Autor Tema: Fractales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Marzo, 2005, 05:45 am
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Maxc

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Soy como mi sobrenombre lo dice un principiante pero me interesa saber si el tema de los fractales,(si algun matematico desea investigar),porque me suena poco convincente, pero queria que la gente opine, para debatir bien de que trata. para mas informacion pueden entrar en http://www.fractales.org/ se que tal vez no sea lo que un matemático quiere pero podria ser un tema interesante.
"Haciendo caricaturas de Mahoma"

04 Marzo, 2005, 10:33 pm
Respuesta #1

xhant

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Lo que pasa es que muchas personas creen que se debe sacar provecho inmediatamente del tema, pero en matemática no es así. Sin embargo tiene algunas aplicaciones y muy serias en el estudio de imágenes médicas y sobre todo dentro de ingeniería de materiales.

A mi personalmente lo que me atrae es la creación de gráficos fractales, y te puedo asegurar que hay mucha teoría detrás, a pesar de ser un tema con relativamente poca edad. Hay programas que crean música de forma fractal lo mismo sucede con los gráficos.

05 Marzo, 2005, 12:44 am
Respuesta #2

mario

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En la página principal del Rincón podés leer un artículo introductorio a los fractales.
Más precisamente en
http://www.rinconmatematico.com/ismael/juliamandelbrot/juliamandelbrot.pdf

De no tener instalado el acrobat, hay una versión html:

http://www.rinconmatematico.com/ismael/juliamandelbrot/juliamandelbrot.htm

Acrobat se puede bajar de http://www.adobe.es/products/acrobat/readstep2.html

05 Marzo, 2005, 06:30 am
Respuesta #3

Maxc

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Agradecería, por favor, si no es mucho pedir, tal vez soy un poco pesado, pero entendí hasta cierta parte de la explicación de los conjuntos de Julia y Mandelbrot, pero con mis conocimientos no llegué a entender parcialmente qué es un fractal, si no es mucho trabajo me gustaría que alguien me lo traduzca al castellano, perdón por mi ignorancia, si no es posible lo entiendo, no se hagan problema, yo sólo soy un técnico electrónico con aspiraciones en el área matemática, recién empiezo.
"Haciendo caricaturas de Mahoma"

05 Marzo, 2005, 07:18 pm
Respuesta #4

xhant

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No existe una única definición de fractal, hay muchas y todas tienen sus virtudes y defectos.

Una que es un poco ambigua pero que puede servir para tener una idea, es que un fractal es el resultado final de un proceso iterativo. Un gran ejemplo de este tipo de fractales es el conjunto de Cantor, el copo de nieve. Pero se puede demostrar que un cuadrado es también el resultado de un proceso iterativo y nadie le ve nada de fractal.

Sin embargo hay fractales que se escapan a esta definición, y se pueden englobar en otra que dice que son aquellos conjuntos que se comportan de manera caótica. Es decir si tenemos condiciones de partida ligeramente distintas al final tenemos resultados muy diferentes. Un claro ejemplo de esto son los conjuntos de Julia.

Pero hay conjuntos que se pueden clasificar como fractales que no entran en estas dos definiciones o que cumplen las dos o sólo una.

07 Marzo, 2005, 04:54 am
Respuesta #5

Maxc

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Gracias, ahora si llego a entender un poco mas que significa.
"Haciendo caricaturas de Mahoma"

07 Marzo, 2005, 04:28 pm
Respuesta #6

xhant

  • Visitante
Me olvidé una definición que es la razón por la cual estos conjuntos se llaman fractales. Usando la medida de Hausdorff le podemos asignar una dimensión a cualquier conjunto, que es mas o menos lo que uno espera: las curvas tiene dimensión 1, las superficies tienen dimensión 2, etc.

Se denomina fractal a aquellos conjuntos que tiene una dimensión que no es entera por ejemplo el conjunto de Cantor tiene dimensión log 2/log 3 = 0.6309 aproximadamente.

Pero hay conjuntos que todos están de acuerdo en que son fractales y tienen dimensión entera; por ejemplo el conjunto de Mandelbrot tiene dimensión 2 (esto es esperable), más sorprendente es que el borde (su frontera) también tiene dimensión 2!

10 Marzo, 2005, 06:28 pm
Respuesta #7

topoalgebraico

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Leyendo algunos libros de fractales me percate de una contradicción entre ellos, pues en uno decian que el primer ejemplo de fractal era la curva de peano (muy famosa) y en el otro decian que la curva de peano no se puede catalogar como fractal, ya que su dimensión es entera. La ambiguedad de la definición de fractal es un problema, ya que para estudiar una teoria es necesario tener muy claras las definiciones. Creo, como estudiante de matemáticas que soy (aunque la teoria de fractales es nueva) que deberian de una vez por todas dejar de decir que un fractal es una figura geometrica autosimilar y escribir una definición formal de esta.
Me gustaria investigar más este tema por su relacion con los sistemas dinámicos, teoría del caos, probabilidad, estadistica y teoria ergódica, ramas en las que pienso especializarme, si alguno de uds. quiere investigar más sobre esta teoría podemos hacerlo por medio de este foro.

10 Marzo, 2005, 11:11 pm
Respuesta #8

xhant

  • Visitante
Tal vez todavia no comprendemos lo suficiente sobre los conjuntos fractales para dar una definición precisa. Recuerda por ejemplo que la axiomatización de la matemática recién empezó a fines del siglo XIX, sin embargo hasta esa época se había estudiado y descubierto muchas cosas, la axiomatización se da casi siempre cuando los problemas centrales a los que se enfrentaban han sido resueltos.

22 Julio, 2005, 10:15 am
Respuesta #9

Maxc

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Estaba pensando que durante los post nadie me pudo explicar bien lo que es un fractal, tal vez no esté en el nivel indicado para entenderlo, pero me gustaría que sigan las encuestas. parece ser que los fractales son un tema intocable. Parece que uno dice fractales y es un tema que no se puede arribar. Agradecería que éste tema sea más concurrido.

Maxc
"Haciendo caricaturas de Mahoma"

22 Julio, 2005, 03:39 pm
Respuesta #10

tzafriri

  • Visitante
Maxc el estudio de los fractales no suele ser una materia obligatoria en los planes de estudio de la mayoría de la universidades, así que podemos pensar que la principal razón de que no haya muchas respuestas es que no hay muchas personas con el conocimiento suficiente para hacerlo de manera precisa.

Por mi parte sólo puede decirte que para poder empezar a estudiar seriamente los fractales se suele pedir como requisito previo materias como teoría de la medida, calculo de variable compleja dependiendo del tipo de fractal otras materias como teoría de números, análisis armónico. Todas estas son herramientas muy poderosas y que se suelen dar en los últimos años de las carreras.

Si tu interés es mas didáctico te puedo dar una familia de fractales que se puede construir de manera mas o menos fácil.

Primero tenemos que recordar el teorema del punto fijo en su mayor generalidad: Sea (M,d) un espacio métrico completo (por ejemplo R o R2 con la métrica euclídea), si F:M -> M es una función contractiva. Existe x0 en M tal que F(x0) = x0.

La idea para generar fractales en R es partir de alguna función f que sea contractiva, por ejemplo podemos considerar   f1(x) = 1/3 * x    y   f2(x) = 1/3 * x + 2/3, con esta función nos armamos F(A) = f1(A) U f2(A) (esta función F resulta contractiva en los conjuntos compactos de M y por el teorema del punto fijo existe un subconjunto C tal que F(C) = C).

Para ver que es C conviene mirar que hacen f1 y f2 con el intervalos [0,1] por ejemplo.

22 Julio, 2005, 09:44 pm
Respuesta #11

Maxc

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Muchisimas gracias por las respuestas, ésta vez me sirvieron un poco mas para entender de dónde sale todo ésto.
Maxc
"Haciendo caricaturas de Mahoma"

03 Noviembre, 2005, 11:58 am
Respuesta #12

rotceh1974

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Mi expoliación intuitiva...
Si observas una curva (círculo o algo así) y le haces una ampliación cada vez mayor, notarás que esa curva se parece cada vez más a una recta. En un cierto sentido (topológico) puedes justificar el hecho de que tal curva en realidad es "equivalente" a una recta.
Con esta intuición puedes justificar el hecho de que una curva tiene dimensión 1, como una recta.
Lo mismo puedes hacer con una superficie (suficientemente bonita).
Si te fijas en la frontera de, por ejemplo el conjunto de Mandelbrot, notarás que por más ampliaciones que hagas, esta frontera nunca se parece a una recta. No es razonable pensar entonces que la frontera del conjunto es equivalente a una recta... y de hecho no lo es. La frontera de la chinche de Mandelbrot es esencialmente "más" que una recta. Formalmente diríamos que su dimensión es mayor que la de la recta. (Calcular que es de hecho 2 es otro boleto).

Para poder entender mejor eso de los fractales no hay salida.... se tiene que entender bien el concepto de "dimensión". Y el problema ha sido que muchos dan por sentado lo que es la dimensión, pero el concepto "intuitivo" de dimensión ha llevado a algunas paradojas.
Simplemente el concepto de "volumen" puede ser usado para probar cosas anti-intuitivas como la Paradoja de Banach–Tarski: http://en.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox

Hay que aplastar el trasero unas cuantas horas en alguna biblioteca con un libro del tema.
Una sugerencia para empezar: http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
Estas son solo palabras, lo que importa son las conexiones que implican. Pero solo eso puedo enviar.

22 Febrero, 2006, 06:28 pm
Respuesta #13

Jabato

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Me gustaría poner un poco de luz en todo esto, ya que considero que puedo, aunque tampoco soy un experto, si bien creo que tengo algunas ideas claras.

Veamos algunas cuestiones.

1ª ¿Qué es un fractal?: Como bien ha dicho alguien, existen muchas definiciones de fractal, y ninguna de ellas parece dar cobertura a todos los tipos conocidos. Trataré de dar una imagen intuitiva para que todo el mundo pueda comprenderlo y después analizaré la cuestión.

Si hiciéramos caso al sentido común deberíamos considerar fractal a todo aquel objeto geométrico con dimensión no entera lo cual evidentemente plantearía muchas cuestiones de tipo teórico, pero hagamos caso al sentido común por un momento.

¿Qué significa eso de que la dimensión es no entera?. Pues está claro que es algo también bastante lioso, ya que enseguida nos cuentan aquello de la dimensión de Hausdorff no se quién y a partir de ahí se acabó el problema. Daré una versión "vulgo" en lenguaje corriente y a partir de ahí aceptaré todas las críticas que quieran plantearse, claro está.

Bien voy al grano, consideraré que los fractales son objetos definidos en espacios del tipo R^n (el campo complejo es asimilable a un espacio de dimensión topológica 2) y consideraré los valores para n de 2 y 3, ya que aunque pueden teóricamente definirse fractales en espacios de mayor dimensión topológica, no es posible verlos así que de momento los dejaremos de lado.

Bien veamos un espacio de dimensión 2 para empezar. Consideremos una curva cualquiera contenida en él y realicemos una serie de transformaciones sucesivas en dicha curva de forma que, manteniéndose en un dominio acotado, su longitud vaya aumentando hasta hacerse infinita. El resultado sera que la curva debe ir "arrugándose", "plegándose" hasta que en el limite obtendríamos una fractal. Partimos de una curva cuya dimensión topológica es 1 y en cada transformación obtenemos una curva de dimensión topológica 1, pero en el limite la dimensión ya no es 1, sino que es mayor (ocurre algo parecido a los números irracionales considerados como sucesiones de números racionales, todos los elementos de la serie son racionales pero en el limite aparece la irracionalidad de repente, pues en el caso de los fractales la "fractalidad aparece de repente en el limite). Como por dimensión topológica los matemáticos no aceptan que pueda tomar valores no enteros, esta dimensión ya no puede ser topológica y la denominamos dimensión fractal.

Puede repetirse el proceso para un espacio de dimensión topológica 3 aunque en este caso podemos utilizar una curva, pero también es posible hacerlo con una superficie. De igual forma llegamos a fractales.
Es decir curvas o superficies infinitamente "arrugadas".

Evidentemente existen mil formas de generar fractales, no solo en el campo complejo claro está. Ahora veamos los matices.

Uno de los métodos para generar fractales conduce a un tipo de fractales que denominaré estrictamente autosemejantes, es decir formas geométricas que repiten su imagen a cualquier escala a la que sean observadas. Triángulo de Sierpinski, curva de Peano, curva del Dragon etc. La dimensión de Hausdorff- Besicovitch solo es aplicable a este tipo de fractales, es decir fractales estrictamente autosemejantes, por lo tanto la dimensión fractal debe ser algo mas que esta definición.

Por otro lado decir que para que un objeto sea considerado fractal  debe cumplirse que dicha dimensión sea mayor que su dimensión topológica presenta muchas exclusiones ya que, si sólo podemos calcular dicha dimensión para los fractales estrictamente autosemejantes, pues ya me contareis. Existen infinidad de fractales no autosemejantes para los que tal cálculo no puede hacerse, incluido el propio fractal de Mandelbrot (el fractal seria la curva que rodea la figura y es la parte que puede considerarse fractal, ya que es la dimensión de esta parte la que seria fraccionaria, si consideramos la figura completa, incluyendo su interior o su exterior, la dimensión de esta figura es 2, se mire por donde se mire).

Pero para obtener formas geométricas con dimensión no entera podemos también, en vez de "plegar" una curva o una superficie, podemos "vaciar" dichas figuras, y en este caso también podemos hacerlo con volúmenes, como ejemplo buscar el Polvo de Cantor, la Alfombra de Sierpinski o la esponja de Menger, creo que se llama, que son ejemplos en que se parte de una figura que va vaciándose hasta llegar a un determinado limite donde aparece la "fractalidad".

Si analizáis detenidamente cualquier método de creación de fractales, varéis que siempre se produce de alguna de estas formas, incluida la iteración en el campo complejo que no es más que la forma de ir plegando una determinada curva. Si alguien quiere detalles se los doy encantado.

¿Quedó un poco más clara la idea de lo que es un fractal?

Saludos Jabato.

22 Febrero, 2006, 07:23 pm
Respuesta #14

incógnita_j

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Me gustaría poner un poco de luz en todo esto, ya que considero que puedo, aunque tampoco soy un experto, si bien creo que tengo algunas ideas claras.

Veamos algunas cuestiones.

1ª ¿Qué es un fractal?: Como bien ha dicho alguien, existen muchas definiciones de fractal, y ninguna de ellas parece dar cobertura a todos los tipos conocidos. Trataré de dar una imagen intuitiva para que todo el mundo pueda comprenderlo y después analizaré la cuestión.

Si hiciéramos caso al sentido común deberíamos considerar fractal a todo aquel objeto geométrico con dimensión no entera lo cual evidentemente plantearía muchas cuestiones de tipo teórico, pero hagamos caso al sentido común por un momento.

¿Qué significa eso de que la dimensión es no entera?. Pues está claro que es algo también bastante lioso, ya que enseguida nos cuentan aquello de la dimensión de Hausdorff no se quién y a partir de ahí se acabó el problema. Daré una versión "vulgo" en lenguaje corriente y a partir de ahí aceptaré todas las críticas que quieran plantearse, claro está.

Bien voy al grano, consideraré que los fractales son objetos definidos en espacios del tipo R^n (el campo complejo es asimilable a un espacio de dimensión topológica 2) y consideraré los valores para n de 2 y 3, ya que aunque pueden teóricamente definirse fractales en espacios de mayor dimensión topológica, no es posible verlos así que de momento los dejaremos de lado.

Bien veamos un espacio de dimensión 2 para empezar. Consideremos una curva cualquiera contenida en él y realicemos una serie de transformaciones sucesivas en dicha curva de forma que, manteniéndose en un dominio acotado, su longitud vaya aumentando hasta hacerse infinita. El resultado sera que la curva debe ir "arrugándose", "plegándose" hasta que en el limite obtendríamos una fractal. Partimos de una curva cuya dimensión topológica es 1 y en cada transformación obtenemos una curva de dimensión topológica 1, pero en el limite la dimensión ya no es 1, sino que es mayor (ocurre algo parecido a los números irracionales considerados como sucesiones de números racionales, todos los elementos de la serie son racionales pero en el limite aparece la irracionalidad de repente, pues en el caso de los fractales la "fractalidad aparece de repente en el limite). Como por dimensión topológica los matemáticos no aceptan que pueda tomar valores no enteros, esta dimensión ya no puede ser topológica y la denominamos dimensión fractal.

Puede repetirse el proceso para un espacio de dimensión topológica 3 aunque en este caso podemos utilizar una curva, pero también es posible hacerlo con una superficie. De igual forma llegamos a fractales.
Es decir curvas o superficies infinitamente "arrugadas".

Evidentemente existen mil formas de generar fractales, no solo en el campo complejo claro está. Ahora veamos los matices.

Uno de los métodos para generar fractales conduce a un tipo de fractales que denominaré estrictamente autosemejantes, es decir formas geométricas que repiten su imagen a cualquier escala a la que sean observadas. Triángulo de Sierpinski, curva de Peano, curva del Dragon etc. La dimensión de Hausdorff- Besicovitch solo es aplicable a este tipo de fractales, es decir fractales estrictamente autosemejantes, por lo tanto la dimensión fractal debe ser algo mas que esta definición.

Por otro lado decir que para que un objeto sea considerado fractal  debe cumplirse que dicha dimensión sea mayor que su dimensión topológica presenta muchas exclusiones ya que, si sólo podemos calcular dicha dimensión para los fractales estrictamente autosemejantes, pues ya me contareis. Existen infinidad de fractales no autosemejantes para los que tal cálculo no puede hacerse, incluido el propio fractal de Mandelbrot (el fractal seria la curva que rodea la figura y es la parte que puede considerarse fractal, ya que es la dimensión de esta parte la que seria fraccionaria, si consideramos la figura completa, incluyendo su interior o su exterior, la dimensión de esta figura es 2, se mire por donde se mire).

Pero para obtener formas geométricas con dimensión no entera podemos también, en vez de "plegar" una curva o una superficie, podemos "vaciar" dichas figuras, y en este caso también podemos hacerlo con volúmenes, como ejemplo buscar el Polvo de Cantor, la Alfombra de Sierpinski o la esponja de Menger, creo que se llama, que son ejemplos en que se parte de una figura que va vaciándose hasta llegar a un determinado limite donde aparece la "fractalidad".

Si analizáis detenidamente cualquier método de creación de fractales, varéis que siempre se produce de alguna de estas formas, incluida la iteración en el campo complejo que no es más que la forma de ir plegando una determinada curva. Si alguien quiere detalles se los doy encantado.

¿Quedó un poco más clara la idea de lo que es un fractal?

Saludos Jabato.

Desde luego, a mí por lo menos, me has aportado luz en un mundo de oscuridad, son embargo tengo una pregunta quizás molesta e infantil, pero soy curioso y quiero comprender...
¿Cómo es que un fractal (del plano por ejemplo) consigue alcanzar una dimensión no entera si seguirá estando "dibujado" en el plano? Quizás se trate de un problema de definición y estoy buscando lógica donde hay formalismo, pero sigue pareciéndome algo "incoherente".

¡Saludos!
Siempre nos quedará hablar con los números y descubrir algún nuevo secreto.

22 Febrero, 2006, 07:40 pm
Respuesta #15

Joaquin_mx

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Igual me ha parecido muy ilustrativa la explicación de Jabato.

Incognita, no sé si sea tu pregunta referente a la dimensión fractal, bueno dejo un link a ver si sirve un poco:

http://www.quanta.net.py/zfractal/dim.htm

saludos.





C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que nous trouvons." Jules Henri Poincaré

22 Febrero, 2006, 09:32 pm
Respuesta #16

Jabato

  • Visitante
No penseis que no me costo lo mio entender esto que esta muy mal explicado en todas partes. Para entender la idea es necesario olvidarse de los formalismos matematicos y una vez entendida la idea entonces empezar a currar con ella. A partir de aqui todo el formalismo es adecuado pero antes debeis saber de lo que se habla claro.

Al grano. El asunto de la dimension fractal tiene un tocao porque ... en fin, porque nadie sabe lo que es. Aunque todo el mundo parece saberlo.

Existen varias formas de entender la cosa y desde luego la dimension de Hausdorf Besikovich no es el mejor metodo. Hay otro que os lo haria ver con mas claridad, tratare de exponerlo, aunque no es facil.

Considerar una figura geometrica cualquiera, acotada, es decir que puede incluirse en un determinado cuadrado (considerare el plano aunque podria hacerse para otras dimensiones topologicas).

Y ahora dividir el cuadrado en una reticula de n x n cuadrados mas pequeños. Contar cuantas de esas reticulas contienen puntos pertenecientes a la figura, y suponer que os da como resultado m.

Si hacemos que n tienda a infinito podremos llegar a diversos resultados de m. Bueno pues la dimension de la figura es precisamente el valor de la expresion:

D = log m (¡ojo que el logaritmo esta tomado en base n!)

Es decir para una curva convencional el resultado es siempre 1, para una superficie rellena el resultado es siempre 2. Curioso verdad.

Esta herramienta es un buen juguete de experimentacion y os recomiendo que hagais todos los experimentos que se os ocurran (incluso con programas de ordenador aunque sepais de antemano que un ordenador no puede llegar al infinito y os quedareis siempre a medias). Yo lo hice. ¿Puede ocurrir que el resultado sea distinto de 0, 1, 2? Pues esta claro que si. Cuando eso ocurre el resultado es un fractal, pero ojo, un fractal en el sentido de que su dimension es no entera. No segun la definicion de Mandelbrot que es la oficialmente aceptada.

Este metodo se denomina metodo del recuento de losetas, y lo encontraresi en internet si sabeis buscar.

La curva de Peano, alguien pregunto por que era un fractal si su dimension es 2, respuesta:

Segun la definicion de Mandelbrot si la dimension resultante, en el limite, de algo que se genera como una curva, es 2, y realmente lo es ya que recubre de forma completa todo el plano, resultaria que su dimension fractal es 2 que es mayor que su dimension topologica que es 1 ya que es una curva. Es un fractal por lo tanto.

Personalmente considero que la definicion de Mandelbrot es una tomadura de pelo y ademas de las peores. El triangulo de Sierpinski segun esta definicion no es un fractal, ni el Polvo de Cantor, ambos con dimension fractal no entera, y sin embargo, la curva de Peano que no lo es ya que su dimension es 2, si resulta serlo segun esta definicion.

Saludos. Encantado de poder ayudaros. Mas dudas.  Jabato.

¿Quedo un poco mas clara la cosa?

23 Febrero, 2006, 08:51 am
Respuesta #17

rotceh1974

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No penseis que no me costo lo mio entender esto que esta muy mal explicado en todas partes. Para entender la idea es necesario olvidarse de los formalismos matematicos y una vez entendida la idea entonces empezar a currar con ella. A partir de aqui todo el formalismo es adecuado pero antes debeis saber de lo que se habla claro.

Al grano. El asunto de la dimension fractal tiene un tocao porque ... en fin, porque nadie sabe lo que es. Aunque todo el mundo parece saberlo.

Existen varias formas de entender la cosa y desde luego la dimension de Hausdorf Besikovich no es el mejor metodo. Hay otro que os lo haria ver con mas claridad, tratare de exponerlo, aunque no es facil.

Considerar una figura geometrica cualquiera, acotada, es decir que puede incluirse en un determinado cuadrado (considerare el plano aunque podria hacerse para otras dimensiones topologicas).

Y ahora dividir el cuadrado en una reticula de n x n cuadrados mas pequeños. Contar cuantas de esas reticulas contienen puntos pertenecientes a la figura, y suponer que os da como resultado m.

Si hacemos que n tienda a infinito podremos llegar a diversos resultados de m. Bueno pues la dimension de la figura es precisamente el valor de la expresion:

D = log m (¡ojo que el logaritmo esta tomado en base n!)

Es decir para una curva convencional el resultado es siempre 1, para una superficie rellena el resultado es siempre 2. Curioso verdad.

Esta herramienta es un buen juguete de experimentacion y os recomiendo que hagais todos los experimentos que se os ocurran (incluso con programas de ordenador aunque sepais de antemano que un ordenador no puede llegar al infinito y os quedareis siempre a medias). Yo lo hice. ¿Puede ocurrir que el resultado sea distinto de 0, 1, 2? Pues esta claro que si. Cuando eso ocurre el resultado es un fractal, pero ojo, un fractal en el sentido de que su dimension es no entera. No segun la definicion de Mandelbrot que es la oficialmente aceptada.

Este metodo se denomina metodo del recuento de losetas, y lo encontraresi en internet si sabeis buscar.

La curva de Peano, alguien pregunto por que era un fractal si su dimension es 2, respuesta:

Segun la definicion de Mandelbrot si la dimension resultante, en el limite, de algo que se genera como una curva, es 2, y realmente lo es ya que recubre de forma completa todo el plano, resultaria que su dimension fractal es 2 que es mayor que su dimension topologica que es 1 ya que es una curva. Es un fractal por lo tanto.

Personalmente considero que la definicion de Mandelbrot es una tomadura de pelo y ademas de las peores. El triangulo de Sierpinski segun esta definicion no es un fractal, ni el Polvo de Cantor, ambos con dimension fractal no entera, y sin embargo, la curva de Peano que no lo es ya que su dimension es 2, si resulta serlo segun esta definicion.

Saludos. Encantado de poder ayudaros. Mas dudas.  Jabato.

¿Quedo un poco mas clara la cosa?

No conocia el metodo que mencionas (Recuento de Losetas). Gracias por el post.
Pero tengo, como sea, algunos comentarios.

... Consideremos una curva cualquiera ... y realicemos una serie de transformaciones sucesivas en dicha curva de forma que, manteniéndose en un dominio acotado, su longitud vaya aumentando hasta hacerse infinita. El resultado sera que la curva debe ir "arrugándose", "plegándose" hasta que en el limite obtendríamos una fractal. ...
(...en el caso de los fractales la "fractalidad aparece de repente en el limite...)

DE REPENTE!?!?
Tengo que hacer notar que la fractalidad aparecio despues de un numero infinito de pasos. No de 100000000000, ni de 1000000000000000000000000.... ni de 3x10E19198721871286912361924386.
Nuestras aproximaciones, digamos, del polvo de Cantor estan infinitamente lejos del verdadero conjunto de Cantor.

Al grano. El asunto de la dimensión fractal tiene un tocao porque ... en fin, porque nadie sabe lo que es. Aunque todo el mundo parece saberlo....

La dimension fractal (de hecho el simple concepto de dimension) no es nada... o dicho de otra manera, es lo que tu quieras. Nosotros la definimos!!
Un error que se solemos  cometer los matematicos, es creer que nuestros conceptos  "existen" en la realidad o en algun lugar.

Los matematicos, definen algo, se ponen a jugar con esa definicion y ven que pasa. Alguien puede venir mas adelante y definir cosas  distintas, y por supuesto que los resultados seran distintos.

Por otro lado.... No estoy de acuerdo en que un objeto de dimension fractal sea sinonimo de dimension no entera. Lo que queremos es extender el concepto de dimension para aceptar objetos de dimensiones fraccionarias... 2 sigue siendo una fraccion!
Es 2 racional? Es 2 real?

Un cuadrado tiene dimension (hausdorff, fractal, o lo que quieras ) 2... y si alguien DEFINE que no es un fractal, es como si me dijera que 2 no es un racional.








Estas son solo palabras, lo que importa son las conexiones que implican. Pero solo eso puedo enviar.

23 Febrero, 2006, 11:00 am
Respuesta #18

Jabato

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Por favor lee correctamente lo que se escribe y despues comentalo.

Aclaraciones a tu comentario:
Claro que aparece repentinamente, en el limite, ya que cuando se transforma de forma repetitiva una curva, ninguna de las curvas transformadas es fractal, en el sentido que explique, es decir, tiene dimension no entera, esta propiedad solo la presenta la curva limite.
Yo no afirme que la fractalidad apareciera en alguna de las transformaciones, afirme que aparecia en el limite, y que ninguna de las curvas transformadas presenta esa propiedad, por lo tanto su aparicion es repentina. ¿Quien dijo lo contrario?

Puse el ejemplo de los numeros irracionales para aclarar el concepto.

Por favor si me das la definicion matematica de "dimension fractal" me callare. Nadie sabe lo que es porque no esta definida, o tu si sabes lo que es la dimension fractal. ¡Fantastico! alguien que sabe lo que es eso.
¿Podrias explicarlo? Gracias por tu amabilidad.

Si leiste bien mi mensaje yo dije que "en atencion al sentido comun" deberiamos considerar Fractal a "todos los objetos con dimension no entera". ¿El 2 es un numero entero verdad? ¿o no? Por supuesto que tambien es un numero racional, y tambien un numero real, pero desde luego no es un numero fraccionario. Eso lo firmo donde quieras.

¡Por favor lee detenidamente! y piensa antes de contestar. Gracias.

23 Febrero, 2006, 01:21 pm
Respuesta #19

Gotescalco

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Por favor lee correctamente lo que se escribe y despues comentalo.

Aclaraciones a tu comentario:
Claro que aparece repentinamente, en el limite, ya que cuando se transforma de forma repetitiva una curva, ninguna de las curvas transformadas es fractal, en el sentido que explique, es decir, tiene dimension no entera, esta propiedad solo la presenta la curva limite.
Yo no afirme que la fractalidad apareciera en alguna de las transformaciones, afirme que aparecia en el limite, y que ninguna de las curvas transformadas presenta esa propiedad, por lo tanto su aparicion es repentina. ¿Quien dijo lo contrario?

Puse el ejemplo de los numeros irracionales para aclarar el concepto.

Por favor si me das la definicion matematica de "dimension fractal" me callare. Nadie sabe lo que es porque no esta definida, o tu si sabes lo que es la dimension fractal. ¡Fantastico! alguien que sabe lo que es eso.
¿Podrias explicarlo? Gracias por tu amabilidad.

Si leiste bien mi mensaje yo dije que "en atencion al sentido comun" deberiamos considerar Fractal a "todos los objetos con dimension no entera". ¿El 2 es un numero entero verdad? ¿o no? Por supuesto que tambien es un numero racional, y tambien un numero real, pero desde luego no es un numero fraccionario. Eso lo firmo donde quieras.

¡Por favor lee detenidamente! y piensa antes de contestar. Gracias.

Hola Jabato, hay que reconocer que tus comentarios anteriores son muy poco claros, así que no te enojes por las críticas que se te hacen.

Bien dice tzafriri que para entender de qué se habla con fractales hay que saber primero teoría de la medida, y podrías releer también lo que dice Xhantt. Y bien señala rotceh1974 que tenemos muchas formas de definir dimensión fractal.

Ahora, tu definición de que los fractales son aquellos que tienen dimensión no entera, entre otras cosas es vacía porque no definiste qué es dimensión primero. Segundo, dado que ya hay diferentes definiciones de dimensión, te vas a encontrar que algunos conjuntos tienen dimensiones no enteras con una dimensión y enteras con otras, ¿por qué tanto interés en rechazar las dimensiones enteras? Tercero, tu definición de "recuento por losetas" con la cual pretendés que se entienda el tema, es nada menos que la dimensión de Besicovitch... que siempre es mayor o igual que la de Hausdorf, con lo cual si la de Hausdorf te da entera, es muy posible que esta también (si no me creés, podés verlo en Fractal Geometry, de Falconer). Cuarto, es mentira que nadie sepa qué es la definición de dimensión fractal, y también es mentira que no esté definida. Quinto, si analizás detenidamente verás que hay más métodos para obtener fractales, ya sea por sistemas dinámicos, procesos aleatorios, gráficos de funciones, etc. (en este mismo sitio se explica muy bien otro método, aquí). Sexto, sí, podrías dar los detalles de por qué la iteración en el campo complejo no es más que el plegado de una determinada curva, y de paso explicar si cuando la iteración se hace sólo en el intervalo [0,1] también lo es. Séptimo, no ponés cuál es la definición de Mandelbrot (que era que la definición de Hausdorff de un conjunto fuera mayor que la topológica), pero sigo sin entender por qué la llamás una tomadura de pelo, ni que es de las peores (aparte: Mandelbrot merece un poco más de respeto, si no fuese por él, vos no estarías discutiendo de estos temas...).

Hay más para ir charlando, no te tomes a mal estos comentarios. Comprenderás que cuando alguien llega haciendo afirmaciones tan fuertes como las tuyas, es natural que nos sorprenda a todos. No es cuestión de enojarse y cerrarse a las preguntas con un:

Por favor si me das la definición matemática de "dimensión fractal" me callare. Nadie sabe lo que es porque no esta definida, o tu si sabes lo que es la dimensión fractal. ¡Fantastico! alguien que sabe lo que es eso.

Por favor, lee detenidamente y piensa antes de contestar. Gracias.