Autor Tema: Ceva

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25 Junio, 2013, 05:10 pm
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Michel

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Sean D, E, F puntos de los lados BC, CA, AB, respectivamente, tales que AD, BE, CF son concurrentes; la circunferencia que pasa por D, E, F corta a los lados BC, CA, AB en D’, E’, F’.
Demostrar que AD’, BE’, CF’ son concurrentes.


Pista: se debe cumplir el teorema de Ceva.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

25 Julio, 2013, 05:51 pm
Respuesta #1

Michel

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Por ser AD, BE, CF cevianas concurrentes, satisfacen el teorema de Ceva: (BD/CD).(CE/AE).(AF/BF)=1

Por potencia de los puntos B, C y A respecto de la circunferencia:

BD.BD'=BF'.BF  ==>  (BD'/BF')=(BF/BD)

CD'.CD=CE'.CE  ==>  (CE'/CD')=(CD/CE)

AE.AE'=AF.AF'  ==>  (AF'/AE')=(AE/AF)

Multiplicando miembro a miembro:

(BD'/BF').(CE'/CD').(AF'/AE')=(BF/BD).(CD/CE).(AE/AF)   ==>  (BD'/CD')-(CE'/AE').(AF'/BF')=(CD/BD).((AE/CE).(BF/AF)

Como el segundo miembro vale 1, resulta (BD'/CD').(CE'/AE').(AF'/BF')=1

Por cumplir el teorema de Ceva las rectas AD', BE', CF' son concurrentes
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker