Sí... aunque el ejercicio sólo supone que \( \lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0 \) (\( \phi \) el flujo); pero dijo el maestro que para facilitar el ejercicio podíamos suponer \( E \) diferenciable, así se tendría lo que escribiste...
Ah, de acuerdo. La suposición de que \( E \) es diferenciable se podría usar para aplicar el primer teorema de Lyapunov (ya que entonces \( E \) sería una función de Lyapunov), pero no es necesario.
Primero que nada, prueba que si \( \lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0 \) para todo \( x\in U \) entonces de hecho \( E(\phi(t,x))=E(x) \) para todo \( t\in\mathbb{R} \) tal que \( \phi(t,x)\in U \), es decir, \( E \) es constante sobre las trayectorias de la ecuación.
Spoiler
Llamemos \( h(t)=E(\phi(t,x)) \). Se tiene que:
\( \displaystyle h'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(t+h,x))-E(\phi(t,x))}{h} \)
Sea \( y=\phi(t,x) \). Por la propiedad de grupo,
\( \phi(t+h,x)=\phi(h,\phi(t,x))=\phi(h,y) \)
luego
\( \displaystyle h'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(t+h,x))-E(\phi(t,x))}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(h,y))-E(y)}{h} \)
Pero este último vale 0 (por hipótesis) pues \( y\in U \). Eso significa que \( h(t) \) es constante.
