Autor Tema: Ecuación con radicales

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13 Agosto, 2013, 09:33 pm
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hear

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  • Me gustan las matemáticas!, y a ti?
Por favor solución de:

1) \( \sqrt[ 3]{x-1-\pi}+\sqrt[3 ]{x-2-\pi}+\sqrt[ 5]{(x-2-\pi)^2}=0 \)

2) \( \sqrt[ 3]{x-3-\pi}+\sqrt[3 ]{x-5.29739671-\pi}+\sqrt[ 5]{(x-1-\pi)^2}=0 \)

Luego indicar qué usó para resolver despeje, fórmula o software Luego revisaré y os daré mis respuestas a sus preguntas y observaciones a vuestras afirmaciones.

\( \pi\approx 3.141592654.. \)

Saludos!
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

14 Agosto, 2013, 03:20 pm
Respuesta #1

Matias Sosa

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Bueno, no sé si lo que propones es pidiendo ayuda o si, por el contrario, se trata de que deseas evaluar nuestros conocimientos.
Por favor, si me lo aclaras, obraré en consecuencia,
Saludos.

14 Agosto, 2013, 05:35 pm
Respuesta #2

hear

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Hola! Gracias por responder.
La razón es la segunda. Me gustaría que me indicaran el método de solución ya que eso es muy importante, si por despeje de la variable ¿Cómo lo hicieron?, si por fórmula ¿Cuál fórmula? si por método ¿Cuál método? y finalmente si por software ¿Cuál y qué comandos?
Gracias!!
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

14 Agosto, 2013, 11:19 pm
Respuesta #3

Matias Sosa

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Te diré los pasos que yo seguiría.

1º)  x – 1 –  π = u

2º)  x – 2 – π = u – 1

De esta forma te ahorras un montón de escritura y ves más claro el problema.
Una vez tengas la ecuación en función de u, redúcela a mínimo común índice, que como sabes es 15.
Trabaja con esa ecuación aplicando las reglas de potencias y raices
Y, al final, deshaz  los cambios hechos en 1º y 2º.
Y, por favor, olvídate del valor de \( \pi \), ya que la solución te saldrá en función de ese parámetro.
Espero que me comentes.
Saludos.

14 Agosto, 2013, 11:36 pm
Respuesta #4

hear

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Muy bien! a trabajar...
Entonces nos quedaria la ecuación transformada:
\( \sqrt[ 15]{u^5}+\sqrt[ 15]{(u-1)^5}+\sqrt[ 15]{(u-1)^6}=0 \) sin embargo puedo ahora sí apreciar que la solución será u=0; con ello el primer radical se anula y los otros dos me dan -1+1=0 por lo anto la respuesta sería \( x=\pi+1 \). Esto haciendolo al "ojo" sin aplicar nada para resolver para u... Ahora bien me podrias decir como sería la historia para el segundo problema ya que aquí es un poco más dificil resolverla al "ojo" ahora sí que procedimiento sigo para poder solucionar para u???
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15 Agosto, 2013, 12:12 am
Respuesta #5

Matias Sosa

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Explícame con más detalle como llegas a la conclusión de que el primer radical se anula.

15 Agosto, 2013, 12:27 am
Respuesta #6

hear

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pues nada solo digo que con u=0 el primer radical \( \sqrt[ 15]{u^5} \) es igual a cero nada más... por favor continuemos con lo otro...
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15 Agosto, 2013, 06:35 am
Respuesta #7

hear

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A ver, me hicieron ver algo... El objetivo aqui fue ver si planteabamos un problema dificil de resolver por un computador... Estoy buscando un problema que en teoria no resuelva ningun software por más cercano que se de el punto semilla...
La del segundo ejemplo es \( x=3+\pi \) abdulai se dio cuenta. Ahora ¿Se pueden resolver ambos problemas por el computador? ¿Cómo?
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15 Agosto, 2013, 03:17 pm
Respuesta #8

Matias Sosa

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Lo siento, pero creo que no te puedo ayudar: Tengo 71 años y ni idea de computación ni de puntos semilla ni de nada que tenga que ver con software.
Utilizo los conocimientos que adquirí en mis tiempos, que están basados en la lógica y la utilización de las propiedades de los números y sus operaciones.
Lo siento, pero esto de la computación me llegó tarde y, la verdad, ya no tengo la edad (ni las ganas) de meterme a estudiar esas cosas tan complicadas. Para los tres o cuatro días que me quedan no veo la necesidad de meterme donde nadie me llama.
De todas formas, si me necesitas para algo menos engorroso para mí, estoy a tu disposición.
Saludos.

16 Agosto, 2013, 05:43 am
Respuesta #9

hear

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Hola quisiera que me ayudaran con cualquier problema de la forma:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[ 3]{c_1x+c_0}+\sqrt[n ]{(d_1x+d_0)^m}+f_0=0 \); con n y m no tan altos por cuestión de facilidad n=2,3,4 o 5; m=2 o 3.
De tal suerte que Cualquier software que utilice (con los comandos necesarios) no pueda converger a la raíz. Esto porque yo no he podido encontrar un problema todavía con las características requeridas ya que cuando encontré uno que el computador no pudo resolver, sencillamente como abdulai indicó un radical se anula y los otros dos quedan inversos y quiero algo más difícil que eso... además de otros factores (como por ejemplo que todos los radicales sean cúbicos, que la raíz se la pueda ver al "ojo", etc.)  que a medida que vayan apareciendo las propuestas os estaré indicando.
Gracias por el aporte.
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16 Agosto, 2013, 10:33 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Hola quisiera que me ayudaran con cualquier problema de la forma:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[ 3]{c_1x+c_0}+\sqrt[n ]{(d_1x+d_0)^m}+f_0=0 \); con n y m no tan altos por cuestión de facilidad n=2,3,4 o 5; m=2 o 3.
De tal suerte que Cualquier software que utilice (con los comandos necesarios) no pueda converger a la raíz.

No estoy seguro de entender bien lo que pides; parece que quieres una ecuación de ese tipo que tenga solución pero un ordenador no sea capaz de hallarla. Pero hay muchos métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales en una variable, de manera que uno puede programar el más adecuado para la ecuación concreta.

Incluso en el peor de los casos, agrupando convenientemente los términos de la ecuación y elevando cuantas veces sea necesaria la misma a diversas potencias, se termina conviertíendose en una polinómica. Hay métodos específicos para calcular la raíz de un polinomio cualquiera.

http://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithm#Finding_roots_of_polynomials

Estos métodos en teoría siempre convergen; otra cosa es que el problema pueda  ser numéricamente inestable, es decir, que los errores de redondeo que hace el ordenador al operar terminen haciendo que la solución aunque si converja en teoría no lo haga en la práctica. Pero esto todavía es subsanable porque hay software (como el Mathematica) que trabaja con la precisión que queramos. Entonces podríamos aumentar la precisión para aproximar mejor la solución; por supuesto el coste de esto sería la lentitud en los cálculos.

Saludos.

16 Agosto, 2013, 03:02 pm
Respuesta #11

Abdulai

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Hola quisiera que me ayudaran con cualquier problema de la forma:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[ 3]{c_1x+c_0}+\sqrt[n ]{(d_1x+d_0)^m}+f_0=0 \); con n y m no tan altos por cuestión de facilidad n=2,3,4 o 5; m=2 o 3.
De tal suerte que Cualquier software que utilice (con los comandos necesarios) no pueda converger a la raíz.
Esto porque yo no he podido encontrar un problema todavía con las características requeridas

No busques eso porque no existe.

Cualquier software puede fallar si se ingresa la ecuación a lo pavote. Pero si se elige el método numérico adecuado, se "acondiciona" la ecuación con sustituciones que "ayuden" al método  y se establecen intervalos y punto de inicio convenientes --> Cualquiera de esos mismos softwares va a converger a la solución.

Citar
ya que cuando encontré uno que el computador no pudo resolver, sencillamente como abdulai indicó un radical se anula y los otros dos quedan inversos y quiero algo más difícil que eso... además de otros factores (como por ejemplo que todos los radicales sean cúbicos, que la raíz se la pueda ver al "ojo", etc.)  que a medida que vayan apareciendo las propuestas os estaré indicando.

Honestamente, no se a quien le puede interesar un juego de "propongan hasta que yo diga que acertaron".




16 Agosto, 2013, 05:05 pm
Respuesta #12

hear

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Una vez más muchas gracias por responder! Saludos!
En esta oportunidad voy a poner el ejemplo con el cual la computadora no me arroja respuesta alguna pero su raíz se la podría ver al "ojo" y además resulta ser que un término se anula y los dos términos restantes son inversos aditivos entre sí; y también todos sus términos radicales son raíces cúbicas.
\( \sqrt[ 3]{x+3}+\sqrt[ 3]{x+1}+\sqrt[ 3]{x+5}=0 \)
Graficando también usando el computador se puede ver su raíz (usando el graphmatica) pero al intentar calcular la raíz con el graficador no resulta "nada". Ahora bien ¿Qué transformaciones le haríamos para que el algoritmo implementado en el graphmatica ahora sí me de un resultado? Por otro lado también usé el mathematica y los comandos Solve y Nsolve y tampoco arrojaron resultado alguno tengo entendido que el comando Surd me podría dar una respuesta pero este no lo he probado por que mi versión es más antigua por favor si ustedes tienen probadlo.
Una raíz menos visible la tiene el siguiente problema que propongo pero aquí ocurre otra vez que un termino se anula y los otros dos son inversos aditivos; y el software graphmatica grafica pero no proporciona la raíz!
\( \sqrt[ 3]{x+3\sqrt[ 3]{3}}+\sqrt[ 3]{x+\sqrt[ 3]{3}}+\sqrt[ 4]{(x+2\sqrt[ 3]{3})^3}=0 \)
Usando el mathematica o el matlab tampoco arroja nada ¿Qué transformación haríamos para que estos software calculen?; ¿Cómo lo acondiciono? o El comando Surd de Mathematica sí los resuelve?
Pero más aún decía yo diseñar un problema parecido al segundo pero que no se anule ningún término por sí mismo sino que los tres términos se anulen entre sí...
Gracias por vuestro aporte.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

16 Agosto, 2013, 08:15 pm
Respuesta #13

Abdulai

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Primero tenés conocer/imaginar cuales son las causas del fallo.  En este casos los softwares no se llevan bien con las raíces (son funciones multivaluadas)

En  \( \sqrt[ 3]{x+3}+\sqrt[ 3]{x+1}+\sqrt[ 3]{x+5}=0 \)  hay que tantear un intervalo donde esté la raíz y reescribir la ecuación de manera de no enloquecer al soft.
Si bien la solución es x=3 , podemos suponer que la complejidad fuese tal que no resulte evidente o modificar levemente un valor para que la solución sea distinta de 3 pero cercana.
Sustituís entonces  \( x=u^3-3\;\;\longrightarrow\;\;u+\sqrt[ 3]{u^3-2}+\sqrt[ 3]{u^3+2}=0 \)

Pero como el soft podría protestar con la potencia 1/3 de un número negativo en  \( \sqrt[ 3]{u^3-2} \) , sacamos el signo fuera y queda:
\( u-\sqrt[ 3]{2-u^3}+\sqrt[ 3]{u^3+2}=0 \)

Dependiendo del soft, ya con eso será suficiente o será necesario especificarle además un intervalo.

16 Agosto, 2013, 08:27 pm
Respuesta #14

mathtruco

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Hola.

(...)

Usando el mathematica o el matlab tampoco arroja nada ¿Qué transformación haríamos para que estos software calculen?; ¿Cómo lo acondiciono?

(...)

Hablemos de matlab (el inconveniente de encontrar la solución de las ecuaciones que has puesto y como solucionarlo).


Podemos definir la función \( f(x)=\sqrt[ 3]{x+3}+\sqrt[ 3]{x+1}+\sqrt[ 3]{x+5} \) de tu primera ecuación como sigue:

    fun=@(x)(x+3).^(1/3)+(x+1).^(1/3)+(x+5).^(1/3);

Claramente \( f(-3)=0 \), pero si pedimos a matlab que haga los cálculos resulta:

    fun(-3)=1.8899 + 1.0911i

¿Es esto un error?  No.  Lo que ocurre es que las raíces cúbicas tienen tres valores posibles. Por ejemplo \( \sqrt[3]{-8}=-2 \), pero también hay otros dos valores complejos posibles. No sé la razón, pero matlab escoge la raiz compleja (distinto a lo que yo esperaría, y supongo distinto a lo que la mayoría de usuarios esperaría). Como ejemplo, en matlab

    (-8)^(1/3)=1.0000 + 1.7321i

Esto hace que haya que tener cuidado con los métodos numéricos que traen los softwares.


Para evitar este inconveniente, podemos definir la función \( f \) como sigue:

    fun2=@(x)sign(x+3) .*abs(x+3).^(1/3) + sign(x+1).*abs(x+1).^(1/3) + sign(x+5).*abs(x+5).^(1/3)

Con esto,

    fun2(-3)=0

y

    fzero(fun2,0)=-3.

mathematica no lo he usado nunca, pero seguro tiene cosas caprichosas como ésta. Hay graficadoras (como las de las calculadores hp) que no grafican zona vaya uno a saber porqué.

Cada software tiene sus caprichos. Lo que uno quisiera como usuario es que las entradas y salidas de los comandos sean tal y como uno las tiene en la cabeza (ej: uno espera que \( (-8)^{1/3}=-2 \)) pero esto no siempre es así. Los que entienden de programación saben que esperar esto es imposible y que siempre habrá algo que el programador pensó de una forma y que el usuario espera sea de otra. Por eso es importante aprender a usar lo mejor posible un software más que salvarse buscando el comando mágico en google, cosa muy tentadora que hago a menudo, pero que me ha traído dolores de cabeza como éste.

17 Agosto, 2013, 01:21 am
Respuesta #15

fer__

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Encontrar raíces de ecuaciones con radicales cúbicos es un tema cerrado desde el punto de vista numérico, y ya actualmente nadie investiga nuevos algoritmos numéricos para resolver eso porque los que existen ya son sumamente eficientes. El software mas potente que resuelve ese y otros problemas matemáticos es MATHEMATICA, aquí les pongo el código que resuelve el problema planteado en menos de un segundo

Clear
  • ;

f[x_] = Surd[x - 3 - Pi, 3] + Surd[x - 5.29739671 - Pi, 3] + Surd[(x - 1 - Pi)^2, 3];
Solve[f
  • == 0., x] // Quiet


La solución es:{{x -> -6.25601}, {x -> 6.12485}}

18 Agosto, 2013, 12:19 am
Respuesta #16

hear

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Hola muchas gracias por vuestras valiosas opiniones. Os dejo un link para que opinen sobre ecuaciones con radicales en la seccion de algebra, les pido que analicen lo mejor que puedan el problema y aporten con comentarios, afirmaciones o preguntas u observaciones que son muy valiosas para la construcción de más matemáticas!
 http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69720.0
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