Autor Tema: Cálculo logarítmico asociado a probabilidades del Máximo (Fisher&Tippett)

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05 Enero, 2014, 09:48 pm
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Amaliasusana

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Hola: Tengo un gran problema con una ecuación, no la entiendo, y pido ayuda:

En el paper de Fisher-Tippett (1927) dice:

Si P es la probabilidad de una observación tal que \( P(X\leq{x}) \), la probabilidad de que el más grande de una muestra de n sea menor que x es \( P^n \), consecuentemente, entre las distribuciones limitantes tenemos la ecuación funcional:

\( P^n(x)=P(a_nx+b_n) \)

Si \( a\neq{1} \)  entonces

\( x=ax+b \)\\
\( x = \frac{b}{1-a} \)
y en este punto \( P^n=P \),
P=0 ó 1,

I. a=1, \; \( P^n(x)=P(x+b_n) \) \\

Acá vienen mis problemas:
dice así:
\(
P^n(x)=P(x+b_n)\\
nlog(P(x)=log P(x+b_n)\\
log n + log(-log P(x))=log(-log(P(x+b_n));\\
 \)

Esa última no la entiendo! y luego dice:

De donde la expresión \( log(-log(P(x))-\frac{xlog n}{b_n} \) es constante......

La última me es imposible de deglutir, alguna ayuda???

Gracias!!!

07 Enero, 2014, 11:54 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Acá vienen mis problemas:
dice así:
\(
P^n(x)=P(x+b_n)\\
nlog(P(x)=log P(x+b_n)\\
log n + log(-log P(x))=log(-log(P(x+b_n));\\
 \)

Esa última no la entiendo! y luego dice:

De donde la expresión \( log(-log(P(x))-\frac{xlog n}{b_n} \) es constante......

Partimos de \( P^n(x)=P(x+b_n) \).

1) Aplicando logaritmos:

\( log(P^n(x))=log(P(x+b_n))\quad \Rightarrow{}\quad nlog(P(x))=log(P(x+b_n)) \)

2) Cambiamos de signo:

\(  -nlog(P(x))=-log(P(x+b_n))\quad \Rightarrow{}\quad n\cdot (-log(P(x))=-log(P(x+b_n)) \)

3) Volvemos a aplicar logaritmos:

\( log(n\cdot (-log(P(x)))=log(-log(P(x+b_n)))\quad \Rightarrow{}\quad  \)

                                       \(  log(n)+log(-log(P(x))=log(-log(P(x+b_n)) \)

4) Finalmente has cortado la cita del Paper antes de tiempo. Dice que:

\( log(-log(P(x))-\dfrac{xlog n}{b_n} \)

"es constante o periódica de periodo \( b_n \)."

Efectivamente si llamamos:

\( f(x)=log(-log(P(x))-\dfrac{xlog n}{b_n} \)

entonces:

\( f(x+b_n)-f(x)= \)

\( =log(-log(P(x+b_n))-\dfrac{(x+b_n)log n}{b_n}-log(-log(P(x))+\dfrac{xlog n}{b_n} \)

\( f(x+b_n)-f(x)=log(-log(P(x+b_n))-log(-log(P(x))-log(n) \)

Pero por (3) esa expresión es nula y por tanto:

\( f(x+b_n)-f(x)=0\quad \Rightarrow{}\quad f(x+b_n)=f(x) \)

Así \( f(x) \) es constante o periódica de período \( b_n \).

Saludos.

P.D. La cita completa del artículo (que en realidad fue publicado en 1928) es:

Fischer R.A.; Tippett, L.H.C. Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest of Smallest Member of a Sample.
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24: 180-190 (1928)

08 Enero, 2014, 03:38 pm
Respuesta #2

Amaliasusana

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Agradezco infinitamente tu respuesta, tan clara y tan sencilla. A la vez, me doy cuenta de lo mucho que me falta por aprender, a pesar de mis esfuerzos. Pero con gente que ayuda como vos, todo es posible!!!

Gracias