Autor Tema: Demostrar que no hay biyección de P(X) en X

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26 Noviembre, 2013, 04:12 am
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jairogonza

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Debo demostrar que no hay biyección (1 a 1) del conjunto potencia de X en X,  \( P(X)\rightarrow X \)

Procedo por reducción al absurdo: supongo que existe una tal función \( P(X) \longrightarrow X \), y se dice que la relación inversa sería biyectiva si esta relación es funcional, lo cual contradice el teorema de Cantor.

Por otro la si la relación inversa \( X \) en \( P(x) \) no es funcional, ¿qué se puede decir para demostrar que no hay inyección de \( P(X) \) en \( X \)?

26 Noviembre, 2013, 05:17 am
Respuesta #1

pierrot

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Yo creo que basta con observar que ambos conjuntos tienen cardinalidad distinta.
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26 Noviembre, 2013, 05:56 am
Respuesta #2

jairogonza

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Yo creo que basta con observar que ambos conjuntos tienen cardinalidad distinta.

Si yo se eso es obvio para conjuntos  finitos \( car(X)= n \)   \( carP(x)=n^2, \) verdad, pero te escribo como está planteado el ejercicio:

Muestre  que para todo conjunto \( X \), no existen inyecciones  de \( P(x) \) en \( X \). Ayuda:  proceda por contradicción; a partir de una inyección \( f: P(X)\rightarrow{X} \), concidere la relación inversa \( f^{-1}: X\rightarrow{P(X)}  \) y complétala  para dar  lugar a una función sobreyectiva entre \( X \) y \( P(x) \), en contradicción con el teorema de cantor.

Pues lo que he pensado es que en la segunda parte si la relación inversa no es funcional mostrar lo de la cardinalidad pero no sé si está bien.

26 Noviembre, 2013, 12:00 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Si yo se eso es obvio para conjuntos  finitos \( car(X)= n \)   \( carP(x)=n^2, \) verdad, pero te escribo como está planteado el ejercicio:

Es \( car(P(x))=2^n \).

Citar
Muestre  que para todo conjunto \( X \), no existen inyecciones  de \( P(x) \) en \( X \). Ayuda:  proceda por contradicción; a partir de una inyección \( f: P(X)\rightarrow{X} \), concidere la relación inversa \( f^{-1}: X\rightarrow{P(X)}  \) y complétala  para dar  lugar a una función sobreyectiva entre \( X \) y \( P(x) \), en contradicción con el teorema de cantor.

Pues lo que he pensado es que en la segunda parte si la relación inversa no es funcional mostrar lo de la cardinalidad pero no sé si está bien.

No estoy seguro de que versión del Teorema de Cantor estas usando. En cualquier caso si tienes \( f:P(X)\longrightarrow{}X \) una función inyectiva, puedes extender la relación inversa a una función de la siguiente forma:

\( f^{-1}:X\longrightarrow{}P(X) \)

- Si \( x\in f(X) \) entonces \( x=f(A) \) para un único \( A\subset X \). Entonces \( f^{-1}(x)=A. \)
- Si \( x\not\in f(X) \) definimos por ejemplo \( f^{-1}(x)=\emptyset \).

Saludos.

27 Noviembre, 2013, 03:54 am
Respuesta #4

jairogonza

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27 Noviembre, 2013, 03:54 am
Respuesta #5

jairogonza

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