Autor Tema: Preintegral

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10 Diciembre, 2013, 11:04 pm
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nanelito

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¿Cómo demuestro que si \( E : U \longrightarrow{\mathbb{R}} \) es una función continua no constante en el entorno \( U \) tal que \( \dot E = 0 \) entonces los puntos de equilibrio de \( x^{\prime} = f(x) \) que sean mínimos relativos estrictos de \( E \) son estables pero no asintóticamente estables??

10 Diciembre, 2013, 11:43 pm
Respuesta #1

pierrot

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¿Qué significa \( \dot{E} \)? ¿Es \( \dot{E}(x)=\left<\nabla E(x), f(x)\right>,\forall x\in U \)?
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10 Diciembre, 2013, 11:55 pm
Respuesta #2

nanelito

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Sí... aunque el ejercicio sólo supone que \( \lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0 \) (\( \phi \) el flujo); pero dijo el maestro que para facilitar el ejercicio podíamos suponer \( E \) diferenciable, así se tendría lo que escribiste...

11 Diciembre, 2013, 12:40 am
Respuesta #3

pierrot

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Sí... aunque el ejercicio sólo supone que \( \lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0 \) (\( \phi \) el flujo); pero dijo el maestro que para facilitar el ejercicio podíamos suponer \( E \) diferenciable, así se tendría lo que escribiste...

Ah, de acuerdo. La suposición de que \( E \) es diferenciable se podría usar para aplicar el primer teorema de Lyapunov (ya que entonces \( E \) sería una función de Lyapunov), pero no es necesario.

Primero que nada, prueba que si \( \lim_{h \to 0}{(E(\phi(h,x))-E(x))/h} = 0 \) para todo \( x\in U \) entonces de hecho \( E(\phi(t,x))=E(x) \) para todo \( t\in\mathbb{R} \) tal que \( \phi(t,x)\in U \), es decir, \( E \) es constante sobre las trayectorias de la ecuación.

Spoiler
Llamemos \( h(t)=E(\phi(t,x)) \). Se tiene que:

\( \displaystyle h'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(t+h,x))-E(\phi(t,x))}{h} \)

Sea \( y=\phi(t,x) \). Por la propiedad de grupo,

\( \phi(t+h,x)=\phi(h,\phi(t,x))=\phi(h,y) \)

luego

\( \displaystyle h'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(t+h,x))-E(\phi(t,x))}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{E(\phi(h,y))-E(y)}{h} \)

Pero este último vale 0 (por hipótesis) pues \( y\in U \). Eso significa que \( h(t) \) es constante.
[cerrar]
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11 Diciembre, 2013, 05:21 am
Respuesta #4

nanelito

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Muchas gracias...

11 Diciembre, 2013, 06:09 am
Respuesta #5

pierrot

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Muchas gracias...

De nada  ;). Pero recuerda que el ejercicio no está concluido ni mucho menos... Lo anterior fue solo una observación. ¿Puedes terminar?
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17 Mayo, 2014, 05:42 pm
Respuesta #6

nanelito

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Si... gracias