[julian403]

Tengo que calcular el término enésimo de la siguiente sumatoria:

\( \displaystyle\lim_{ N \to{}\infty}{ \displaystyle\sum_{0}^N{} {(\displaystyle\frac{1}{2}})}^{2n} \)

Ahora bien por lo que veo es una serie geométrica, así que el término enésimo está dado por:

\( \displaystyle\frac{{a}_{0}}{1-r}=\displaystyle\frac{1}{1-(1/2)}=2 \)

Pero en la resolución del problema dice que el valor no es 2 sino \( \displaystyle\frac{4}{3} \)

[Héctor Manuel]

Te recomiendo que escribas bien el enunciado. Tal como está, la respuesta es \( \infty \).

Saludos.

[julian403]

Ahí lo modifiqué.

[Héctor Manuel]

Toma en cuenta que la serie geométrica es de la forma \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{r^n} \). En tu caso, la serie dada no es una geométrica propiamente hablando debido a la presencia del 2 en el exponente.

Pero eso es fácil de arreglar. Te animas a continuar?

Saludos.

[Héctor Manuel]

Por cierto. Una cosa es el término n-ésimo y otra es el valor de la serie. Lo que te debe dar 4/3 es el valor de la serie.

Saludos.

[julian403]

Pues sería:

\( \displaystyle\lim_{N\to{+}\infty}{ \displaystyle\sum_{0}^N{{[{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{n}]^{2}}} \)

El valor de la serie ahora sería: \( {2}^{2} \)

[Héctor Manuel]

Pues sería:

\( \displaystyle\lim_{N\to{+}\infty}{ \displaystyle\sum_{0}^N{{[{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{n}]^{2}}} \)

El valor de la serie ahora sería: \( {2}^{2} \)

No. Piénsalo un poco más.

Saludos.

[julian403]

Como el resultado de la sumatoria es \( \displaystyle\frac{a}{1-r} \)

Entonces:

\( \displaystyle\frac{1}{1-{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2}}=\displaystyle\frac{4}{3} \)

Ahora para el caso de que los límites de la sumatoria sean:

\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{-N}^N{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}} \)

que por las porpiedades de la sumatoria sería:

\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}({\displaystyle\sum_{-N}^0{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}}+{\displaystyle\sum_{0}^N{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}}) \)

Pero no sé como se plantearía el término desde -inf hasta cero. ¿sería el inverso?

\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}({\displaystyle\sum_{-N}^0{{\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}}=1-({\displaystyle\frac{1}{2})}^{2} \)

[Héctor Manuel]

Ahora para el caso de que los límites de la sumatoria sean:

\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{-N}^N{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}} \)

que por las porpiedades de la sumatoria sería:

\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}({\displaystyle\sum_{-N}^0{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}}+{\displaystyle\sum_{0}^N{{(\displaystyle\frac{1}{2})}^{2n}}}) \)

Nota que
\(
\begin{eqnarray*}
\displaystyle\sum_{n=-N}^N\left(\dfrac{1}{4}\right)^n&=&\displaystyle\sum_{n=-N}^1\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\displaystyle\sum_{n=0}^N\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\\
&\ge&\displaystyle\sum_{n=-N}^1\left(\dfrac{1}{4}\right)^n
\end{eqnarray*}
 \)

Concluye que la sumatoria es entonces divergente.

Saludos.