Autor Tema: La Ecuación Cúbica

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12 Agosto, 2013, 05:54 am
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hear

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Hola quiero comunicarles que el 10 de Julio del 2010 encontré una fórmula para una familia de ecuaciones cúbicas, después de haber estudiado la ecuación de quinto grado(en una variable)
Quisiera que me ayudaran comunicándome ¿cuantas fórmulas diferentes conocen para solucionar la ecuación de tercer grado o cúbica (en una variable \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \)) o procedimientos que me lleven a otras fórmulas analíticas diferentes?. Aparte de la que yo encontré yo conozco la fórmula de Cardano-Tartaglia(CT) que la podemos encontrar incluso en internet y tiene la forma: \( x=\sqrt[3]{m+\sqrt[2]{m_1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt[2]{m_1}}-\frac{b}{3a} \)
Yo resuelvo para una familia cuya fórmula no se puede obtener de esta última; sin embargo la familia complemento (es decir la familia con la cual se completarían todos los polinomios cúbicos) sí se puede obtener ya que ésta tiene una condición de igualdad entre sus coeficientes y al ser reemplazados en la fórmula CT produce la fórmula para ésta con la forma:
\( x=\sqrt[3]{n_1}+n_2 \) (aunque yo la obtuve por métodos propios también)
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

12 Agosto, 2013, 03:41 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Las fórmulas generales para resolver cualquier ecuación polinómica de tercer grado están aquí descritas:

http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm

Saludos.

12 Agosto, 2013, 04:27 pm
Respuesta #2

hear

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Hola gracias por responder!
Pero lastimosamente las fórmulas que aparecen en
http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm tienen la forma: \( \sqrt[3]{m+\sqrt[2]{m_1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt[2]{m_1}}-\frac{b}{3a} \) que es a lo que yo me refiero son las fórmulas de CT.
Ahora bien denotemos como f(x,y,z) a esta solución; conveniendo denotar la ecuación cúbica de la sgt. manera:
\( w^3+xw^2+yw+z=0 \) . Luego: w= f(x,y,z) . Ahora bien para cierta relación entre x,y,z yo encuentro otra función g(x,y,z) donde se cumple f(x,y,z)=g(x,y,z) sin tener la misma regla de correspondencia! Algo que no habia visto con anterioridad ya que normalmente para que esto ocurra es que f y g deben tener la misma regla de correspondencia; pero he aqui un ejemplo de que sí podemos construir este tipo de funciones: Sea \( f=\left |{x+y+z}\right | \) y \( g=\left |{-x-y-z}\right | \) Como vemos este es un ejemplo sencillo de lo que puede estar ocurriendo "diferentes reglas de correspondencias en su forma pero en su resultado iguales".
Ahora bién como comente g es la solucion para una familia con cierta relacion entre x,y,z , para la relación opuesta (complemento) se constituye otra familia que uniéndolas forman cualquier ecuación cúbica! sea h(x,y,z) la solución para esta otra familia (la cual yo tambien encontre por mis propios medios pero para el caso de h su condicion se puede reemplazar en f y converge a h mas no así con g) La razon por la que la condicion de h se puede reemplazar en f es por que es una condición de igualdad mas la condicion de g es de desigualdad así si x = R(y,z) esto se reemplaza en f y se reduce a h mas si \( x\neq{R(y,z)} \) no se puede reemplazar nada en f! por eso no se puede obtener g a traves de f.
Ahora bien ¿Qué opinión tienen a cerca de esta nueva formula; existen otras? En resumen yo escribiría lo encontrado de la siguiente manera:
\( f(x,y,z)=\begin{Bmatrix} h(x,y,z) & \mbox{ si }& x=R(y,z)\\g(x,y,z) & \mbox{si}& x\neq{R(y,z)}\end{matrix} \)
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

12 Agosto, 2013, 10:40 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

. Ahora bien para cierta relación entre x,y,z yo encuentro otra función g(x,y,z) donde se cumple f(x,y,z)=g(x,y,z) sin tener la misma regla de correspondencia! Algo que no habia visto con anterioridad ya que normalmente para que esto ocurra es que f y g deben tener la misma regla de correspondencia; pero he aqui un ejemplo de que sí podemos construir este tipo de funciones: Sea \( f=\left |{x+y+z}\right | \) y \( g=\left |{-x-y-z}\right | \) Como vemos este es un ejemplo sencillo de lo que puede estar ocurriendo "diferentes reglas de correspondencias en su forma pero en su resultado iguales".

Pero eso no es nada excepcional. Dos expresiones pueden denotar la misma función; previsiblemente puede pasarse de una otra mediante transformaciones algebraicas más o menos complejas o directas.

Citar
Ahora bien ¿Qué opinión tienen a cerca de esta nueva formula; existen otras? En resumen yo escribiría lo encontrado de la siguiente manera:
\( f(x,y,z)=\begin{Bmatrix} h(x,y,z) & \mbox{ si }& x=R(y,z)\\g(x,y,z) & \mbox{si}& x\neq{R(y,z)}\end{matrix} \)

Es que no has dicho exactamente cual es tu nueva fórmula.

En cuanto a la existencia de otras, insisto en que no lo veo tan relevante, precisamente porque diferentes fórmulas cerradas no serán más que transformaciones unas de otras. Curiosamente yo veo más relevante los métodos que llevan a ellas; es decir no una fórmula cerrada sino un método para resolver ecuaciones de tercer grado.

Saludos.

13 Agosto, 2013, 01:12 am
Respuesta #4

hear

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Hola otra vez un gusto! en cuanto a tu observación de que pueden ser transformaciones me parece interesante y de verdad si es asi con "transformaciones" de veras que deberias ver mi formula para ver que transformacion harias para ir de f a g o viceversa!!!!!!!!!!.
En segundo lugar es verdad acepto que no es nada del otro mundo y que al ya haber otra fórmula pienso que sí no se ve la novedad.
En cuanto a los métodos "curiosamente" yo tambien los valoro muchísimo y te cuento que para mí son estos los que nos llevan a las FORMULAS analíticas.
Mi método para llegar a mi formula es pintoresco por decirlo de algun modo ya que tuve la inspiracion de plantear un sistema no lineal diferente al sistema no lineal que obtenemos con el metodo CT y ese planteamiento me encantó. Añado que no sé si tendría otra inspiración para encontrar un tercer método (por que son métodos y fórmulas los que se desarrollan) pero doy por centado que lo mio fue una conbinación de conocimiento, trabajo e inspiración para haber obtenido mi resultado.
Fruto de mis investigaciones tambien desarrolle lo que es un método de aproximación para la ecuación cúbica de donde desarrollé cierto método para resolver el siguiente problema con radicales en una variable a saber:
\( \sqrt[ 3]{x+b_0}+\sqrt[3]{c_1x+c_0}+d_0=0 \) , del cual estaré hablando pronto en esta sección de álgebra con otro título.
Saludos y gracias por vuestro aporte!!!!!
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

13 Agosto, 2013, 09:42 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 En cualquier caso, ¿por qué no pones tu fórmula o descibes tu método para que podamos opinar con criterio del mismo?.

Saludos.

13 Agosto, 2013, 10:23 pm
Respuesta #6

hear

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Todavía no publico por que antes estoy tramitando el derecho de autor en mi país... favor responder la pregunta hecha en: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69680.0 muchas gracias!
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

26 Agosto, 2013, 02:35 am
Respuesta #7

hear

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Es interesante advertir que la formula para la cúbica dada en http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cubica_solucion_es.htm
tiene a priori la forma:
\( [\sqrt[3]{m+\sqrt[2]{m_1}}+\displaystyle\frac{c}{\sqrt[3]{m+\sqrt[2]{m_1}}}-\frac{b}{3a}] \)

...
En cuanto a la existencia de otras, insisto en que no lo veo tan relevante, precisamente porque diferentes fórmulas cerradas no serán más que transformaciones unas de otras. Curiosamente yo veo más relevante los métodos que llevan a ellas; es decir no una fórmula cerrada sino un método para resolver ecuaciones de tercer grado.

Saludos.
Esto que dices es verdad en ésta fórmula por que : \( \frac{c}{\sqrt[3]{m+\sqrt[2]{m_1}}}=\sqrt[3]{m-\sqrt[2]{m_1}} \)

Bueno díganme si conocen otra fórmula que no sea la de CT o método que no se llegue a la de CT pero que se llega a otra fórmula diferente a la de CT que no sea una transformación de esta última?
Ama a tu prójimo como a tí mismo!