Autor Tema: Implicación lógica (en la definición de límite de una función y general)

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09 Febrero, 2014, 05:26 pm
Respuesta #20

arkady-svidrigailov

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Ok. Sé que no hay rigor en lo que digo, por supuesto, no intento refundar la matemática, por eso pregunto... Si lo que preguntaba ya me lo respondieron (aunque sin distinguir entre \( \rightarrow, \implies \)) lo dejo acá. Saludos.

15 Febrero, 2014, 09:47 am
Respuesta #21

arkady-svidrigailov

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Luis, no había visto tu mensaje.

No sé de qué manera puede variar el contexto, pero así como me dijiste sí me refiero a eso. De hecho, si esa proposición la escribo: \( \forall x \; (0 \leq x) \), no es verdadera para cualquier universo del discurso de \( x \), como señalaste.
Te transcribo lo que dice un apunte:

"El valor de verdad de una proposición compuesta depende, generalmente, del conjunto universal donde las variables ligadas están cuantificadas. Sin embargo, existen ejemplos importantes donde el valor de verdad no depende ni del universo del discurso ni de los valores que las variables tomen en el mismo"

Y después viene la definición de implicación lógica que di en la respuesta 7. Leyendo un poco más me di cuenta que el término tautología sólo se usa en lógica proposicional, y no en la de primer orden, donde el término "implicación lógica" y "equivalencia lógica" vendrían a ser los análogos para tautología de un condicional, y de un bicondicional (en lógica proposicional). Yo pensaba que al transformarse en una proposición una fórmula con variables libres, se la podía tratar igual que en la lógica proposicional, parece que no. Corríjanme si me equivoco.

Entonces, \( \forall x \; (x=x) \) es una verdad lógica en la lógica de primer orden. Es una proposición, pero no en lógica proposicional. Es correcto?

En otro ejemplo (para relacionarlo con mi inquietud en la definición de límite), \( \forall x \; p(x) \) es una proposición, que es verdadera si lo es para cualquier valor de la variable en el universo.
De modo que si \( p(x): (x \in A \to x \in B) \), el que la proposición sea verdadera significa que el condicional es siempre verdadero, para cualquier valor de la variable en el universo... puede que en algún universo sea la proposición verdadera y en otros falsa.
Ahora si yo escribo \( \forall x \; (x \in A \implies x \in B) \), no sólo digo que el condicional deba ser siempre cierto para un universo particular, sino para cualquiera sea éste. Y entonces no sería lo mismo el \( \to \) y el \( \implies \).
Resultaría también, que en la definición de inclusión de conjuntos debería indicarse si no se hiciera la diferencia, que el universo del discurso de \( x \) no puede ser un subconjunto de \( A \) o de \( B \), y ya no sé cómo se definiría la inclusión, etc.