Autor Tema: Espacio dual

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10 Diciembre, 2013, 09:20 pm
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Carolina Herschel

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Hola

Me ponen este ejemplo que no logro entender: Para todo \( p \), \( 1 \leq{p} \leq{\infty} \), sea \( q = p/(p-1) \) tal que \( 1/p+1/q = 1 \) (si \( p = 1 \), convenimos en que \( q = \infty \)). Se puede demostrar que el espacio dual de \( l_p \) es \( l_q \). Más aún, todo funcional lineal acotado en \( l_p \), \( 1 \leq{} p \leq{\infty} \), puede ser representado de manera única como \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{y_ix_i} \), donde \( y = \left\{{y_i}\right\}\in{l_q} \). Así, todo elemento de \( l_1 \) define, de esta manera, un elemento de \( (l_p)^* \), y \(  \left\|{f}\right\|= \left\|{y}\right\|_q=\left({\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\left |{y_i}\right |^q}}\right)^{1/q} \) si \( 1<p<\infty \), e igual a \( sup_k\left |{y_k}\right | \) si \( p=1 \).

No entiendo por qué los funcionales lineales en \( l_p \) pueden ser representados de esa forma, como que si fuesen una combinación lineal  ??? Y por qué las normas son iguales...

Gracias
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