Autor Tema: Demostración 48

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Diciembre, 2013, 05:51 pm
Leído 276 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea el triángulo ABC; siendo D y E puntos del lado BC, se trazan AD y AE paralelas respectivamente a las tangentes a la circunferencia circunscrita en C y B.

Demostrar que \( \displaystyle\frac{BE}{CD}=\displaystyle\frac{AB^2}{AC^2} \).
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Diciembre, 2013, 04:10 am
Respuesta #1

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No me queda clara la redacción del problema. Podrías adjuntar la figura?

Saludos.

27 Diciembre, 2013, 09:59 am
Respuesta #2

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea el triángulo ABC.
Se trazan las tangentes en B y C a la circunferencia circunscrita.
Se traza por A la paralela a la tangente en C, y también por A la paralela a la tangente en B, que cortan al lado BC en los puntos D y E respectivamente.
Demostrar \( \displaystyle\frac{BE}{CD}=\displaystyle\frac{AB^2}{AC^2} \)

Como no tenga la figura hecha, te envío nuevo enunciado, para tardar menos.

Esperao que ya quede claro.
Saludos


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

03 Enero, 2014, 10:24 am
Respuesta #3

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 6,012
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Los triángulos ABC y ABE tienen común el ángulo B.

Por otra parte, áng AEB = áng EBM por alternos internos entre las paralelas AC y BM cortadas por la secante BC,
y áng EBM = áng BAC por ser el primero semiinscrito y el segundo inscrito, que abarcan el mismo arco BC.

Por tanto los triángulos ABC y ABE son semejantes:

    \( \displaystyle\frac{AB}{BE}=\displaystyle\frac{BC}{AB}\Rightarrow{BE.BC=AB^2} \)

Análogamente, de la semejanza de los triángulos ABC y ACD se deduce:

\( \displaystyle\frac{BC}{AC}=\displaystyle\frac{AC}{CD}\Rightarrow{BC.CD=AC^2} \)

Dividiendo miembro a miembro:   \( \displaystyle\frac{BE}{CD}=\displaystyle\frac{AB^2}{AC^2} \)


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker