no me cierra bien algunas cosas de la lógica de primer orden, proposicional también, se podría decir quizás...
Todavía no me aclaraste (ni nadie va) si \(  p \implies q  \), con \( p, q \) fórmulas con variables libres es o no una fórmula con variables libres, o una proposición, o nada de eso.


09 Febrero, 2014, 12:07 am
Respuesta #14

Carlos Ivorra

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Parece que creas que tiene sentido cambiar una variable por un objeto en una fórmula y así tienes otra fórmula, lo cual no tiene sentido.
Eso es lo que pienso!

Pues eso no tiene sentido.

Es que no separo lo que es la constante y la interpretación, sino que lo tomo como un signo (en el sentido que la da saussure) y si fuera una variable, de significado incierto.

Pues estás atentando contra la base misma de la lógica. ¿A qué llamas signo entonces? ¿Le ves sentido a tomar como un signo a cada uno de los números reales? Insisto en que a eso se le puede dar sentido en un contexto muy concreto de la teoría de modelos, pero, si no estamos hablando de eso (y parece que no), entonces es la antítesis del rigor matemático.

No sé jaja no conozco sobre teoría de modelos, más que nada estoy lucubrando para ver si entiendo la cosa.
Sí debe ser que no logro expresarme, pero hay cosas que decís que no me cierran.

Ya imagino, pero el problema es mutuo. Desde el punto de vista ingenuo del que parece que partes, el problema es que nada de lo que dices puede sostenerse con rigor. Creo que estás buscando el rigor matemático y lo destruyes de salida al buscarlo a través de conceptos totalmente carentes de rigor. No quisiera ofenderte. Estoy tratando de orientarte, pero lo primero que necesitas para orientarte es ver que así no vas nada bien, que no tienes algún error aislado que debas subsanar, sino que todo tu planteamiento es un error en sí mismo. Suena grave, pero es como si un enfermo de cáncer pide un diagnóstico. Lo primero que hay que hacer para que pueda curarse es que comprenda que tiene un cáncer y no un resfriado.

Pienso que la matemática tiene sentido sólo cuando se corresponde con la realidad, y que el determinar tal y tal ley según las cuales es correcto proceder sólo tiene sentido cuando se le da una interpretación que resulta acorde a lo que se experimenta. etc. (no estoy muy inspirado)

El problema es que ese planteamiento es inviable, porque es absolutamente imposible definir con rigor "la realidad matemática". Si fuera posible hacer tal cosa, toda la lógica matemática sería superflua y carente de interés. Hay muchas escuelas filosóficas a este respecto, pero hasta la mas "realista" reconocerá que no hay una forma objetiva de distinguir "la realidad de verdad de la buena" de otras "realidades" que funcionan igual de bien que ésta sin ser ésta.

En en sentido más profundo lo que me pasa es que no me cierra bien algunas cosas de la lógica de primer orden, proposicional también, se podría decir quizás...
Todavía no me aclaraste (ni nadie va) si \(  p \implies q  \), con \( p, q \) fórmulas con variables libres es o no una fórmula con variables libres, o una proposición, o nada de eso.

Es difícil responderte a esa pregunta, porque depende más de lo que quieras llamar fórmula o proposición, es decir, nadie puede responderte a eso sin psicoanalizarte antes. De todos modos, yo lo he intentado:

Pero entonces lo que llamas "implicación lógica" no es una fórmula del lenguaje formal que estás considerando, sino una relación metamatemática entre dos fórmulas de dicho lenguaje.

Es decir, tal y como has definido los términos que empleas,  \(  p \implies q  \) es una relación metamatemática entre dos fórmulas, pero ni es una fórmula, ni es una proposición ni nada de eso (siempre de acuerdo con tus definiciones). Yo sigo sin ver el interés de esa definición de "\( \implies \)".

09 Febrero, 2014, 12:51 am
Respuesta #15

arkady-svidrigailov

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Pues estás atentando contra la base misma de la lógica. ¿A qué llamas signo entonces? ¿Le ves sentido a tomar como un signo a cada uno de los números reales?

A un número real no, a una variable, donde el significado incierto es algún elemento perteneciente al universo que tenga y significante: \( x \), lo que uno ve escrito o lo escucha al pronunciarlo (ya relacionando más la cosa con el lenguaje natural, el metalenguaje). Un número real lo veo como un objeto ilusorio, que cumple ciertas propiedades y que ayudan a analizar las propiedades de las cosas.

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El problema es que ese planteamiento es inviable, porque es absolutamente imposible definir con rigor "la realidad matemática". Si fuera posible hacer tal cosa, toda la lógica matemática sería superflua y carente de interés. Hay muchas escuelas filosóficas a este respecto, pero hasta la mas "realista" reconocerá que no hay una forma objetiva de distinguir "la realidad de verdad de la buena" de otras "realidades" que funcionan igual de bien que ésta sin ser ésta.

No pretendo definir con rigor la matemática, aunque tengo mis dudas sobre si hay una realidad objetiva (lo que plantea el realismo científico) más allá de que podamos o no percibirla, y de ser posible (si es posible determinar que existe una) sería a través de la matemática, me parece. De todas formas, si una matematización de la realidad funciona a los efectos que queremos, qué importa si es o no la "verdadera", si encontrar la "verdadera" fuera nuestro objetivo, ya sabemos que es imposible (casi, acaso).

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Es decir, tal y como has definido los términos que empleas,  [ p \implies q ] es una relación metamatemática entre dos fórmulas, pero ni es una fórmula, ni es una proposición ni nada de eso (siempre de acuerdo con tus definiciones). Yo sigo sin ver el interés de esa definición de " [\implies] ".

Pero si me decís que tengo que atenerme a los sistemas formales no me vas a decir ahora que depende de lo que yo considere jejej. Bueno entonces es solamente una relación, sería incorrecto escribir "la fórmula con una variable libre \( h(y) = [(x+2=4x+8) \iff (3x+6=4x+8)] \)" entonces, no? gracias.

09 Febrero, 2014, 01:07 am
Respuesta #16

Carlos Ivorra

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Pues estás atentando contra la base misma de la lógica. ¿A qué llamas signo entonces? ¿Le ves sentido a tomar como un signo a cada uno de los números reales?

A un número real no, a una variable, donde el significado incierto es algún elemento perteneciente al universo que tenga y significante: \( x \), lo que uno ve escrito o lo escucha al pronunciarlo (ya relacionando más la cosa con el lenguaje natural, el metalenguaje). Un número real lo veo como un objeto ilusorio, que cumple ciertas propiedades y que ayudan a analizar las propiedades de las cosas.

Pero tú pretendes hablar de las fórmulas que resultan de quitar una variable en una fórmula y sustituirla por un número real. Es a eso a lo que has llegado cuando me has dicho que al sustituir \( x \) por números reales obtendríamos una cantidad no numerable de proposiciones, pero meter números reales en fórmulas para obtener proposiciones sería tratar a los números reales como signos, y tú mismo reconoces que eso no puede ser, con lo que estás reconociendo una contradicción en tu planteamiento.

Lo mismo sucede cuando dices que no distingues una constante de su interpretación. Cuando una constante, como la c de tu ejemplo, tiene que interpretarse como un número real, al decir que no distingues una constante (un signo) de su interpretación (un número real) estás mezclando dos cosas que tú mismo admites que no pueden mezclarse.

No pretendo definir con rigor la matemática, aunque tengo mis dudas sobre si hay una realidad objetiva (lo que plantea el realismo científico) más allá de que podamos o no percibirla, y de ser posible (si es posible determinar que existe una) sería a través de la matemática, me parece.

Pues si piensas eso, que es razonable, no vas bien cuando dices que la matemática sólo tiene sentido cuando se corresponde con la realidad. No puedes analizar la matemática tratando de hacerla corresponder con la realidad si al mismo tiempo cuestionas que exista una realidad objetiva. Precisamente la lógica matemática se inventó para no tener que postular una realidad objetiva a la hora de hacer matemáticas.

Pero si me decís que tengo que atenerme a los sistemas formales no me vas a decir ahora que depende de lo que yo considere jejej.

Claro que te lo digo. A la hora de trabajar con sistemas formales puedes adoptar convenios arbitrarios muy distintos, aunque en el fondo vengan a ser más o menos equivalentes. Yo estoy tratando de responderte en todo momento ajustándome a lo que puedo entrever de tus criterios en lo que dices. Si tuviera que ceñirme a los míos sin atender a que mis convenios no son los únicos posibles, te diría que no tiene ningún sentido distinguir entre \( \rightarrow \) y \( \implies \).

Bueno entonces es solamente una relación, sería incorrecto escribir "la fórmula con una variable libre \( h(y) = [(x+2=4x+8) \iff (3x+6=4x+8)] \)" entonces, no? gracias.

Es que "correcto" o "incorrecto" son términos subjetivos. Depende de los convenios y definiciones que adoptes. Los tuyos no acabo de tenerlos claros. Si nos atenemos a los míos (que en lo que aquí tratamos son bastante estándar) te diría que lo que escribes es totalmente correcto (salvo que supongo que querías decir \( h(x) \)), pero entendiendo que \( \iff \) es exactamente lo mismo que \( \leftrightarrow \).

09 Febrero, 2014, 04:57 am
Respuesta #17

arkady-svidrigailov

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Sí, me retracto, un número real también diría que es un signo; lo que quise decir es que su significado no es incierto, y que en una variable el significado sí es incierto y éste puede ser el significado de cualquiera de los signos de los números reales (el significado de éstos no éstos mismos).

La posición que tomo se deriva de la manera en que veo planteados los teoremas y eso, seguro quiero decir algo que dirías con otras palabras... ehh... cuando tengo una fórmula con dos variables libres \( \phi (j, k) \) en cierto universo, si considero el conjunto de todas las proposiciones que obtengo de reemplazar \( j \) y \( k \) por cada elemento del universo, éste conjunto no va a ser el mismo que el conjunto de las proposiciones que se forman al reemplazar \( j \) por cada elemento del universo, siendo \( k=m \), con \( m \) un elemento fijo de ese universo; a eso me refiero. Si el universo fueran los números naturales del \( 1 \) al \( 30 \), entonces ese primer conjunto sería la unión de las proposiciones que resultan de variar \( j \) en \( \phi (j, k) \) con \( k=1 \) un valor fijo, (unión...) el conjunto de las proposiciones que resultan de variar \( j \) en \( \phi (j, k) \) con \( k=2 \) un valor fijo, etc.

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Si tuviera que ceñirme a los míos sin atender a que mis convenios no son los únicos posibles, te diría que no tiene ningún sentido distinguir entre \rightarrow y \implies.
Perooo, digamos sean \( p, q \) proposiciones, \( p \rightarrow q \) tiene la tabla de verdad ya conocida, por otro lado \( p \implies q \) nos dice que la proposición \( p \rightarrow q \) es siempre verdadera (es una tautología), de manera que también nos está diciendo que no puede ser \( p \) verdadero y \( q \) falso.
Si trato a \( p \implies q \) como una proposición, el que sea falsa significaría que la proposición \( p \rightarrow q \) es verdadera y falsa, o siempre falsa, en los diferentes valores de verdad de \( p \) y \( q \). A esa diferencia me refiero, de manera que \( \rightarrow \) y \( \implies \) no sean lo mismo.

09 Febrero, 2014, 10:56 am
Respuesta #18

luis

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Perooo, digamos sean \( p, q \) proposiciones, \( p \rightarrow q \) tiene la tabla de verdad ya conocida, por otro lado \( p \implies q \) nos dice que la proposición \( p \rightarrow q \) es siempre verdadera (es una tautología), de manera que también nos está diciendo que no puede ser \( p \) verdadero y \( q \) falso.
Si trato a \( p \implies q \) como una proposición, el que sea falsa significaría que la proposición \( p \rightarrow q \) es verdadera y falsa, o siempre falsa, en los diferentes valores de verdad de \( p \) y \( q \). A esa diferencia me refiero, de manera que \( \rightarrow \) y \( \implies \) no sean lo mismo.

la verdad es que estoy bastante confundido. a ver si esto me ayuda a entenderte...

* acordemos que una proposición es algo que es verdadero o falso (por ahora, sólo eso)
* y que una proposición, en determinado contexto, será verdadera o falsa
* y que uno investiga la verdad de la proposición \( p \to q \) haciendo su tabla de verdad a partir de las proposiciones \( p,q \)

voy a escribir que la proposición \( p \) es verdadera en "el contexto" \( M \) como \( M \models p \). Por ejemplo, la proposición "0 es el menor número" es verdadera si nuestro contexto son los naturales, y falsa si son los enteros.

hasta ahí estamos dentro de lo habitual, y uno puede afirmar, por ejemplo,
\( M \not\models p \to q \text{ si y solo si }M \models p \text{ pero } M \not\models q \)

parece que tu juicio \( p \Rightarrow q \) pretende decir \( (\forall M :: M \models p \to q) \). si es así, van dos comentarios...

1. has optado por salir del primer orden en tu análisis de proposiciones. y creo que excede lo que precisas para entender tu dificultad original con la definición de límite.

2. el mecanismo que eliges es algo entreverado. imagina todas las otras conectivas proposicionales que puedes elegir. ¿harías el mismo proceso con la conjunción, por ejemplo? es decir, parece razonable extender tu propuesta con un nuevo "metaconectivo" de forma que \( p \star q \) signifique \( (\forall M :: M \models p \land q) \). y esto me suena innecesariamente complicado, al menos para el problema que te planteas.

saludos

luis

09 Febrero, 2014, 01:51 pm
Respuesta #19

Carlos Ivorra

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Sí, me retracto, un número real también diría que es un signo; lo que quise decir es que su significado no es incierto, y que en una variable el significado sí es incierto y éste puede ser el significado de cualquiera de los signos de los números reales (el significado de éstos no éstos mismos).

Entonces pretendes fundar la lógica matemática en una realidad de existencia dudosa, como es "el conjunto de los números reales". Para poder hablar con rigor de los números reales necesitas la lógica matemática, pero tú pretendes que la lógica matemática presuponga los números reales, de los que no puedes decir que sean una realidad objetiva unívocamente determinada. Existen objetos diferentes, distintos entre sí, que satisfacen todos los requisitos necesarios para que puedan considerarse "los números reales". Tu afirmación exige una aclaración por tu parte: ¿qué números reales admites como signos? Porque hay distintos conjuntos posibles de números reales, unos con más elementos, otros con menos, y no puedes considerarlos todos a  la vez. Tienes que elegir unos, pero es difícil elegir algo de lo que no podemos hablar sin ayuda de la lógica antes de definir la lógica misma, es decir, los signos que vas a aceptar en las proposiciones con las que hablar de números reales entre otras cosas. Tu postura encierra un círculo vicioso que incluso es difícil, si no imposible, de entender sin la ayuda de la lógica matemática, pero tú fuerzas a que haya que analizar eso (sin medios) antes de poder fundamentar una lógica matemática.

La posición que tomo se deriva de la manera en que veo planteados los teoremas y eso,

Ahí el "veo" es crucial. En todo caso, se deriva de la forma en que entiendes el planteamiento de los teoremas, pero sucede que la lógica subyacente a los teoremas matemáticos no tiene nada que ver con lo que tú crees entender a partir de ellos. Si quieres entender la lógica subyacente a los teoremas matemáticos, deberás estudiar la lógica matemática, no inventarte una lógica matemática que no tiene nada que ver con la que éstos presuponen.

seguro quiero decir algo que dirías con otras palabras...

No, no lo creo así.

ehh... cuando tengo una fórmula con dos variables libres \( \phi (j, k) \) en cierto universo, si considero el conjunto de todas las proposiciones que obtengo de reemplazar \( j \) y \( k \) por cada elemento del universo, éste conjunto no va a ser el mismo que el conjunto de las proposiciones que se forman al reemplazar \( j \) por cada elemento del universo, siendo \( k=m \), con \( m \) un elemento fijo de ese universo; a eso me refiero. Si el universo fueran los números naturales del \( 1 \) al \( 30 \), entonces ese primer conjunto sería la unión de las proposiciones que resultan de variar \( j \) en \( \phi (j, k) \) con \( k=1 \) un valor fijo, (unión...) el conjunto de las proposiciones que resultan de variar \( j \) en \( \phi (j, k) \) con \( k=2 \) un valor fijo, etc.

Vuelves a caer en la misma trampa. En el ejemplo que pones, las variables recorren un conjunto de elementos definibles, pero eso no vale si una variable tiene que recorrer todos los números reales.

La lógica matemática real (la que realmente presuponen los teoremas matemáticos, no la que te inventas) parte de un lenguaje que sólo consta de un conjunto muy reducido de signos, a saber:

- Una cantidad numerable de variables: x, y, z, ...

Aquí hay que entender que una variable no es más que lo que es: x es x, una letra que se usa para nombrar un objeto arbitrario.

- Los signos \( \rightarrow, \lnot, \forall, =,\in \)

Y ya está. Ninguno más. El rigor matemático exige que cualquier otro signo que veas en el enunciado de un teorema tiene que poder definirse a partir de los que te acabo de nombrar. Por ejemplo, puedes definir \( p\lor q \) como \( \lnot p\rightarrow q \), puedes definir \( \exists x p(x) \) como \( \lnot\forall x \lnot p(x) \), puedes definir \( \emptyset \) como el unico \( x \) que cumple \( \forall u\ \lnot u\in x \), etc.

Naturalmente, aquí hay algunos convenios arbitrarios que se pueden cambiar por otros equivalentes, pero por simplicidad me ciño a una posibilidad entre otras muchas que para el caso nos llevan a las mismas conclusiones.

De este modo, tu intento de considerar a los números reales como signos no tiene nada que ver con los enunciados que ves de teoremas matemáticos. Porque, como la cantidad de signos básicos es numerable y toda definición de un signo tiene que ser finita, resulta que los signos que puedes añadir al lenguaje de las matemáticas mediante definiciones forman una cantidad numerable. Ningún teorema matemático presupone un lenguaje con una cantidad no numerable de signos.

Más aún. Entre las fórmulas que un matemático puede definir se encuentra una que se suele representar así: \( x\in \mbox{OD} \). La definición de esta fórmula es complicada, y no puedo detallarla aquí. Se lee "x es definible a partir de ordinales". Pero el caso es que esta fórmula tiene esta propiedad:

Puedes demostrar que \( 0\in \mbox{OD} \), que \( \sqrt[5]4\in \mbox{OD} \), que \( \pi\in \mbox{OD} \), que \( \frac{\sen\sqrt{2}}{\ln^58}\in \mbox{OD} \) y, en general, puedes probar que para cualquier signo \( s \) que puedas definir y que corresponda a un número real se cumple \( s\in \mbox{OD} \). Sin embargo, no se puede demostrar (no tiene por qué ser cierto) que \( \forall x\in \mathbb R\ x\in \mbox{OD} \). De hecho, es consistente que \( \mathbb R\cap \mbox{OD} \) sea numerable, luego no puedes probar que ahí estén todos los números reales, ya que entonces éstos serían numerables.

Estos ejemplos deberían hacerte comprender que tus planteamientos llevan a contradicciones. No son rigurosos en absoluto.

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Si tuviera que ceñirme a los míos sin atender a que mis convenios no son los únicos posibles, te diría que no tiene ningún sentido distinguir entre \rightarrow y \implies.
Perooo, digamos sean \( p, q \) proposiciones, \( p \rightarrow q \) tiene la tabla de verdad ya conocida, por otro lado \( p \implies q \) nos dice que la proposición \( p \rightarrow q \) es siempre verdadera (es una tautología), de manera que también nos está diciendo que no puede ser \( p \) verdadero y \( q \) falso.
Si trato a \( p \implies q \) como una proposición, el que sea falsa significaría que la proposición \( p \rightarrow q \) es verdadera y falsa, o siempre falsa, en los diferentes valores de verdad de \( p \) y \( q \). A esa diferencia me refiero, de manera que \( \rightarrow \) y \( \implies \) no sean lo mismo.

No te digo que no. Por eso te decía que "si tuviera que ceñirme a los convenios que yo adopto", que no son los únicos posibles. Tú puedes dar una definición a tu gusto de \( \implies \), pero entonces no puedes preguntarme a mí si lo que escribes según ella es correcto o no. Eso dependerá de tus propios criterios. Yo puedo tratar de ceñirme a tus criterios para decirte si tú deberías dar por correcto lo que dices en función de lo que defines. Lo que te digo es que mis convenios de notación no contemplan ninguna diferencia entre \( \rightarrow \) y \( \implies \), porque la diferencia que pretendes plasmar, aunque es legítima, en el sentido de que cualquiera tiene derecho a definir lo que quiera, es inútil (al menos hasta donde yo soy capaz de imaginarle una utilidad posible). No insisto más en esto porque ya se ha ocupado de ello luis.

En conclusión, he observado que en la mayor parte de tus intervenciones en este foro (si no en todas) tus preguntas van encaminadas a buscar el máximo rigor en los enunciados matemáticos, como en el hilo en el que buscabas un argumento riguroso sobre una demostración del límite de \( \sen(1/x) \). Es cuestionable si el nivel de rigor que pides realmente aporta algo, pero, dejando eso de lado, si realmente comprendes que hay razonamientos a los que se les puede exigir un mayor nivel de rigor y consideras eso algo positivo, entonces deberías meditar sobre tus propios argumentos en este hilo: a diferencia de un argumento como el del seno, que puede exponerse de un modo más informal, pero es susceptible de ser precisado hasta el nivel más absoluto de rigor si uno se empeña en ello, los argumentos que tú das aquí no son rigurosos y, además, no son susceptibles de precisarse hasta cualquier nivel de rigor deseado. No es cierto que lo que dices no sea riguroso porque no sepas decirlo mejor, pero otros podríamos decir lo mismo con todo rigor. Por el contrario, tus argumentos son esencialmente carentes de rigor, en el sentido de que dicha carencia de rigor no puede subsanarse concretando más. Al contrario, si uno intenta precisar lo que dices, acaba inevitablemente en contradicciones y círculos viciosos.

Lo que trato de explicarte es que si quieres entender la lógica que subyace a los enunciados matemáticos, no puedes inventarte una lógica. Es como si ves un televisor y, para entender cómo funciona, supones que hay dentro un enano que mueve unas marionetas. Tiene cierta lógica, pero si profundizas en la idea verás que llegas a contradicciones, y si realmente quieres entender cómo funciona un televisor tendrás que estudiar sobre ello, no inventarte explicaciones ingenuas.