[Galois123]

Hola, necesito de su ayuda para mostrar que las flechas que salen de los objetos iniciales son monomorfismos.

\( I \) es objeto inicial de \( \mathbb{A} \) categoria si \( \forall A \in \mathbb{A}, \exists ! g:I \longrightarrow{A} \).

Lo necesito para posteriormente mostrar que dado \( f:A \longrightarrow{I} \in{\mathbb{A}} \), con \( I \) objeto inicial, entonces \( A \cong I \). Más concreto, lo voy usar para mostrar la unicidad de \( f \).

Gracias y saludos.

[Gustavo]

Aún no sé cómo demostrar (o refutar) lo primero que dices, pero esto

Lo necesito para posteriormente mostrar que dado \( f:A \longrightarrow{I} \in{\mathbb{A}} \), con \( I \) objeto inicial, entonces \( A \cong I \)

no es cierto en general.

[Galois123]

¿En serio? ¿Podrías dar un contraejemplo?

[Gustavo]

En la categoría Grp de los Grupos y los homomorfismos entre ellos, el grupo trivial \( \{e\} \) es un objeto inicial. Toma cualquier grupo no trivial \( G \) y el homomorfismo trivial \( h:G\longrightarrow\{e\}. \) De ahí no puedes concluir que \( G\cong \{e\}. \) Seguro que sabes que los iso en Grp son los isomorfismos usuales que uno conoce.