Autor Tema: Demostración 33

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12 Noviembre, 2013, 11:57 am
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Michel

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Sea un triángulo ABC.
La bisectriz del ángulo A corta al lado BC en D y la bisectriz del ángulo B corta al lado CA en E.
Si AE + BD = AB, demostrar que el ángulo C vale 60º.

CORREGIDO
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

12 Noviembre, 2013, 04:33 pm
Respuesta #1

teeteto

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Hay una errata, pero no se si lo correcto es "La bisectriz de C corta a AB..." o "La bisectriz de A corta a BC...". Creo que lo primero
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

12 Noviembre, 2013, 05:31 pm
Respuesta #2

Michel

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Hola teeteto.
Efectivamente hay una errata, que corresponde a la segunda de tus propuestas, aunque tyambién podría ser la primera.

Entonces queda así:

Sea un triángulo ABC.
La bisectriz del ángulo A corta al lado BC en D y la bisectriz del ángulo B corta al lado CA en E.
Si AE + BD = AB, demostrar que el ángulo C vale 60º.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

26 Noviembre, 2013, 09:55 am
Respuesta #3

Michel

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Por el teorema de la bisectriz:
AE/c=EC/a=(AE+EC)/(a+c)=b/(a+c)    ===>   AE=(bc)/(a+c)

DB/c=DC/b=(DB+DC)/(b+c)=a/(b+c)   ===>   DB=(ac)/(b+c)
 
Sustituyendo en AE + BD = AB:  (bc)/(a+c)+(ac)/b+c)=c

Reduciendo, resulta:  \( c^2=a^2+b^2-ab \)\(  \)

Comparando esta expresión con la del teorema del coseno,  [texc^2=a^2+b^2-2abcosC][/tex]

se obtiene  \( 2bccosC=ab \Rightarrow{cosC=1/2}\Rightarrow{C=60º} \)


Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker