[Lycan]

Hola, tengo un problema sobre triángulos. Acepto cualquier ayuda o sugerencia.

Sea \( M \) la familia de todos todos los triángulos en el plano cuyo perímetro es \( 3 \). Hallar un triángulo en \( M \) que encierre el mayor área posible.

Yo sospecho que puede ser un triángulo equilátero, pero aún no sé como probarlo.

Un saludo.

[pierrot]

Yo sospecho que puede ser un triángulo equilátero, pero aún no sé como probarlo.

Yo sé cómo probarlo, pero seguramente no es la manera en que te lo piden. Los pasos serían:

1) Usando algo de trigonometría, intenta determinar una fórmula para el área de un triángulo de lados \( a,b,c>0 \) siendo \( a\leq b\leq c \). Llamémosle \( S(a,b,c) \).

2) Por el método de los extremos condicionados, halla un máximo de \( S(a,b,c) \) condicionado a \( a+b+c=3 \).

Al igual que tú, estoy convencido en que la solución debe ser \( a=b=c=1 \).

[Lycan]

Hola Pablon, gracias por responder.

He podido esbozar una prueba más elemental. Se trata de ver que si un triángulo no es equilátero siempre se pude encontrar otro triángulo del mismo perímetro pero con área mayor. Dejo la imagen, porque la imagen se explica mejor que yo.



En la imagen los triángulos de color tienen todos perímetro \( 3 \), donde la longitud del segmento \( AB \) es \( a \). De todos los posibles triángulos en esta elipse el que siempre tiene área mayor es el isósceles rojo, puesto que su altura es la mayor.

Luego si un triángulo no es equilátero, no puede tener el área máxima posible.

[Topolino]

Hola, Lycan

Hasta aquí solamente has comprobado que de un grupo de triángulos escalenos, el triángulo isóceles es el que tiene una área mayor. Ahora trata de probar que de un grupo de triángulos isósceles el triángulo equilátero es el que tiene una área mayor sabiendo que el perímetro es constante.

Saludos
Topolino.

[Luis Fuentes]

Hola

 También puedes usar la fórmula de Herón:

\(  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

 y la desigualdad artimético-geométrica:

\(  \sqrt[3]{xyz}\leq \dfrac{x+y+z}{3} \)

Saludos.

[Lycan]

Hola, Lycan

Hasta aquí solamente has comprobado que de un grupo de triángulos escalenos, el triángulo isóceles es el que tiene una área mayor. Ahora trata de probar que de un grupo de triángulos isósceles el triángulo equilátero es el que tiene una área mayor sabiendo que el perímetro es constante.

Saludos
Topolino.

Hola Topolino.

En caso de que un triángulo sea isósceles y no sea equilátero, se repite el mismo argumento de la elipse. Basta darle un giro al triangulo y poner uno de sus dos lados iguales como lado \( a \)$.

Hola

 También puedes usar la fórmula de Herón:

\(  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

 y la desigualdad artimético-geométrica:

\(  \sqrt[3]{xyz}\leq \dfrac{x+y+z}{3} \)

Saludos.

Tienes razón, de la formula de Herón sale la desigualdad más fácil. De la desigualdad triangular \( a\le b+c \) y así \( 2a \le a+b+c=3 \) y \( a\le p \), del mismo modo \( b\le p \) y \( c\le p \). Ahora por \( MA-MG \)

\( \sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\le\displaystyle{p-a+p-b+p-c\over 3}=p-1=\displaystyle{1\over 2} \)

Luego

\( (p-a)(p-b)(p-c)\le\displaystyle{1\over 8}, \)

\( \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\le\sqrt{\displaystyle{p\over 8}}=\displaystyle{\sqrt{3}\over 4}. \)


Gracias el_manco.

[Michel]

Sean a, b, c los lados del triángulo y p el semiperímetro.

El área vale  \( S=\sqrt[ ]{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

Maximizar S equivale a maximizar \( S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) \) .

Como p es constante, \( S^2 \)  será máxima cuando sea máximo el producto  \( (p-a)(p-b)(p-c) \).

La suma de estos tres factores vale p, es decir, es constante; entonces el producto es máximo cuando los tres factores son iguales:  \( p-a=p-b=p-c\,\Rightarrow{a=b=c} \).

Por tanto, el triángulo es equilátero.