Hola
Rubil: por favor evita usar imágenes para exponer desarrollos matemáticos. Además en todo caso éstas no deben de estar alojadas en servidores externos al foro. Me he encargado yo, por esta vez, de colocarlas como archivos adjuntos.
Por otra parte tu desarrollo para probar que el conjunto dado es espacio vectorial es incorrecto.
En primer lugar pareces confundir los elementos de \( S \) con la condición que los define. Los elementos de \( S \) son simplemente tripletes de \( R^3 \): \( (x,y,z) \) a los que exigimos que cumplan \( x+y=3z \).
Sin embargo tal como escribes las cosas parece que tu identificas los elementos de \( S \) con expresiones de la forma \( x+y-3z=0 \). Es decir mezclas una cosa con otra.
Además dado de que \( R^3 \) ya sabemos que espacio vectorial y \( S \) es un subconjunto de \( R^3 \), no hace falta que compruebes que las operaciones de \( S \) (que son las mismas que las de \( R^3 \)) son conmutativas, asociativas, tienen neutro, etcétera... Simplemente tienes que ver que restringen correctamente a \( S \). En concreto debes de comprobar las condiciones que Fernando te indica en su enlace:
http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/vi/55-caracterizacion-de-subespacios-vectoriales El caso 1.3 de su Ejemplo 1 es prácticamente idéntico a tu ejercicio. Leelo con calma, intenta entonces resolver tu problema y si sigue sin salirte vuelve a consultar.
Saludos.
